Algèbre Matrices – Algèbre des matrices carrées

Algèbre
Matrices – Algèbre des matrices carrées
Denis Vekemans ∗
Exercice 1 On considère les matrices suivantes :
A= 1 2
3 4 !et B= −101 2 2 3 !
Calculer, lorsque cela est possible, A2,B2,AB,BA,At,Bt,AAt,AtA,(At)2,BBt,BtB,(Bt)2,AtBtet
BtAt.
Exercice 2 Soient aet bdes nombres réels. On considère les matrices
A= cos(a)−sin(a)
sin(a) cos(a)!;B= cos(b)−sin(b) sin(b) cos(b)!.
1. Calculer AB et BA. En déduire que Aet Bcommutent.
2. Montrer que Aest inversible et calculer A−1.
Exercice 3 On considère la matrice
A= 2−2
2−3!.
1. Déterminer A2et montrer que A2+A= 2I2.
2. En déduire que Aest inversible et exprimer A−1en fonction de A.
3. Ecrire la matrice A−1.
Exercice 4 Soit Kun corps et soit D∈ M2(K). Montrer que DA =AD pour tout A∈ M2(K)si et
seulement si D=λI2pour un λ∈K.
Exercice 5 Soit Kun corps. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles de Mn(K)est un groupe
pour la multiplication.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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Exercice 6 Soit B= (e1, e2, e3)la base canonique de R3. On considère les applications linéaires fet
gde R3dans R3définies par
f(x, y, z) = (x+z, 2y−z, x),
g(e1) = e1+e3, g(e2) = 2e2−e3, g(e3) = e1.
1. A-t-on f=g?
2. Donner les matrices Mfet Mgde fet gdans la base B.
3. Donner l’image de Bpar l’application linéaire h= 2f−g.
4. Pour tout (x, y, z)∈R3, donner les coordonnées de h(x, y, z)dans la base B.
5. En utilisant les trois questions précédentes, donner, par trois méthodes différentes, la matrice Mhde h
dans la base B.
Exercice 7 Soit f:R3→R3une application linéaire. On pose g=f−Id. On suppose g◦g6= 0 et
g◦g◦g= 0.
1. Soit v∈R3tel que (g◦g)(v)6= 0. Montrer que les vecteurs v, g(v),(g◦g)(v)forment une base de R3.
2. Donner la matrice Mgde g, puis la matrice Mfde fdans cette base.
Exercice 8 Soit B= (e1, e2, e3)la base canonique de R3. On considère l’endomorphisme φde R3défini
par
φ(e1) = 0, φ(e2) = e1−e2−e3, φ(e3) = −e1+e2+e3.
1. Ecrire la matrice de φdans la base B.
2. Trouver une base de ker(φ)et une base de Im(φ).
3. Trouver un vecteur vde R3tel que φ(v)6= 0 et montrer qu’alors la famille (v, φ(v)) est libre dans R3.
4. Trouver un vecteur wde ker(φ)tel que la famille F= (v, φ(v), w)soit une base de R3.
Ecrire la matrice de φdans la base F.
Exercice 9 Calculer l’inverse des matrices suivantes :
A= −1 1
2 3 !B=
1 1 3
1 2 4
−1 1 0
C=
0111
1011
1101
1110
.
Exercice 10 Soit fl’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique B= (e1, e2, e3)est
A=
201
021
012
.
–2/5– Mathématiques

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1. Montrer que fest bijectif et déterminer la matrice de f−1dans la base B.
2. On pose e′
1=e1,e′ 2=e1+e2−e3et e′ 3=e1+e2+e3.
(a) Montrer que B′= (e′
1, e′ 2, e′ 3)est une base de R3.
(b) Déterminer A′la matrice de fdans la base B′.
(c) Donner la matrice de passage de la base Bà la base B′.
(d) Calculer Anpour tout n∈N∗.
Exercice 11 Soit Kun corps. On définit dans Mn(K)la relation ∼par
A∼B⇐⇒ ∃P∈ Mn(K),inversible, A =P−1BP.
Montrer que ∼est une relation d’équivalence.
Exercice 12 Juin 2005.
Pour tout nombre réel m, on considère la matrice A(m)∈ M3(R)suivante :
A(m) = 
1m m2
m m2m
1 0 m
.
1. Déterminer pour quelles valeurs de mla matrice A(m)est inversible.
2. Déterminer le rang de la matrice A(m)en fonction du paramètre m.
Exercice 13 Soit A=
13 −8−12
12 −7−12
6−4−5
1. Montrer que Aest inversible et calculer son inverse.
2. En déduire l’expression de Anpour tout n∈Z.
Exercice 14 On considère la matrice M:
M=
011
101
110
Montrer que l’on a pour tout n∈N:Mn=anM+bnI3.
Expliciter an∈Ret bn∈R.
Exercice 15 Soit U∈ Mn,1(R)tel que UtU=||U||2
2= 1.
–3/5– Mathématiques

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1. Montrer que S=In−2UU test une matrice symétrique telle que S2=In, en déduire que Sest
inversible et calculer S−1.
2. Montrer que P=In−U Utest une matrice symétrique telle que P2=P. Montrer que Pn’est jamais
inversible.
Exercice 16 Soient Aet Bdes matrices carrées de taille ntelles que In−AB soit inversible.
Calculer (In−BA)(In+B(In−AB)−1A).In−BA est-elle inversible ?
Exercice 17 Soit A= (ai,j )i∈{1,...,n},j∈{1,...,n}∈ Mn(R).
On définit la trace de Aque l’on note tr(A)comme égale à la somme des éléments de la diagonale
principale. On a donc
tr(A) =
n
X
i=1
ai,i.
1. Montrer que ∀A∈ Mn(R),∀B∈ Mn(R),∀λ∈R,∀µ∈R, on a :
tr(λA +µB) = λtr(A) + µtr(B) ; tr(AB) = tr(BA).
2. Calculer tr(AtA)en fonction des coefficients de A.
Exercice 18 Soient A=
543
765
543
et B=
123
234
123
.
Déterminer toutes les matrices X∈ M3(R)telles que A=BX.
Exercice 19 Soit R2[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, à coefficients
dans R.
Soit B={1, X, X2}la base canonique de R2[X].
Soit φl’endomorphisme de R2[X]défini par φ:P(X)7−→ XP ′(X)−1
2P.
Donner la matrice de φdans la base B.
Exercice 20 On considère Ccomme un R-espace vectoriel de dimension 2(C∼
=R2), ce qui revient à
dire qu’on peut se donner z=a+ıb ∈Cavec a∈Ret b∈R.
Soit B1={1, ı}la base canonique de Ccomme un R-espace vectoriel de dimension 2. On écrit zdans la
base B1:zB1= a
b!∈ M2,1(R).
On pose =−1
2+ı√3 2.
1. Vérifier que 1 + += 0.
Soit B2={1, }une autre base de Ccomme un R-espace vectoriel de dimension 2.
–4/5– Mathématiques

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2. Ecrire zdans la base B2(i.e. zB2∈ M2,1(R)) et donner A∈ M2,2(R)telle que zB2=A zB1. Donner
B∈ M2,2(R)telle que zB2=B zB1.
Soit cl’endomorphisme de Cqui à z∈Cassocie son conjugué z∈C.
Soit CB1∈ M2,2(R)la matrice associée à l’endomorphisme cdans la base B1.
3. Donner la matrice CB1.
Soit CB2∈ M2,2(R)la matrice associée à l’endomorphisme cdans la base B2.
4. Donner la matrice CB2.
5. Donner en justifiant (par des calculs ou non), l’existence de l’inverse de la matrice B, la matrice B−1
et la matrice B−1CB1B.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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