Mathematiques 2 - 1999 - Classe Prepa MP

Concours Centrale - SupéIec 1999
1 Épreuve: MATHÉMATIQUES II
Filière MP 1
L 1
Les quatre parties du problème proposé sont consacrées à la description gé
trique, dans des situations variées, de l'ensemble des produits des élémen
deux parties d'une algèbre sur
IR.
Notation : Lorsque E et F sont des parties d'une IR-algèbre A, EF désigne
l'ensemble des produits d'un élément de
E et d'un élément de F, soit :
où yz désigne le produit de y par z pour la multiplication d'anneau de A.
Rappelons une définition : si X c C et u E Q: , on dit que X est étoilé par rapport
à u si pour tout x E X, le segment [u,~] = {tu + (1 -t)xltE est inclus dans X.
Si X est étoilé par rapport à l'un des ses points, on dit que X est étoilé.
'
EF = (XE Al 3(y,z) E ExF; x = yz>
I
Partie I -
Dans cette partie, la IR -algèbre A est C identifiée à un plan d'origine O .
Soit (LI) l'ensemble des complexes de la forme z = cos8 eze , (L2) celui des com-
plexes de la forme
z = t cosyr eaW , où 8, yr décrivent IR et t l'intervalle [O,l] .
1.A - Soit n = L,L, . Quelle est l'intersection de n avec une demi-droite d'ori-
gine
0 du plan ? Caractériser n soigneusement et le représenter graphique-
ment.
1.B - Comment L,L, se déduit-il de n ? L,L2 est-il convexe ? étoilé ?
Partie II -
Dans cette partie la IR -algèbre est Mn( IR) :
Ici n E IN*, E = S,(IR) = {ME Mn(IR)jtM= M} , F est la partie de E constituée,
des matrices symétriques définies positives, soit
F = {ME S,(IR)IVXE IRn\{O},tXMX>O}
et G désigne l'ensemble des matrices de M,(IR) qui sont diagonalisables dans
1I.A - Pour chacun des ensembles E , F, G , décider s'il est convexe ou non et le
démontrer.
1I.B - Montrer que si S E F , il existe une matrice S' E F telle que S = ST2 .
Mn(W.
1I.C - En déduire que si A E E et S E F , AS est semblable à S'AS' où S' E F et
St2 = s.
1I.D - Montrer l'égalité EF = G ; on pourra utiliser 1I.C ainsi que l'égalité sui-
vante, valable pour D et P d'ordre n, avec P inversible :
1I.E - G est-il connexe par arcs ?
PDP-' = (PDtP)(tP-'P-').
Remarque : il n'est pas nécessaire dans cette question, d'appliquer ce qui pré-
cède, cela peut néanmoins se révéler suffisant.
Partie III -
Dans cette partie, la IR -algèbre est C .
1II.A - Montrer que toute partie étoilée de C est connexe par arcs.
III.B*
a) Caractériser, pour (a, z, z') E C , l'ensemble [O, a][z, 2'1.
b) Demontrer que la réunion d'une famille de parties de C , étoilées par rapport
à O, reste étoilée par rapport à O (voir le rappel de définition).
1II.C - Démontrer que si E c C est étoilée par rapport a O et si F c C est etoilee,
EF est etoilée par rapport a O.
3
Partie IV -
Dans cette partie, la IR-algèbre est IRn où IRn (avec n = 2 ou 3 ) est muni du
produit "canonique"
: (al,a2)(bl,b2) = (albl, a2b2) lorsque n = 2 et
(a,,a,,a3)(b,,bZb3) = (alb,, a2b2, a3b3) lorsque n = 3. On ne demande pas de
vérifier que IR
muni de sa structure de IR- espace vectoriel et de ce produit est
une algèbre.
Comme les points de l'espace affine IRn ainsi que les vecteurs de l'espace vecto-
riel
IRn sont repérés par des n -uplets, cela permet de calculer des produits à
l'aide des formules ci-dessus ; pour des raisons de cohérence, cf IV.A.1, IV.B.2 et
IV.B.3, on conviendra que le produit de deux points est un point et que le produit
$un point (ou d'un vecteur) par un vecteur est un vecteur.

MATHÉMATIQUES II
IV.A -
--3 -3
IV.A.l) Soit
D = (a; u) et D’ = (b; u) deux droites dans le plan P, avec 2 i?
non nuls. Montrer que : DD’ = {ab + hbz + pa2 + hy26/ &y) E IR’}.
IV.A.2) On suppose que b2 et a2 sont indépendants ; soit alors le repère affine
r = (ab; bu,au) ; montrer qu’il existe (a,p)~ IR’ tel que DD‘ soit paramétré
IV.A.3) Supposons a et p non nuls : on pose A = 2ph + 1 , M = 2ap + 1 . Déter-
miner
A - M et AM en fonction de X, Y, a et p. En déduire que DD’ est
l’ensemble défini par une inégalité du type
$(X,Y) 2 O. Conclure quant à la
nature de
DD’ .
IV.A.4)
IV.A.5)
TV.B - La suite de cz PToblème a désormais pour cadre IR3 muni du repère
affine canonique (O; i,j,k) et de sa structure euclidienne orientée canonique.
Soit
D = (a;ï$ et D’ = (b;?) deux droites dans l’espace E = IR3 avec 2 2 non
nuls.
IV.B.l) Que dire de DD‘ si D passe par l’origine ? DD’ est4 alors convexe ?
étoilé ?
IV.B.2) On suppose que (b2, a?, 2;) est une base de IR3 .
a) Donner une représentation paramétrique de DD‘ dans le repère
r = (ab; b2, a;, $3) analogue à celle de (1). En déduire une représentation de
DD’ de la forme Z = v(X,Y).
b) On vérifie facilement, et on n’en demande pas la démonstration, que, quitte
à remplacer a (respectivement b ) par un certain a’ (respectivement b‘ ) sur D
(respectivement D’ ), on peut supposer que b2 et a; sont orthogonaux à 2
.
Soit un autre repère r’ = (ab; 1, J, K) orthonormé celui-là, tel que I et J
soient dans Vect (bz, a?) . De quelle forme sont les formules de passage entre les
coordonnées
X, Y
Z d’un point relativement à r et X , Y’, Z’ relativement à
r’ ? Montrer que DD‘ a dans r’ une équation de la forme :
i.3
dans r par : (1, p) H (X = h + ahy, Y = p + php) .
(1)
Étudier le cas a = O, p # O.
Étudier le cas a = p = O. Que dire alors de D et D‘ ?
+++ 3 3
2’ = AX2 + 2BXY’+ CY2
(2)
c) Montrer que les droites (ab; b;) et (ab; a;) so2t iqcluses dans DD’ . Quelle
forme d’équation obtient-on dans (2)
si on choisit I , J portés par les bissectri-
ces de ces deux droites
? Un tel choix est-il possible ? Quelle est la nature de
DD‘ ?
IV.B.3) On dira désormais que le couple (D,D’) est dégénéré si (b%, a;,z;) est
lié.
Filière MP
On suppose que (D,D’) , est dégénéré mais que (b2, a;) est libre. Déduire de 1V.A
la nature de DD‘ .
TV.C - On s’intéresse ici au cas de dégénérescence du couple (D,D’) .
IV.C.1) Si 2 et 2 sontarthogonaux, montrer qu2ne condition suffisante de
dégénérescence est que Ob soit orthogonal à 2 et Oa à 2.
IV.C.2) Soit 2, i? deux vecteurs non nuls donnés, on cherche le lieu (L) des
points
a = (x,y,z) tels que le couple (D,D’) OÙ D = (a; 2) et D’ = (a; 2) soit dégé-
néré.
a) Montrer que (L) a une équation de la forme tXMX = O avec M symétrique
de taille
3 x 3 que l’on calculera. Exprimer det M à l’aide notamment des com-
posantes de
2, de ? et du produit vectoriel 2 A 2.
b) Lorsque detM est non nul, utiliser les théorèmes de réduction pour montrer
que
(L) est un cône contenant O. Indiquer cinq droites particulières incluses
dans
(L) . Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur 2, i? pour que
la droite (O;.; A 2) soit aussi incluse dans (L) .
c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur (2, 2) pour que
detM # O.
d) Lorsque det M = O, quelle est la nature de (L) ?
IV.C.3) On s’intéresse ici aux ensembles (L’) définis par une équation de la
forme q’(X) = tXM’X = O, où M est une matrice symétrique 3x3 de trace
nulle.
a) À quelle condition la forme quadratique q’ est-elle positive ?
b) Que dire de (L’) lorsque rgM’< 1 ? lorsque rgM’ = 2 ?
C) On suppose rgM’ = 3 . Montrer que (L’) n’est pas réduit à l’origine. Soit X
da- (L’)\{O} et C = (2, ?,2) une base orthonormale telle que 2 soit colinéaire
à OX . De quelle forme est la matrice de q’ dans la base C ? Montrer que l’inter-
section de
(L’) et du plan (O; ?, $) est la réunion de deux droites orthogonales.
Montrer qu’il existe une infinité de bases orthonormales
C’ telles que la matrice
de
q’ dans C’ ait ses trois coefficients diagonaux nuls.
d) On suppose que l’on
a deux vecteurs indépendants 2 et 2 tels que
(L’) contienne les droites (O; 2) et (O;$) où 2 = 2 A 6. Montrer qu’il existe
une base orthonormale
(Z1, i?,, G1) telle que 21 appartienne à Vect(2) et 21 à
Vect (2). Que dire de la matrice de q’ relativement à une telle base ? En consi-
dérant l’intersection de
(L’) et du plan (O; 21,61) d2nner une condition néces-
saire et suffisante pour que
(L’) contienne aussi (O; u).