DU LINEAIRE AU CONVEXE

Chapter 1
DU LINEAIRE AU CONVEXE
1.1 Notations préliminaires
Espace vectoriel IRn: On travaillera avec des vecteurs à ncomposantes réelles notés:
x∈IRnsoit x=
x1
.
.
.
xn
avec xi∈IR, i = 1,...,n
Deux types d’opérations sont effectuées dans un espace vectoriel:
•Addition : ∀x, y ∈IRn, z =x+y⇐⇒ zi=xi+yi, i = 1,...,n
•Multiplication par un scalaire : ∀x∈IRn, a ∈IR, z =ax ⇐⇒ zi=axi, i = 1,...,n
Toute combinaison linéaire d’éléments de l’espace vectoriel est donc un élément de l’espace,
0 est l’élément neutre et −xest l’élément inverse de x(tel que x+ (−x) = 0). Par ailleurs,
un vecteur de IRnsera dit linéairement dépendant d’un ensemble de vecteurs S⊂IRn
s’il peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de S. En conséquence, un
ensemble de vecteurs {s1,...,sk}sera dit linéairement indépendant s’il n’existe pas de
coefficients (a1,...,ak)non tous nuls tels que Pk
i=1 aisi= 0.
On introduit un produit scalaire noté h·,·i, application bilinéaire de IRn×IRndans IR :
hx, yi=
n
X
i=1
xiyi
Deux vecteurs xet yde IRnsont orthogonaux si hx, yi= 0.
La norme associée est la norme euclidienne notée :
kxk=hx, xi1/2
On notera B={x∈IRn|kxk ≤ 1}la boule unité pour la norme euclidienne.
La fermeture d’un ensemble Cest définie par :
cl(C) = \{C+ǫB|ǫ > 0}
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2CHAPTER 1. DU LINEAIRE AU CONVEXE
et l’intérieur par :
int(C) = {x∈C|∃ǫ > 0, x +ǫB ⊂C}
L’intérieur étant souvent vide, on lui préfère souvent l’intérieur relatif au sous-espace affine
engendré par C(voir ci-dessous), noté rint(C). On a alors rint(C)⊂C⊂cl(C).
Matrices :Mm,n(IR)est l’ensemble des matrices de mlignes et ncolonnes à coefficients
réels (pour les matrices carrées, on notera simplement Mn(IR)). Un élément de Mm,n(IR)
représente donc une transformation linéaire de l’espace IRndans l’espace IRm.
Soit A∈Mm,n(IR),aij est l’élément de la i-ème ligne et j-ème colonne et soit x∈IRn:
y=Ax ⇐⇒ y∈IRmet yi=
n
X
j=1
aijxj, i = 1,...,m
A la composition d’une transformation linéaire de IRndans IRmavec une transformation
de IRmdans IRp, on associera le produit matriciel A=CB où Best une matrice (m×n),
Cest une matrice (p×m); donc le produit est une matrice Ade taille (p×n)dont chaque
élément est le produit scalaire d’une ligne de Cavec une colonne de B.
On notera ATla matrice transposée de A, c.a.d. telle que :
∀x∈IRn, y ∈IRm,hy, Axi=hATy, xi
On observe que la même notation est utilisée pour le produit scalaire dans IRmet dans
IRn.
On a : (AT)ij =aji et (AT)T=A
Rang d’une matrice : le rang d’une matrice est égal au nombre maximum de vecteurs
colonnes linéairement indépendants. C’est aussi le nombre maximum de vecteurs lignes
linéairement indépendants. Donc rang(A)≤min{m, n}.
Matrices carrées : ce sont les matrices telles que m=n. Une matrice carrée telle que
rang(A) = mest dite non singulière . Elle possède une inverse , notée A−1, qui satisfait :
AA−1=A−1A=I, où Iest la matrice identité , telle que aii = 1 et aij = 0 ,si i6=j. On
a : (A−1)−1=A.
Une matrice (carrée) symétrique est telle que A=AT.Sn(IR)représente le sous-
ensemble des matrices carrées symétriques de dimension n.
Les matrices telles que HHT=HTH=Isont dites orthogonales (leurs lignes et leurs
colonnes sont orthonormées). Elles satisfont kHxk=kxk,∀x
Si S∈Sn(IR), toutes les valeurs propres λide Ssont réelles et il existe une matrice or-
thogonale Utelle que UTSU =diag{λ1,...,λn}. Les colonnes de Usont donc les vecteurs
(propres) orthonormés qui permettent la décomposition spectrale S=Pn
i=1 λiuiuT
i.
Les matrices symétriques définies positives sont celles dont toutes les valeurs propres
sont strictement positives (on dira matrice semi-définie positive s’il existe des valeurs pro-
pres nulles). Si A∈Sn(IR)est définie positive, on a ∀x∈IRn, x 6= 0,hx, Axi>0.
1.2 Sous-espaces vectoriels et affines
Dans la continuité de l’introduction, un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble de IRn
fermé pour les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire. Il contient donc
l’origine et on a les propriétés immédiates :
Propriétés des sous-espaces : Soient Let Mdeux sous-espaces vectoriels; alors :

1.2. SOUS-ESPACES VECTORIELS ET AFFINES 3
i) L∩Mest un sous-espace
ii) L+Mest un sous-espace
Définition 1.1 On appelle sous-espace engendré par un ensemble S⊂IRn, l’ensemble,
noté lin{S}, des xqui s’écrivent comme une combinaison linéaire des vecteurs de S:
lin{S}={x∈IRn|x=α1a1+···+αnak, ai∈S, λi∈IR, i = 1,...,k}
Exercice : Montrer que L+M=lin{L∪M}
De même que l’espace IRnpeut être engendré par les nvecteurs l.i. de la base canonique,
un sous-espace peut toujours être représenté à l’aide d’un ensemble générateur fini. Soit
Sun ensemble fini de vecteurs l.i. tel que L=lin{S}; on dira que Sest une base de L.
Le résultat fondamental sur les sous-espaces est que chaque base qui engendre le même
sous-espace a la même cardinalité.
Théorème 1.1 Tout système de vecteurs linéairement indépendants qui engendre un sous-
espace vectoriel a la même cardinalité.
Démonstration Considérons deux bases {a1,...,ak}et {b1,...,bl}du sous-espace Let
supposons l > k. On écrit alors b1sur la première base, soit b1=α1a1+··· +αkaket
supposons que α16= 0 (car tous les αine peuvent être tous nuls). On remplace alors a1
dans la base par 1
α1(b1−α2a2− · · · − αkak). Par induction,
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La cardinalité d’une base est appelée la dimension du sous-espace. La dimension permet
de classer les différents objets linéaires de IRn. En particulier, la dimension de IRnest
n. Donc, tout sous-espace Lde IRna une dimension dimLsatisfaisant : dimL∈IN et
0≤dimL≤n.
Supposons une base de vecteurs {a1,...,ak}qui engendrent lin{S}, sous-espace de
dimension k. Si Aest la matrice (n×k)dont les colonnes sont les vecteurs a1, ..., aket α
est le vecteur de IRkdont les composantes sont les αi, on peut représenter le sous-espace
engendré par Spar :
lin{S}={x∈IRn|x=Aα, ∀α∈IRk}
(on dit aussi que lin{S}est le sous-espace image de A, noté Im(A)ou A(IRn))
Sous-espace orthogonal à un ensemble S: c’est l’ensemble des vecteurs orthogonaux
à tous les vecteurs de S, noté :
S⊥={x∈IRn| hx, yi= 0,∀y∈S}
Il est facile de montrer que S⊥est un sous-espace. Si Best la matrice (l×n)dont les
lignes sont les générateurs de lin{S}, alors on peut représenter S⊥par :
S⊥={x∈IRn|Bx = 0}
(on dit aussi le noyau de B, noté Ker(B))
Propriétés :

4CHAPTER 1. DU LINEAIRE AU CONVEXE
1. (S⊥)⊥=lin{S}
2. S⊂T=⇒S⊥⊃T⊥
3. (S∪T)⊥=S⊥∩T⊥
4. {0}⊥=IRn
5. L’image de Aest orthogonale au noyau de AT
6. lin{S} ⊕ S⊥=IRn
La somme directe ⊕signifie que, pour tout zde IRn, la décomposition z=x+yavec
x∈lin{S}et y∈S⊥est unique.
Représentation des sous-espaces
Tout sous-espace de IRnpeut être représenté de deux manières différentes:
•comme ensemble des combinaisons linéaires d’un nombre fini de générateurs (c’est
alors le sous-espace Image de la matrice dont les colonnes sont ses générateurs);
•comme ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes (c’est
alors le sous-espace Noyau de la matrice associée aux lignes du système d’équations).
Exemple :
Dans IR3, soit le sous-espace Lengendré par a1=
1
−1
0
et a2=
0
1
−1
Donc L=Im(A)avec A=
1 0
−1 1
0−1
et dimL=rang(A) = 2
On peut représenter Lpar L={x∈IR3|x1+x2+x3= 0}, soit L=Ker(B)avec
B=h1 1 1 iet dimL=n−rang(B) = 2
Variétés linéaires :
Soit Lun sous-espace de dimension met x0∈IRn. L’ensemble des vecteurs xde IRn
tels que x=x0+z, z ∈Lest une variété linéaire (ou sous-espace affine). Toute variété
linéaire qui passe par l’origine est un sous-espace vectoriel. La deuxième représentation
d’une variété linéaire est l’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires :
Soit L={x∈IRn|Bx = 0}, et soit x0tel que Bx0=b, alors l’ensemble V=
{x0}+L={x∈IRn|Bx =b}est une variété linéaire parallèle au sous-espace L. Comme
la dimension de ce sous-espace est égale à n−rang(B) = m, on dira que la variété a
pour dimension m(par analogie sur le nombre de degrés de liberté de sa représentation
paramétrique).
Définition 1.2 : On appelle sous-espace affine engendré par S, l’ensemble aff{S}des
combinaisons linéaires, de somme égale à 1, d’éléments de S.
aff{S}={x∈IRn|x=α1a1+... +αkak,X
i
αi= 1; ai∈S, i = 1, ...k}

1.3. CÔNES POLYÈDRIQUES 5
On vérifie immédiatement que aff{S}est une variété linéaire en écrivant aff{S}=
{a1}+{x∈IRn|x=α2a′2+...+αka′k;a′i=ai−a1}.
Obs. : D’une manière générale, on dira que la dimension d’un ensemble Sest dsi
dim(aff{S}) = d.
Une variété linéaire de dimension n−1est un hyperplan. Donc, un hyperplan peut
être représenté au moyen d’une seule équation linéaire :
H={x∈IRn| ha, xi=b}
1.3 Cônes polyèdriques
Définition 1.3 Un ensemble Cde IRnest un cône ssi :
∀x∈Cet ∀λ≥0, λx ∈C
Cette définition implique donc qu’un cône contient l’origine. Elle inclut également des
cônes non convexes mais on ne s’intéressera ici qu’aux cônes convexes (voir définition de
la convexité à la section suivante).
Définition 1.4 Le cône convexe engendré par l’ensemble S, noté cone{S}, est l’ensemble
de toutes les combinaisons linéaires non négatives d’éléments de S.
cone{S}={x∈IRn|x=α1a1+...+αkak, αi≥0; ai∈S, i = 1,...,k}
On vérifie aisément que cone{S}est un cône convexe. C’est le plus petit cône convexe qui
contient S.
Observations :
1. Contrairement aux sous-espaces, les cônes convexes n’ont pas toujours une représen-
tation finie. Ceux qui en possèdent une sont appelés cônes polyédriques.
2. En toute généralité, un cône convexe peut contenir un sous-espace (non trivial).
Le plus grand sous-espace contenu dans un cône Cest clairement défini par L=
CT(−C). On appelle cône pointé un cône qui ne contient que le sous-espace trivial
{0}. En d’autres termes, un cône pointé est un cône Ctel que CT(−C) = {0}.
Comme précédemment, on peut se poser la question d’une représentation minimale
(ou essentielle) d’un cône polyèdrique. La réponse est moins simple que dans le cas du
sous-espace. On doit introduire la notion de rayon extrème du cône :
Définition 1.5 Soit Cun cône convexe de IRn;r∈Cest un rayon extrème de Cssi on
ne peut trouver r′∈Cet r′′ ∈Ctels que r′, r′′ /∈cone{r}et r=r′+r′′.
On associera souvent un rayon extrème ravec la demi-droite cone{r}engendrée par r,
appelée direction extrème.
Ainsi, on peut considérer le problème de la génération d’un cône par ses rayons ex-
trèmes :
Proposition 1.1 : Soit Cun cône polyèdrique pointé et soit Sl’ensemble de ses rayons
extrèmes. Alors il existe un sous-ensemble fini ¯ Sde Stel que C=cone{¯ S}. De plus, cette
représentation est de cardinalité minimale.