13 Plan Variables aléatoires discrètes

Chapitre 16
Variables aléatoires
1. Variables aléatoires discrètes
1.1. Définitions
 Définition : notamme,nt avec la condition
:xX
1
Xx
 Propriété :
:AX
1
XA
Démonstration
 Notations :
XA
,
Xx
,
Xa
1.2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
a) Définition 1
0,1
:
X
X
PA P X A
 Propriété :
X
P
est une probabilité sur
,XX
Démonstration
 Il suffit de déterminer
ii
p P X x
si
;
i
X x i I
.
 Condition pour que la famille
iiI
p
définisse une loi de probabilité.
b) Définition 2
0,1
:
X
X
Px P X x
c) Exercices traités
1.3. Variables aléatoires de même loi
 Définition, relation d’aquivalence induite.
 Notations
1.4. Image d’une variable aléatoire par une fonction
 Proposition :
uX
est une variable aléatoire Démonstration
2. Lois de probabilité discrètes usuelles
Pour chaque loi :
 justification du caractère « loi de probabilité »
 modèle usuel, exemple
2.1. Lois finies
a) Loi uniforme
n
b) Loi de Bernoulli
p
c) Loi binomiale
,np
d) Loi hypergéométrique
,,N n p
(elle n’est pas au programme de MP)

2.2. Lois discrètes infinies
a) Loi géométrique
p
 Proposition caractérisation comme loi sans mémoire Démonstration
2
,nk
:
Xn
P X n k P X k
b) Loi de Poisson
l
 Théorème approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson
Démonstration
3. Espérance
3.1. Définitions
3.2. Formule de transfert
a) Le théorème
 Formule
xX
E X f x P X x
à connaître
b) Exemples
3.3. Propriétés
a) Linéarité
 Variable aléatoire centrée associée à X
b) Positivité (améliorée)
c) Croissance
3.4. Espérances des lois usuelles
 Elles sont à connaître. Démonstration
3.5. Inégalité de Markov
EX
P X a a
Démonstration
4. Variance, écart-type
4.1. Moments
a) Définition : moment d’ordre r
b) Propriétés des moments d’ordre 2
Propriété 1 Si une variable aléatoire admet un moment d’ordre 2, elle est
d’espérance finie.
 Démonstration
Propriété 2 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si deux variables aléatoires X et Y admettent chacune un moment d’ordre 2,
la variable aléatoire
XY
est d’espérance finie et
222
E XY E X E Y
.
 Démonstration

4.2. Variance, écart-type
a) Définition
b) Propriétés de la variance
c) Exemple
4.3. Variances des lois uxuelles
 Ces résultats sont à connaître. Démonstration
4.4. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
2
VX
P X E X ee
Démonstration
5. Couple et famille de variables aléatoires
5.1. Couple de variables aléatoires
a) Définition
b) Lois conjointes
 Défintion
Propriété La loi conjointe de X et Y est entièrement déterminée par la
famille
,,0,1 IJ ij ij
p
où
,i j i j
p P X x Y y
.
 Démonstration
 Exemples
c) Lois marginales
 Définition
 Elles sont données par les formules respectives:
:iI
,i i i j i j
j J j J
p P X x p P X x Y y
:jJ
,j j i j i j
i I i I
q P Y y p P X x Y y
 Démonstration
 Exemples
d) Lois conditionnelles
 Définitions
 Liens entre lois conditionnelles, loi conjointe et lois marginales.
Xx
P X x Y y P X x P Y y
Yy
yX
P X x P Y y P X x
 Exemples

5.2. Indépendance des variables aléatoires
a) Couple de variable aléatoire indépendantes
 Définition
 Caractérisation Démonstration
 Conséquence : connaissance de la loi conjointe par les lois marginales
 Proposition : si X et Y sont indépendantes,
alors
fX
et
gY
sont indépendantes. Démonstration
b) Indépendance d’une famille de variables aléatoires
 Définition.
 Caractérisation.
Théorème (lemme des coalitions)
Soit un vecteur aléatoire
12
, ,..., n X X X
et
1, 1mn
.
Soit
1
:
m
k
k
f X E
et
1
:
n
k
km
g X E
.
Si les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes,
alors
1,..., m
f X X
et
1,..., mn
g X X
gY
sont indépendantes.
 Démonstration admise
c) Indépendance et espérance
Théorème
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes d’espérance
finies, alors XY est d’espérance finie égale à
()E XY E X E Y
Si
12
, ,..., n X X X
sont mutuellement indépendantes d’espérance finie,
alors
1
n
k
k
X
est d’espérance finie et
11
nn
kk
kk
E X E X
.
 Démonstration admise
d) Epreuves répétées indépendantes
 Principe, exemples
5.3. Covariance
a) Définitions et diverse écriture
cov ,X Y E X E X Y E Y
cov ,X Y E XY E X E Y
,
()
x y X Y
E XY xyP X x Y y
b) Propriétés immédiates

 Variance et covariance
 Cas où X et Y sont indépendantes ;
c) Exemple
d) Propriétés
Propriété 1 Sur l’espace des variables aléatoires possédant des moments
d’ordre 2, la covariance est une forme bilinéaire, symétrique et positive.
 Démonstration
  Attention ! ce n’est pas un produit scalaire.
Propriété 2
cov ,X Y X Yss
 Démonstration
e) Variance d’une somme finie de variables aléatoires
Théorème Soient X, Y,
12
, ,..., n X X X
des variables aléatoires discrètes
possédant des moments d’ordre 2.
2cov , )V X Y V X V Y X Y
1 1 1 ,
2 cov , )
nn
i i i j
i i i j n
ij
V X V X X Y
 Démonstration
 Exemple
f) Cas des variables indépendantes (bilan)
Théorème 1 Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors :
cov , 0XY
V X Y V X V Y
 Démonstration
Théorème 2 Si
12
, ,..., n X X X
sont deux à deux indépendantes, alors :
11
nn
ii
ii
V X V X
 Démonstration
5.4. Loi faible des grands nombres
Théorème
Soit
nn
X
une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes,
de même loi, d’espérance m et admettant un moment d’ordre 2.
Soit
1
n
nk
k
SX
. Alors,
0e
:
0
n
n
S
Pm
ne
 Démonstration