Exercices sur divisibilité et congruences

Exercices sur divisibilité et congruences
Exercice 1 : Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses puis justifier :
, ,  et  sont des entiers relatifs.
Affirmation 1 : Si  divise , alors  divise ²
Affirmation 2 : Si  divise ², alors  divise 
Affirmation 3 : Si  divise  et  divise , alors    divise   
Affirmation 4 : Si  divise le produit , alors  divise  et  divise .
Exercice 2 : Les questions suivantes sont indépendantes
1) Enoncer le théorème de la division euclidienne.
2) Dans la division euclidienne de deux entiers naturels, le dividende est 63 et le reste est 17.
Donner toutes les valeurs possibles du quotient et du diviseur.
3) Déterminer tous les entiers naturels qui, dans la division euclidienne par 7, donnent un quotient
égal au triple du reste.
4) Dans une division par , où    , d’un entier positif , le quotient est  et le reste . Si l’on
augmente  de 5, le quotient augmente de 3 et le reste diminue de 1.
Quels sont les entiers  possibles ?
5)  et  sont deux entiers naturels non nuls. Dans la division euclidienne de  par , le reste  est
supérieur ou égal au quotient .
Prouver que si l’on divise  par   , on obtient le même quotient. Quel est alors le reste ?
Exercice 3 :
On se propose de déterminer tous les entiers naturels  vérifiant la propriété  suivante :
« ²  est divisible par    »
1) Simplifier l’expression ²       .
2) En déduire que si  vérifie  alors    divise un entier naturel indépendant de  que l’on
précisera.
3) En déduire tous les entiers naturels  vérifiant la propriété .
Exercice 4 :
1) On appelle diviseur strict d’un nombre entier naturel tout diviseur autre que le nombre lui-même.
Déterminer les nombres entiers naturels diviseurs stricts de 220.
2) On appelle nombres amiables deux nombres entiers naturels tels que chacun d’entre eux soit égal
à la somme des diviseurs stricts de l’autre. Vérifier que 220 et 284 sont amiables.
3) On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts (c’est-à-dire qu’il
est amiable avec lui-même).
On admet que les nombres parfaits sont pairs.
Déterminer un nombre parfait inférieur à 10 et un autre compris entre 20 et 30.

Exercice 5 :
On souhaite déterminer tous les entiers naturels non nuls  et  tels que :
1) Démontrer que cela revient à déterminer  et  tels que      .
2) Conclure.
Exercice 6 :
Démontrer que pour tout entier naturel  non nul, le reste de la division euclidienne de ²   
par    est indépendant de .
Exercice 7 :
A) Restitution organisée de connaissance
Soit  un nombre entier naturel non nul et   ’’ des entiers relatifs.
Prérequis : On sait que    si, et seulement si, il existe un nombre entier relatif  tel que
    .
Montrer que si    et ′ ′ alors   
′
   ′ et   
′
   ′
B) Application
1) Dans chaque cas, simplifier la congruence :
    ;     ;   
2) En déduire à quel nombre entier naturel compris entre 0 et 5, chaque nombre est congru modulo
6 :
Exercice 8 :
On souhaite déterminer les entiers naturels  et  tels que      
1) Montrer que si      , alors    et    sont des diviseurs de 4.
2) Conclure.
Exercice 9 :
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel   ,      est divisible par 9.
Exercice 10 :
a) Démontrer que, pour tout    
b) Déterminer le reste de la division euclidienne de 
par 7.

Exercice 11 :
Soit  un entier naturel. On considère les deux entiers  et  définis par :
  ²       
Déterminer les valeurs de  pour lesquelles le quotient et le reste de la division euclidienne de  par 
sont respectivement égaux à    et   .
Exercice 12 :
Le code d’une carte de crédit est un nombre de quatre chiffres qui ne commence pas par 0.
Arthur a remarqué qu’en ajoutant 17 au code de sa carte, il obtient un carré parfait (c’est-à-dire le
carré d’un nombre entier). De même, en ajoutant 86, il obtient encore un carré parfait.
Quel est le code de la carte de crédit d’Arthur ?
Exercice 13 :
A) Restitution organisée de connaissance
Soit  un nombre naturel non nul et   ’’ des entiers relatifs.
Montrer que si    et ′ ′ alors   
′
   ′ et   
′
   ′
B) Application : un critère de divisibilité par 7
Critère : pour savoir si un entier naturel  est divisible par 7, on sépare le chiffre des unités de  des
autres chiffres et on effectue la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du
chiffre des unités. L’entier  est divisible par 7 si, et seulement si, cette différence est divisible par 7.
Exemple : 861 est-il divisible par 7 ? On effectue        et on recommence avec 84
(      ou on remarque directement que      ; 84 est divisible par 7 donc 861 aussi.
1) 1106 est-il divisible par 7 ? et 638 ?
2) On se propose maintenant de démontrer ce critère pour un nombre de trois chiffres.
Soit  un entier naturel de trois chiffres dont l’écriture décimale est    avec    c’est-à-dire :
    ²     .
a) Démontrer que :       .
b) On appelle  l’entier égal à la différence décrite ci-dessus. Montrer que :       .
c) En déduire que :      et     
d) En déduire que :       
e) Conclure.
Exercice 14 :
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1) Pour tout entier naturel  non nul,    n’est jamais divisible par 9.
2) Le produit de deux diviseurs d’un même nombre est encore un diviseur de ce nombre.
3) 
4) Pour tout entier naturel ,  a le même chiffre des unités que .
5) ²         .