Algebre euclidienne-2015

XMP 2015-2016
ALGÈBRE EUCLIDIENNE (1)
Pour X = (x, y, z) et X ′ = (x′, y′, z′) éléments de R3 , on pose :
1.
( X X ′) = xx ′ + 12 yy ′ + 2 zz ′ + 3 xy ′ + 3 x′y + xz ′ + x′z + 2 yz ′ + 2 y ′z .
Prouver que l'on définit ainsi un produit scalaire sur R3 (on éliminera tour à tour chaque variable en la mettant dans un
terme au carré). Déterminer une base orthonormée pour ce produit scalaire.
2.
Soit E l'espace des fonctions continues et 2π -périodiques de ℝ dans ℝ .
a. Prouver que l'on définit un produit scalaire sur E en posant ( f , g ) =
1
2π
2π
∫
f (t ) g (t )dt .
0
b. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par les fonctions f : x ֏ cos x et g : x ֏ cos 2 x . Déterminer le projeté
orthogonal sur F de la fonction u : x ֏ sin 2 x .
On munit l'espace E des fonctions continues sur [−1,1] du produit scalaire (?) défini par :
3.
1
( f g) =
∫
f (t ) g (t )
dt .
1− t2
a. Prouver que l'on définit bien ainsi un produit scalaire sur E.
b. Prouver que les polynômes de Tchebychev constituent une famille orthogonale pour ce produit scalaire.
−1
On considère un intervalle I de R et une fonction continue ω sur I à valeurs strictement positives telle que les intégrales
4.
∫ t ω(t )dt
n
∫
convergent pour tout n ∈ N . On peut donc munir R[ X ] du produit scalaire défini par ( P, Q ) = P (t )Q(t )dt .
I
I
a. Montrer l'existence d'une famille orthogonale ( Pn ) constituée de polynômes unitaires tels que ∀ n ∈ N, deg Pn = n .
b. Prouver que pour tout polynôme Q de degré strictement plus petit que n, on a (Q, Pn ) = 0 .
c. Soit (Qn ) une autre suite de polynômes possédant les mêmes propriétés que la suite ( Pn ) de la question a..
Prouver que l'on peut écrire Pn = α n Qn + … + α1Q1 + α 0Q0 avec α 0 ,… , α n ∈ R .
Prouver grâce à la question b. que α 0 = … = α n −1 = 0 et conclure.
d. On note r1 ,… , rp les racines réelles de Pn , situées dans I, et dont la multiplicité est impaire dans Pn . On pose
R( X ) =
∏
1≤ k ≤ p
( X − rk ) (avec la convention que R = 1 s'il n'y a pas de rk ).
Prouver que ( Pn , R ) ≠ 0 et en déduire que Pn possède n racines réelles, toutes simples, et dans I.
5.
Pour A et B dans M2 (R ) , on pose ϕ( A, B ) = tr ( t AB ) . On admet que l'on définit ainsi un produit scalaire sur M2 ( R) .
  a b 

On pose par ailleurs C =  
, a, b ∈ ℝ  .

  −b a 

a. Justifier que C est un sous-espace vectoriel de M2 (R) .
b. Déterminer C ⊥ .
1 1
⊥
c. Déterminer la projection orthogonale de J = 
 sur C puis calculer la distance de J à C.
1
1


π
6.
Calculer inf
a ,b∈R
∫ t − (a cos t + b sin t )
2
dt .
0
7. Soit M ∈ Mn ( R) une matrice inversible. En interprétant M comme une matrice de passage, prouver l'existence d'une
matrice orthogonale O et d'une matrice triangulaire supérieure T telles que M = OT .
Algèbre euclidienne 2015-2016
Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence
8. Soit E un espace préhilbertien, et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie n > 0 . On admet que pour tout x de
E, il existe un élément unique y0 de F tel que x − y0 soit orthogonal à F. La distance de x à F vaut alors x − y0 .
a b 
 a ′ b′ 
Pour A = 
et A′ = 

 dans M2 (R ) , on pose ϕ( A, A′) = aa ′ + bb′ + cc ′ + dd ′ .
c d 
 c′ d ′
a. Prouver que ϕ définit un produit scalaire sur M2 ( R) .
 1 0
b. Calculer la distance de la matrice A = 
 au sous-espace vectoriel F des matrices triangulaires supérieures.
 −1 2 
(9.) Soit E un espace euclidien de dimension n. Prouver par récurrence qu'il est impossible de trouver n + 2 vecteurs xi dans
E vérifiant ∀i ≠ j , ( xi x j ) < 0 . Interprétation géométrique ?
10. Soient x1 ,… , x p p vecteurs d'un espace préhilbertien E. On définit leur matrice de Gram par :
G (x1 ,… , x p ) =  ( xi x j )  .
a. Prouver que si la famille (x1, … , x p ) est liée, la matrice G(x1, … , x p) est non inversible.
b. Inversement, en supposant la matrice G(x1, … , x p) non inversible, prouver que la famille (x1, … , x p) est liée (on
écrira une relation de dépendance linéaire des colonnes de cette matrice)
c. Prouver plus généralement que le rang de la matrice de Gram est le même que celui de la famille de vecteurs.
11.
a. Nature de la transformation géométrique de R 3 euclidien orienté dont la matrice dans la base canonique est :
4
8 − 1
A = 1 4
4 − 7 .
9  1 − 8 − 4


b. On se donne trois réels a, b, c vérifiant a 2 + b2 + c 2 = 1 . Déterminer la nature de la transformation géométrique de
R euclidien orienté dont la matrice dans la base canonique est :
 a2
ab − c ac + b 
A =  ab + c
b2
bc − a  .
 ac − b bc + a
c2 


c. Écrire la matrice de la rotation d'angle 2π 3 autour de l'axe dirigé par (1,−1,1) .
3
12.
a. Compléter la matrice A suivante pour que ce soit une matrice orthogonale négative, et décrire la transformation de
R 3 euclidien orienté dont A est la matrice dans la base canonique :
 6 3 .
A = 1  − 2 6 .
7  3 . .


b. À quelle condition (C) sur les réels a, b et c la matrice A suivante est-elle une matrice d'isométrie ?
a b c 
A = c a b .
b c a 
Déterminer géométriquement le lieu des points de l'espace de coordonnées (a, b, c) vérifiant la condition (C).
(c.) À quelle condition supplémentaire A est-elle une matrice de rotation ? Montrer que cette condition équivaut à ce que
a, b et c soient les racines d'un polynôme de la forme X 3 − X 2 + λ avec λ ∈ [0, 4 ] . Déterminer alors l'axe et l'angle de cette
27
rotation.
13. Soit u une forme linéaire sur un espace euclidien E. En décomposant un vecteur x de E sur une base orthonormée, prouver
l'existence d'un vecteur a de E tel que ∀ x ∈ E , u ( x) = (a x) . Prouver qu'un tel vecteur a est unique.
14. Prouver que le groupe orthogonal On (R) est compact. En déduire, que l'hypothèse d'inversibilité de la matrice M dans
l'exercice 7. est inutile.
Algèbre euclidienne 2015-2016
Frédéric Dupré, classe de MP du lycée Camille Vernet, Valence