linéaire - En galere.fr

Chapitre 2
ALGEBRE
LINEAIRE
ELEMENTAIRE

152 Chapitre 2. ALGEBRE LINEAIRE ELEMENTAIRE
Dans tout le chapitre Kd´esigne un corps commutatif

2.1. G´en´eralit´es sur les espaces vectoriels 153
2.1 G´en´eralit´es sur les espaces
vectoriels
2.1.1 Notion de K-espace vectoriel
D´efinition 2.1.1 On appelle K-espace vectoriel un triplet
(E, +, .)o`u (E, +) est un groupe ab´elien, .une loi ex-
terne `a domaine d’op´erateurs K, doublement distributive
par rapport `a l’addition dans Ket dans E, v´erifiant
∀x∈E, 1Kx=xet ∀α, β ∈K, ∀x∈E, α(βx) = (αβ)x.
Exemples fondamentaux : si Lest un sur-corps de K,L
est naturellement un K-espace vectoriel .

154 Chapitre 2. ALGEBRE LINEAIRE ELEMENTAIRE
Soit n∈N;Knmuni des lois (x1,...,xn) +
(y1, . . . , yn) = (x1+y1,...,xn+yn) et λ(x1, . . . , xn) =
(λx1,...,λxn)est un K-espace vectoriel. Plus g´en´eralement,
si Iest un ensemble,
K(I)={(ai)i∈I| ∀i, ai∈Ket nombre fini de ainon nuls}
est un K-espace vectoriel pour les lois (ai) + (bi) = (ai+bi)
et λ(ai) = (λai).

2.1. G´en´eralit´es sur les espaces vectoriels 155
2.1.2 Notion de sous-espace vectoriel
Remarque 2.1.1 Un sous-espace vectoriel est une partie
stable aussi bien par la loi interne que par la loi externe et
qui est muni par les lois induites d’une structure d’espace
vectoriel. On v´erifie imm´ediatement que c’est ´equivalent `a
la d´efinition suivante que l’on retiendra :
D´efinition 2.1.2 On appelle sous-espace vectoriel de l’es-
pace vectoriel Eune partie Fde Etelle que
– (i) F6=∅
– (ii) ∀α, β ∈K, ∀x, y ∈F, αx +βy ∈F.