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J. Messaho
Cours d’analyse discrète
Filière : ASR Prof. : J. Messaho
Année universitaire 2016-2017.

J. Messaho
Table des matières
1 vocabulaire de la théorie des ensembles 3
1.1 Introduction......................................... 3
1.2 Définitions.......................................... 3
1.2.1 Ensemble...................................... 3
1.2.2 Élément....................................... 4
1.2.3 Cardinald’unensemble .............................. 4
1.2.4 Sousensemble ................................... 4
1.3 Complémentaire d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Uniondedeuxensembles.................................. 6
1.6 RéglesdeMorgan...................................... 7
2 Relations et applications 8
2.1 Relation........................................... 8
2.1.1 Relation entre deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Relation dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Application ......................................... 10
2.2.1 Image d’un ensemble par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Applicationidentité................................. 11
2.2.3 Application injective, surjective et bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Logique 13
3.1 Vocabulaireusuel...................................... 13
3.2 Connecteurslogiques.................................... 14
3.2.1 Négation : le connecteur logique NON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Conjonction : le connecteur logique ET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.3 Disjonction : le connecteur logique OU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.4 Implication : le connecteur logique Si. . . alors................... 15
3.2.5 Equivalence logique : le connecteur logique Si et Seulement Si . . . . . . . . . . 16
3.3 Lesquantificateurs ..................................... 16
3.3.1 Quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2 Quantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3 Propriétés des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Algèbre de boole 18
4.1 Introduction......................................... 18
4.2 Axiomesetpostulats .................................... 18
4.3 Principededualité ..................................... 19
1

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TABLE DES MATIÈRES p. 2
4.4 Théorèmesdebase ..................................... 19
4.5 DécompositiondeShannon................................. 20
4.6 Tabledevérité........................................ 21
5 Raisonnement par récurrence 22
5.1 Motivation.......................................... 22
5.2 Principe du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Application ......................................... 23
6 Évaluations 25
6.1 TDs ............................................. 25
6.1.1 Série1 ....................................... 25
6.1.2 Série2 ....................................... 25
6.1.3 Série3 ....................................... 28
6.2 DLs ............................................. 29
6.3 DSs ............................................. 30
6.3.1 DS1 ........................................ 30
6.3.2 DS2 ........................................ 31
GI/ASR - ESTK. J. Messaho -CRMEF Khénifra.

J. Messaho
Chapitre 1
vocabulaire de la théorie des ensembles
Sommaire
1.1 Introduction ....................................... 3
1.2 Définitions ........................................ 3
1.2.1 Ensemble..................................... 3
1.2.2 Élément...................................... 4
1.2.3 Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Sousensemble .................................. 4
1.3 Complémentaire d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Uniondedeuxensembles ................................ 6
1.6 RéglesdeMorgan .................................... 7
1.1 Introduction
La notion d’ensemble est une notion primitive des mathématiques; ce concept évoque, intuitivement,
l’idée d’un groupement ou d’une collection d’objets. Les objets de l’ensemble portent le nom d’éléments
de l’ensemble. En général, un ensemble est formé d’éléments qui possédent certaines propriétés. Par
exemple, on peut considérer l’ensemble des entiers pairs. l’ensemble des solutions d’une équation, et en
informatique l’ensemble des editeurs de MS-Office ou ensemble des languages de programation....
1.2 Définitions
1.2.1 Ensemble
Définition 1.2.1.
Un ensemble est une collection finie (ou infinie) d’objets bien définis et distincts que l’on peut énumérer
ou définir par une propriété. On représente souvent un ensemble par une majusculepA,B,C, ...q. Certains
ensembles ont des notations particulières (Ex. N,D,Q,R).
L’ensemble vide est noté par H.
Exemple 1.2.1.
1. P“ C`` ,Java,Python,Fortran,Matlab...(.
2. B“ nPN: n est un multiple de 3(.
3. T“ clavier, ecran, imprimante, clès USB (.
3

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1.2 Définitions p. 4
1.2.2 Élément
Définition 1.2.2.
Un ensemble est constitué d’élements. On représente souvent un élément par un minuscule. On dit qu’un
élément aappartient à un ensemble E. On écrit alors :
aPE
Notez le symbole Psignifiant « appartient à ». La négation de Pest R
Exemple 1.2.2.
1. 22 PN,23.6PD.
2. 1
3PQ,?3PR.
1.2.3 Cardinal d’un ensemble
Définition 1.2.3.
Soit Eun ensemble fini. On appelle cardinal de Ele nombre des éléments de Enoté cardpEqou encore
#E
Exemple 1.2.3.
1. E“ ta,b,c,du, donc cardpEq “ 4.
2. cardpHq “ 0.
1.2.4 Sous ensemble
Définition 1.2.4.
On dit qu’un ensemble Fest un sous ensemble de l’ensemble Esi et seulement si tout élément de Fest
élément de Eou si F“ H. On dit alors que Fest inclus dans Eet on écrit :
FĂE.
La négation de Ăest Ć
Remarque 1.2.1.
FĂEðñ r@xPF,alors xPEsou F“ H.
FĆEðñ DxPF,tel que xRE.
On peut schématiser l’inclusion par ceci :
E
F
Exemple 1.2.4.
1. NĂQ.
2. DĂR.
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