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Cours d’analyse discrète
Filière : ASR
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Prof. : J. Messaho
Année universitaire 2016-2017.
Table des matières
1
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vocabulaire de la théorie des ensembles
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . .
1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Ensemble . . . . . . . . . .
1.2.2 Élément . . . . . . . . . . .
1.2.3 Cardinal d’un ensemble . .
1.2.4 Sous ensemble . . . . . . .
1.3 Complémentaire d’un ensemble . .
1.4 Intersection de deux ensembles . . .
1.5 Union de deux ensembles . . . . . .
1.6 Régles de Morgan . . . . . . . . . .
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Algèbre de boole
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Axiomes et postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Relations et applications
2.1 Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Relation entre deux ensembles . . . . . . .
2.1.2 Relation dans un ensemble . . . . . . . . .
2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Image d’un ensemble par une application .
2.2.2 Application identité . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Application injective, surjective et bijective
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Logique
3.1 Vocabulaire usuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Négation : le connecteur logique NON . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Conjonction : le connecteur logique ET . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Disjonction : le connecteur logique OU . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Implication : le connecteur logique Si. . . alors . . . . . . . . .
3.2.5 Equivalence logique : le connecteur logique Si et Seulement Si
3.3 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Quantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Propriétés des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
4.4
4.5
4.6
p. 2
Théorèmes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Décomposition de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Table de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5
Raisonnement par récurrence
22
5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Principe du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6
Évaluations
6.1 TDs .
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.2 DLs .
6.3 DSs .
6.3.1
6.3.2
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Série 1
Série 2
Série 3
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DS 1 .
DS 2 .
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J. Messaho -CRMEF Khénifra.
Chapitre 1
vocabulaire de la théorie des ensembles
Sommaire
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.1
Introduction . . . . . . . . . . .
Définitions . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Ensemble . . . . . . . . .
1.2.2 Élément . . . . . . . . . .
1.2.3 Cardinal d’un ensemble .
1.2.4 Sous ensemble . . . . . .
Complémentaire d’un ensemble
Intersection de deux ensembles .
Union de deux ensembles . . . .
Régles de Morgan . . . . . . . .
Introduction
J.
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La notion d’ensemble est une notion primitive des mathématiques ; ce concept évoque, intuitivement,
l’idée d’un groupement ou d’une collection d’objets. Les objets de l’ensemble portent le nom d’éléments
de l’ensemble. En général, un ensemble est formé d’éléments qui possédent certaines propriétés. Par
exemple, on peut considérer l’ensemble des entiers pairs. l’ensemble des solutions d’une équation, et en
informatique l’ensemble des editeurs de MS-Office ou ensemble des languages de programation....
1.2
1.2.1
Définitions
Ensemble
Définition 1.2.1.
Un ensemble est une collection finie (ou infinie) d’objets bien définis et distincts que l’on peut énumérer
ou définir par une propriété. On représente souvent un ensemble par une majusculepA, B,C, ...q. Certains
ensembles ont des notations particulières (Ex. N, D, Q , R).
L’ensemble vide est noté par H.
Exemple 1.2.1.
(
1. P “ C`` , Java, Python, Fortran, Matlab... .
(
2. B “ n P N : n est un multiple de 3 .
(
3. T “ clavier, ecran, imprimante, clès USB .
3
1.2 Définitions
1.2.2
p. 4
Élément
Définition 1.2.2.
Un ensemble est constitué d’élements. On représente souvent un élément par un minuscule. On dit qu’un
élément a appartient à un ensemble E. On écrit alors :
aPE
Notez le symbole P signifiant « appartient à ». La négation de P est R
Exemple 1.2.2.
1. 22 P N, 23.6 P D.
?
2. 31 P Q, 3 P R.
1.2.3
Cardinal d’un ensemble
Définition 1.2.3.
Soit E un ensemble fini. On appelle cardinal de E le nombre des éléments de E noté cardpEq ou encore
#E
Exemple 1.2.3.
1. E “ ta, b, c, du, donc cardpEq “ 4.
2. cardpHq “ 0.
1.2.4
Sous ensemble
s
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M
o
h
sa
Définition 1.2.4.
On dit qu’un ensemble F est un sous ensemble de l’ensemble E si et seulement si tout élément de F est
élément de E ou si F “ H. On dit alors que F est inclus dans E et on écrit :
J.
F Ă E.
La négation de Ă est Ć
Remarque 1.2.1.
F Ă E ðñ r@x P F, alors x P Es ou F “ H.
F Ć E ðñ Dx P F, tel que x R E.
On peut schématiser l’inclusion par ceci :
E
F
Exemple 1.2.4.
1. N Ă Q.
2. D Ă R.
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
1.3 Complémentaire d’un ensemble
1.3
p. 5
Complémentaire d’un ensemble
Définition 1.3.1.
A
On appelle complémentaire de l’ensemble A dans l’ensemble E, l’ensemble noté AE composé des éléments de E qui ne sont pas des éléments de A. On a alors :
A
a P AE ðñ a P E et a R A.
Remarque 1.3.1.
Lorsque l’ensemble E est implicite, on note le complémentaire de A par A.
Le complémentaire d’un sous ensemble A dans un ensemble E est donné sur la figure suivante :
E
A
AE
A
Exemple 1.3.1.
1. Considérons les ensembles suivant :
s
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E “ ta, b, c, d, e, f , gu et A “ ta, c, d, gu.
A
On a AE “ tb, e, f u
J.
2. Considérons les ensembles suivant :
E “ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10u et A “ t1, 3, 5, 7, 9u.
A
On a AE “ t2, 4, 6, 8, 10u
1.4
Intersection de deux ensembles
Définition 1.4.1.
On appelle intersection de deux sous ensembles A et B dans un ensemble E, l’ensemble noté : A X B
constitué des éléments communs à A et B. On a donc :
x P A X B ðñ x P A et x P B
E
A
GI/ASR - ESTK.
AXB
ˆ
B
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
1.5 Union de deux ensembles
p. 6
Remarque 1.4.1.
— Si A Ă B, alors A X B “ A.
— Si A et B sont disjoints, alors A X B “ H.
A
— A Ă E, alors A X AE “ H.
Exemple 1.4.1.
Soit A l’ensemble des entiers naturels pairs inférieurs ou égaux à 20 et soit B l’ensemble des entiers
naturels multiples de 3 inférieurs ou égaux à 20. on a donc :
A “ t0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20u et B “ t0, 3, 6, 9, 12, 15, 18u.
On a donc :
A X B “ t0, 6, 12, 18u.
1.5
Union de deux ensembles
Définition 1.5.1.
On appelle union de deux sous ensembles A et B dans un ensemble E, l’ensemble noté :A Y B constitué
des éléments qui appartiennent à A ou à B . On peut alors écrire :
x P A Y B ðñ x P A ou x P B.
o
h
sa
Remarque 1.5.1.
— Si A Ă B, alors A Y B “ B.
A
— A Ă E, alors A Y AE “ E.
— Soient A et B deux sous ensembles de E, alors
J.
s
e
M
A Y B “ pAzBq Y pBzAq Y pA X Bq
avec AzB “ ta P A{a R Bu, d’une manière similaire on peut définir BzA.
On peut visualiser l’union de deux sous ensembles A et B de l’ensemble E par le diagramme suivant :
E
A
x
GI/ASR - ESTK.
x
B
x
E
A
x
B
x
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
1.6 Régles de Morgan
p. 7
E
E
AYB
AYB
A
B
Exemple 1.5.1.
Soit A l’ensemble des entiers naturels pairs inférieurs ou égaux à 20 et soit B l’ensemble des entiers
naturels multiples de 3 inférieurs ou égaux à 20. on a donc :
A “ t0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20u et B “ t0, 3, 6, 9, 12, 15, 18u.
On a donc :
A Y B “ t0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20u.
1.6
Régles de Morgan
o
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Régle 1.6.1.
Soit A et B deux sous-ensembles de l’ensemble E. On a
s
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AXB
J.
AE
A
B
AYB
“ AE Y AE et AE
A
B
“ AE X AE
Régle 1.6.2 (Distributivité).
Soit A,B et C trois sous-ensembles de l’ensemble E. On a
A X pB YCq “ pA X Bq Y pA XCq et A Y pB XCq “ pA Y Bq X pA YCq.
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
Chapitre 2
Relations et applications
Sommaire
2.1
2.2
2.1
2.1.1
Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Relation entre deux ensembles . . . . . . .
2.1.2 Relation dans un ensemble . . . . . . . . .
Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Image d’un ensemble par une application .
2.2.2 Application identité . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Application injective, surjective et bijective
Relation
J.
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sa
Relation entre deux ensembles
Soient A et B deux ensembles.
Définition 2.1.1.
On appelle relation R de A vers B une association d’éléments de A avec des éléments de B. Si a P A est
en relation avec b P B, on note aRb.
Exemple 2.1.1.
Soit la relation R de A “ t0, 1, 2, 4u vers B “ t1, 3, 4, 5u définie par aRb ðñ a ` b ď 4
Notons par A ˆ B l’ensemble, produit cartésien de A et B, défini par
A ˆ B “ tpa, bq{a P A et b P Bu
Définition 2.1.2.
On appelle graphe d’une relation R de A vers B, l’ensemble des éléments pa, bq P A ˆ B tels que aRb :
GR “ tpa, bq P A ˆ B{aRbu.
Exemple 2.1.2.
Le graphe de la relation donnée dans l’exemple précédent est :
GR “ tp0, 1q, p0, 3q, p0, 4q, p1, 1q, p1, 3q, p2, 1qu.
On traduit le graphe GR par le graphique suivant
8
2.1 Relation
p. 9
6
5
p0, 4q
4
p0, 3q p1, 3q
3
2
p0, 1q p1, 1q p2, 1q
1
0
2.1.2
1
2
3
4
5
6
Relation dans un ensemble
Soit A un ensemble.
Définition 2.1.3.
On appelle relation R dans l’ensemble A une relation de A vers A.
Exemple 2.1.3. Soit la relation { dans A “ t0, 1, 2, 4, 5, 6u définie par a{b ðñ a est un diviseur de b.
Quel est le graphe de cette relation ? représente le !
Définition 2.1.4.
On dit qu’une relation R dans A est
1. reflexive SSI @x P A, xRx.
J.
s
e
M
o
h
sa
2. symétrique SSI @x, y P A, xRy ðñ yRx.
3. transitive SSI @x, y, z P A, xRy et yRz ùñ xRz.
4. antisymétrique SSI @x, y P A, xRy et yRx ùñ x “ y.
Exercice 1.
1. La relation ď dans N est-elle reflexive, symétrique, transitive, antisymétrique ?
2. A “ t1, 2, 3, 4, 5u, aRb ðñ a ` b ď 4. R est-elle symétrique, reflexive, transitive, antisymétrique ?
Définition 2.1.5.
On dit qu’une relation R dans A est
1. relation d’ordre si elle est reflexive, antisymétrique et transitive.
2. relation d’équivalence si elle est reflexive, symétrique et transitive
Définition 2.1.6.
Soit R une relation d’equivalence sur un ensemble A Ă E. On appelle classe d’equivalence d’un élément
a P A par la relation R l’ensemble, notée a , défini par
a “ tx P A{aRxu.
Exemple 2.1.4.
A “ Z et aRb ðñ pa ´ bq pair. R est-elle une relation d’équivalence ou d’ordre ?
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
2.2 Application
p. 10
Proposition 2.1.1.
Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble A Ă E, alors on a
ď
A“
a;
aPA
@a, b P A, a X b ‰ H ðñ a “ b
.
@a, b P A, aRb ðñ a “ b
Démonstration. Voir TDs
Exemple 2.1.5.
Soit A “ Z et R une relation d’équivalence sur A donnée par
aRb ðñ a ´ b est multiple de 3.
Donner toutes les classes d’équivalences de R dans A.
2.2
2.2.1
Application
Image d’un ensemble par une application
o
h
sa
Définition 2.2.1 (Application).
Soit E, F deux ensembles.
On dit qu’une relation R de E dans F est une application de E dans F si tout élément x de E est en
relation avec un unique élément y de F. Dans ce cas on note y “ f pxq et on dit que y est l’image de x et
x est un antécédent de y.
J.
s
e
M
Exemple 2.2.1. Soient E “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u, F “ t3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11u et pour x P E, y P F, xRy ðñ
x ` y “ 10.
Pourquoi n’a-t-on plus une application si E “ t2, 3, 4, 5, 6, 7, 8u ?
Pourquoi n’a-t-on plus une application si xRy ðñ x ` y ď 10 ?
Définition 2.2.2 (Image par une application).
Soient E, F ensembles et f une application de E dans F.
Soit A Ă E. On appelle image (directe) de A par f et on note f pAq l’ensemble
f pAq “ t f pxq{x P Au Ă F.
Exemple 2.2.2. Soient E “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u, F “ t3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11u et pour x P E, f pxq “ 10 ´ x.
On pose A “ t1, 3, 5, 6u, déterminer f pAq, f pAzEq et f pE X Fq.
Pourquoi f n’est pas une application de A vers A ?
Définition 2.2.3 (Image réciproque par une application).
Soient E, F ensembles et f une application de E dans F.
Soit B Ă F. On appelle image réciproque de B par f et on note f ´1 pBq l’ensemble
f ´1 pBq “ tx P E{ f pxq P Bu Ă E.
Exemple 2.2.3. Soient E “ t1, 3, 5, 7, 9, 11, 13u, F “ t3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 40, 42u et pour x P E, f pxq “
3x.
B
On pose B “ t3, 15, 21, 40u, déterminer f ´1 pBq, f ´1 pAF q et f ´1 pE X Fq.
Pourquoi f n’est pas une application de B vers B ?
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
2.2 Application
2.2.2
p. 11
Application identité
Définition 2.2.4 (Application identité).
Soit E un ensemble. On appelle application identité de E et on note idE , l’application de E dans E donnée
par
E ÝÑ E
x ÞÝÑ idE pxq “ x
.
2.2.3
Application injective, surjective et bijective
Définition 2.2.5 (Application injective).
Soient E , F deux ensembles et f une application de E dans F.
f est injective ðñ @x1 , x2 P E, p f px1 q “ f px2 q ùñ x1 “ x2 q.
Exemple 2.2.4.
Les applications suivantes sont elles injectives ?
Z ÝÑ N
Z ÝÑ Z
,
x ÞÝÑ x ` 1
x Ý
Þ Ñ x2
.
o
h
sa
Définition 2.2.6 (Application surjective).
Soient E , F deux ensembles et f une application de E dans F.
es
ˆ
˙
f est surjctive ðñ @y P F, Dx P E, y “ f pxq ðñ f pEq “ F
M
.
J
Exemple 2.2.5.
Les applications suivantes sont elles injectives ?
Z ÝÑ N
Z ÝÑ Z
,
x ÞÝÑ x ` 3
x Ý
Þ Ñ x2
.
Définition 2.2.7 (Application bijective).
Soient E , F deux ensembles et f une application de E dans F.
f est bijective ðñ f est ijective et surjective
dans le cas d’une application bijective f sa réciproque est notée f ´1 .
Exemple 2.2.6.
Les applications suivantes sont elles bijective ?
2N ÝÑ N
Z ÝÑ Z
x
,
x Ý
Þ Ñ
x ÞÝÑ 3x
2
.
Remarque 2.2.1.
- f est bijective SSi f ˝ f ´1 “ idF et f ´1 ˝ f “ idE .
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
2.2 Application
p. 12
Théorème 2.2.1.
Soit f une application de E dans F.
f est bijective ðñ Dg : F Ñ E{ f ˝ g “ idF et g ˝ f “ idE .
Démonstration. ùñq evident.
ðùq idF surjective ùñ f ˝ g esr surjective ùñ f esr surjective.
idE est injective. f px1 q “ f px2 q ùñ g ˝ f px1 q “ g ˝ f px2 q ùñ x ´ 1 “ x2 .
Donc f est injective.
D’où f est bijective.
J.
GI/ASR - ESTK.
s
e
M
o
h
sa
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
Chapitre 3
Logique
Sommaire
3.1
3.2
3.3
3.1
Vocabulaire usuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Négation : le connecteur logique NON . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Conjonction : le connecteur logique ET . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Disjonction : le connecteur logique OU . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Implication : le connecteur logique Si. . . alors . . . . . . . . .
3.2.5 Equivalence logique : le connecteur logique Si et Seulement Si
Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Quantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Propriétés des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
J.
Vocabulaire usuel
s
e
M
o
h
sa
.
.
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.
.
.
.
.
13
14
14
14
15
15
16
16
16
17
17
Définition 3.1.1.
Une expression est un ensemble de signes (lettres, chiffres, symboles, mots, etc.) possédant une signification dans un univers donné.
7
le 77 En algèbre : x3 ´ 4x ` 1.
p
m 7
Exe
7 En informatique : HTML est un langage.
7 En informatique : Un ordinateur est une machine.
Définition 3.1.2.
Une proposition est un énoncé, ou une expression d’un fait, pouvant être vrai ou faux.
7
”x3 ´ 4x ` 1 ą 0”, ”x2 ă 0”.
e 77 En algèbre :
l
p 7
em
7 En informatique : HTML est un langage informatique
7
Ex
utilisé sur l’internet.
7
7 En informatique : Un ordinateur est une machine
7
7
automatique de traitement de l’information.
On répartit les propositions en deux catégories : les axiomes et les théorèmes.
Définition 3.1.3.
Un axiome est une proposition dont on admet qu’elle est vraie. Un théorème est une proposition dont il
faut établir la véracité. Un théorème est donc vrai s’il se déduit logiquement d’axiomes.
13
3.2 Connecteurs logiques
p. 14
7
7 Un axiome :
7
e 77
l
p 7
m
e
7
7 Un théorème :
Ex
7
7
7
7
7
7
3.2
3.2.1
" Par un point extérieur
à une droite, on ne peut
tracer qu’une parallèle. "
" Un triangle est rectangle
si et seulement le carré de son
hypoténuse est égal à la somme
des carrés des deux autres côtés."
Connecteurs logiques
Négation : le connecteur logique NON
Définition 3.2.1.
Nier une proposition, c’est passer de la définition d’une partie d’un ensemble à la définition de son
complémentaire. Son symbole est qui se place devant la proposition. C’est le seul connecteur qui
porte sur une seule proposition.
Pour une proposition P , sa négation P sera notée encore P Quelques exemples :
P
ą2
π est irrationnel
x2
Table de vérité :
J.
3.2.2
s
e
M
P
1
0
P
ď2
π PQ
x2
o
h
sa
P
0
1
Conjonction : le connecteur logique ET
Définition 3.2.2.
Le connecteur logique ET porte sur deux propositions. La proposition pPetQq notée P ^ Q est vrai si les
deux propositions P et Q sont simultanément vraies, la proposition P ^ Q est fausse dans tous les autres
cas.
On a la table de vérité suivante :
P Q P^Q
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
0
Quelques exemples :
P
xă2
xPR
"3 est pair"
Q
x ą ´1
xPQ
"8 est impair"
P^Q
x Ps ´ 1, 2r
xPQ
"3 est pair" et "8 est impair"
La syntaxe du connecteur logique ET, pour des langages et envirenements de programmation, est &&
(par exemple C,C++, Matlab...)
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
3.2 Connecteurs logiques
3.2.3
p. 15
Disjonction : le connecteur logique OU
Définition 3.2.3.
Le connecteur logique OU porte sur deux propositions. La proposition (P ou Q) notée P _ Q est fausse si
les deux propositions sont simultanément fausses, la proposition P _ Q est vraie dans tous les autres cas.
On a la table de vérité suivante :
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P_Q
1
1
1
0
Quelques exemples :
P
x ă 12
x P Z˚`
"3 est pair"
Q
xă1
x P Z˚´
"5 est multiple de 7"
P_Q
x Ps ´ 8, 1rYs12, `8r
x P Z˚
"3 est pair" ou "5 est multiple de 7"
La syntaxe du connecteur logique OU, pour des langages et envirenements de programmation, est || (par
exemple C,C++, Matlab...)
Remarque 3.2.1.
P _ Q ” P ^ Q.
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
M
.
J
3.2.4
es
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
o
h
sa
P^Q
0
0
0
1
P^Q
1
1
1
0
Implication : le connecteur logique Si. . . alors
Définition 3.2.4.
Le connecteur logique Si. . . alors, porte sur deux propositions. La proposition (Si P alors Q) notée
P ùñ Q est fausse lorsque l’on a simultanément la proposition P vraie et la proposition Q fausse, la
proposition P ùñ Q est vraie dans tous les autres cas.
On a la table de vérité suivante :
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P ùñ Q
1
0
1
1
Quelques exemples :
P
3ă2
0 est impair
GI/ASR - ESTK.
Q
2ă5
3 P Z˚´
P ùñ Q
5ă7
0 est pair ou 3 P Z˚´
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
3.3 Les quantificateurs
p. 16
La syntaxe du connecteur logique Si. . . alors, pour des langages et envirenements de programmation, est
IFt. . .uTHEN.
Remarque 3.2.2.
P ùñ Q ” P _ Q.
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P
0
0
1
1
P_Q
1
0
1
1
La structure d’un théorème obéit à la structure Si . . . alors. En effet il se décompose en deux parties : les
hypothèses (proposition H) puis les conclusions (proposition C). Si le théorème est démontré alors on a
H ùñ C. Pour montrer qu’un théorème est faux, il suffit de montrer, par un contre-exemple, qu’il existe
un cas où H est vrai avec C faux. Pour montrer que P ùñ Q il est parfois plus facile de démontrer que,
si l’on n’a pas Q alors on n’a pas P. Cela s’appelle la contraposée : Q ùñ P.
3.2.5
Equivalence logique : le connecteur logique Si et Seulement Si
Définition 3.2.5.
Le connecteur logique Si et Seulement Si porte sur deux propositions. La proposition (P Si et Seulement
Si Q) notée P ðñ Q est vrai lorque l’on a simultanément P et Q vraies ou fausses. La propostion est
fausse dans les autres cas.
On a la table de vérité suivante :
J.
s
e
M
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
o
h
sa
P ðñ Q
1
0
0
1
Remarque 3.2.3.
Pour qu’une équivalence soit vraie, il faut avoir : P ùñ Q et Q ùñ P.
Quelques exemples :
P
x2 “ 1
a est pair
3.3
3.3.1
Q
x “ ´1 ou x “ 1
a2 est pair
P ðñ Q
x2 “ 1 ðñ x “ ´1 ou x “ 1
a est pair ðñ a2 est pair
Les quantificateurs
Quantificateur universel
Définition 3.3.1.
Un quantificateur permet de préciser le domaine de validité d’une proposition. Le symbole @ qui signifie
« quel que soit » ou « pour tout » représente le quantificateur universel.
Par exemple @n P N, 2 divise npn ` 1q.
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
3.3 Les quantificateurs
3.3.2
p. 17
Quantificateur existentiel
Définition 3.3.2.
Le symbole D qui signifie « il existe au moins un . . . tel que » représente le quantificateur existentiel. On
peut éventuellement rajouter un point d’exclamation pour montrer l’unicité. On a alors : D! qui signifie «
il existe un unique . . . tel que ».
Par exemple Dn P N, 50 est multiple de n ` 4.
3.3.3
Propriétés des quantificateurs
L’ordre dans lequel on écrit les quantificateurs change la signification, par exemple
@n P N, Dp P N, n ă p.
Dn P N, @p P N, n ă p.
Définition 3.3.3.
Une proposition universelle s’énonce : « Pout tout élément x d’un ensemble E, x possède la propriété P
». Sa négation sera : « il existe au moins un élément x de l’ensemble E qui ne possède pas la propriété P
».
Définition 3.3.4.
Une proposition existentielle s’énonce : « Il existe au moins un élément x de l’ensemble E qui possède
la propriété P ». Sa négation sera : « Pour tout élément x de l’ensemble E, x ne vérifie pas P ».
s
e
M
o
h
sa
Exemple 3.3.1.
P : ”@n P Z, n2 ` n ` 1 ď 0”, on a P : ”Dn P Z, n2 ` n ` 1 ą 0”.
Q : ”Dn P Z, n2 “ 49”, on a Q : ”@n P Z, n2 ‰ 49”.
J.
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
Chapitre 4
Algèbre de boole
Sommaire
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.1
Introduction . . . . . . . .
Axiomes et postulats . . . .
Principe de dualité . . . . .
Théorèmes de base . . . . .
Décomposition de Shannon
Table de vérité . . . . . . .
.
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Introduction
s
e
M
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
18
19
19
20
21
o
h
sa
Goerge Boole (1815-1864), mathématicien anglais, a développé une algèbre permettant de manipuler les propositions logiques au moyen d’équations mathématiques où les énoncés VRAI et FAUX sont
représentés par les valeurs 1 et 0, tandis que les opérateurs ET et OU deviennent des opérateurs algébriques de multiplication et d’addition. Cette section est consacrée à cette algèbre, présentant dans un
premier temps les postulats, les axiomes et les théorèmes qui en découlent. Une partie de cette section
est également consacrée à la manipulation de cette algèbre logique, suivie d’une illustration des applications possibles pour les besoins des circuits logiques. Pour ce faire, une introduction des fondements des
portes logiques est présentée.
J.
4.2
Axiomes et postulats
Une algèbre de Boole est constituée de :
1. un ensemble E,
2. deux éléments particuliers de E : 0 et 1 (correspondant respectivement à FAUX et VRAI),
3. deux opérations binaires sur E : ` et . (correspondant respectivement au OU et ET logiques),
4. une opération unaire sur E :´ (correspondant à la négation logique).
On acceptera les postulats suivant :
1. 0.0 = 0
5. 1+1 = 1
2. 0.1 = 1.0 = 0
6. 1+0=0+1=1
3. 1.1 = 1
7. 0+0=0
4. 0= 1
8. 1 “ 0
18
4.3 Principe de dualité
p. 19
Remarque 4.2.1. Ces postulats correspondent aux définitions des opérations logiques sur les éléments 0
et 1 de E. On pourra noter que dans le cas des opérations binaires, p.q et p`q, ces postulats correspondent
aux résultats de l’arithmétique usuelle, sauf dans le cas du postulat p5q où 1 ` 1 “ 1.
De ces postulats découlent les axiomes suivants. Soient a, b et c des éléments de E :
Commutativité
Associativité
Distributivité
Élément neutre
Complémentation
4.3
a+b = b+a
(a+b)+c = a+(b+c)
a.(b+c) = a.b+a.c
a+0 = a
a`a “ 1
a.b = b.a
(a.b) .c = a.(b.c)
a+(b.c) = (a+b) .(a+c)
a.1 = a
a.a “ 0
Principe de dualité
Chaque axiome et chaque postulat possède un équivalent dual, où les éléments 0 sont remplacés par
des 1, les 1 par des 0, les ( . ) par des ( + ) et vice et versa. Aussi, tout théorème de l’algèbre de Boole
a son équivalent dual. Le théorème dual est formulé à partir du théorème de base en remplaçant les
éléments 0 par des 1 (respectivement, les 1 par des 0) et les ( . ) par des ( + ) (respectivement, les ( + )
par des ( . )). Par exemple, considérons le théorème suivant :
Théorème 4.3.1.
Soit a élément de E, alors a+a = a.
La preuve de ce théorème va comme suit :
a`a
a`a
a`a
a`a
“
“
“
“
s
e
M
o
h
sa
1.a ` 1.a (d’après l’axiome de l’élément neutre).
a.p1 ` 1q (d’après l’axiome de distributivité).
a.1 (d’après le postulat (5)).
a (d’après l’axiome de l’élément neutre). CQFD.
J.
Aussi, on peut immédiatement déduire de ce théorème son dual, ce dernier s’exprimant comme suit :
Théorème 4.3.2. 2>thm2 Soit a élément de E, alors a.a “ a
Il suffit simplement de changer l’opérateur (+) par l’opérateur (.). Bien sûr, il est possible de démontrer ce second théorème de nouveau, mais le fait d’avoir prouvé le premier suffit pour accepter le second
en se référant au principe de dualité. La preuve de ce second théorème montre d’ailleurs la symétrie avec
la démonstration précédente, le principe de dualité s’appliquant ici à chaque ligne :
a.a
a.a
a.a
a.a
4.4
“
“
“
“
p0 ` aq.p0 ` aq d’après l’axiome de l’élément neutre
a ` p0.0q d’après l’axiome de distributivité
a ` 0 d’après le postulat (1)
a d’après l’axiome de l’élément neutre CQFD.
Théorèmes de base
Nous allons considérer maintenant quelques-uns des théorèmes que nous aurons à utiliser abondamment pour nos besoins particuliers. Le cas échéant, les théorèmes sont présentés par paire suivant le
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
4.5 Décomposition de Shannon
p. 20
principe de dualité. Soient a et b des éléments de E, alors :
Forme 1
Forme 2 (Dualité)
Nom (si existe)
a“a
rien
Involution
a`a “ a
a.a “ a
Idempotence
a`1 “ 1
a.0 “ 0
Élément absorbant
a ` a.b “ a
a.pa ` bq “ a
Absorption
a ` b “ a.b
a.b “ a ` b
de Morgan
a ` a.b “ a ` b
a.pa ` bq “ a.b
rien.
Théorème 4.4.1.
Pour tout élément a de E, nous avons a ` 1 “ 1.
Démonstration.
a`1 “
“
“
“
a ` pa ` aq d’après l’axiome de la complimentation.
pa ` aq ` a d’après l’axiome de l’associativité.
a ` a d’après le théorème ??.
1.
Exemple 4.4.1.
- Soient x, y P E, on a x.y ` y.x “ x.y.
- Soient x, y P E, on a x.y.1 “ x.y.
- Soient x, y, z P E, on a x.y.z ` x.y “ x.y (Absorption en remplaçant x.y par X).
4.5
s
e
M
Décomposition de Shannon
J.
o
h
sa
La décomposition de Shannon est très utile pour la simplification des fonctions logiques, et elle nous
servira pour mieux comprendre le fonctionnement de certains circuits usuels. De plus, elle permet de
poser des démonstrations élégantes pour des théorèmes récalcitrants, comme ce sera exposé ici.
La décomposition de Shannon s’énonce comme suit :
Soient f une fonction logique de paramètres x1 , x2 , . . . , xn , alors :
fpx1 , x2 , . . . , xn q “ x1 .fp0, x2 , . . . , xn q ` x1 .fp1, x2 , . . . , xn q
En utilisant le raisonnement disjonction des cas (x1 “ 0 et x1 “ 1), et on aura le résultat de Shannon.
Remarque 4.5.1.
En appliquant le principe de dualité on a
ˆ
˙ˆ
˙
fpx1 , x2 , . . . , xn q “ x1 ` fp0, x2 , . . . , xn q . x1 ` fp1, x2 , . . . , xn q
Soit f une application logique définie de E ˆ E à valeur dans E par f pa, bq “ a ` b.
Par application de la décomposition de Shannon on obtient :
f pa, bq “
“
“
“
“
“
GI/ASR - ESTK.
a. f p1, bq ` a. f p0, bq
a.p1 ` bq ` a.p0 ` bq
a.1 ` a.b
a.0 ` a.b
0 ` a.b
a.b
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
4.6 Table de vérité
p. 21
On a retrouvé le même résultat de "De Morgan".
4.6
Table de vérité
La table de vérité d’une fonction logique est un tableau énumérant les valeurs logiques d’une fonction pour les différentes combinaisons des valeurs de ses variables indépendantes (en circuits logiques,
on parlera de correspondance entre la sortie et les entrées). On place donc les variables de la fonction
dans les colonnes de gauche en les faisant varier de façon à couvrir l’ensemble des possibilités, la colonne la plus à droite donne les valeurs prises par la fonction pour les différentes combinaisons des
valeurs d’entrée.
Soient a, b P E . La table de vérité de a.b et a ` b est
a
1
1
0
0
b
1
0
1
0
a.b
1
0
0
0
a+b
1
1
1
0
a
1
0
a
0
1
Question :
Par utlisation de la table de vérité, déterminer les valeurs de la fonction logique f définie par f pa, b, cq “
a ` a.b ` c.
J.
GI/ASR - ESTK.
s
e
M
o
h
sa
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
Chapitre 5
Raisonnement par récurrence
5.1
Motivation
On considère les suites de terme général :
npn ` 1q
2
3
3
3
3
“ 0 ` 1 ` 2 ` . . . ` pn ´ 1q ` n .
un “ 0 ` 1 ` 2 ` . . . ` pn ´ 1q ` n “
vn
Ces deux suites sont définies par une formule explicite. On souhaiterait obtenir une formule permettant
de calculer explicitement vn en fonction de un. Autrement dit, on aimerait trouver une relation entre un
et vn .
À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux. Dans une telle situation, le calcul des premiers
termes est souvent intéressant pour prétendre le résultat ! !
u0 “
u1 “
u2 “
u3 “
u4 “
J.
0p0 ` 1q
2
1p1 ` 1q
2
2p2 ` 1q
2
3p3 ` 1q
2
4p4 ` 1q
2
“0
s
e
M
o
h
sa
“1
v0
v1
v2
v3
v4
“
“
“
“
“
03 “ 0
0 ` 13 “ 1
1 ` 23 “ 9
9 ` 33 “ 36
36 ` 43 “ 100.
“3
“6
“ 10.
Nous remarquons alors que les suite pun q et pvn q semblent obéir à une loi toute simple : à chaque rang
n, le terme vn est égal au carré du terme un correspondant.
Soit donc la proposition suivante
@n P N, vn “ u2n .
Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété
conjecturée ci-dessus ?
Notons P la propriété définie pour n P N par : Ppnq : vn “ u2n .
Remarquons que Pp0q est vraie. En effet, v0 “ 03 “ 02 “ u20 .
Supposons que, pour un certain entier n, on ait effectivement la propriété vn “ u2n . Alors on aurait successivement :
22
5.2 Principe du raisonnement par récurrence
p. 23
vn`1 “ 0 ` 1 ` 23 ` . . . ` n3 ` pn ` 1q3
“ vn ` pn ` 1q3
“ u2n ` pn ` 1q3
n2 pn ` 1q2 4pn ` 1q3
“
`
4
4
2
2
pn ` 1q pn ` 4pn ` 1qq
“
4
pn ` 1q2 pn2 ` 4n ` 4q
“
4
pn ` 1q2 pn ` 2q2
“
4
2
“ un`1
Ce qui est Ppn ` 1q.
Autrement dit, si la propriété est vraiment à un certain rang n, alors elle l’est également au rang suivant :
on dit que la propriété P est héréditaire.
Faisons un bilan
On a vérifié que la propriété P était vraie aux rangs n = 0, 1, 2, 3 et 4 (on dit que a propriété P est
initialisée). Mais comme elle est héréditaire, elle sera encore vraie au rang n = 5, puis au rang n = 6, etc.
Si bien que notre propriété est finalement vraie à tout rang. La démarche que venons d’aborder s’appelle
le raisonnement par récurrence. Observons son organisation en deux étapes :
o
h
sa
5.2
s
e
M
Principe du raisonnement
par récurrence
.
J
Soit P une propriété définie sur N (ou un intervalle I de Nq.
Si :
1. la propriété est initialisée à partir d’un certain rang n0 (càd : Ppn0 q est vraie),
2. la propriété est héréditaire à partir du rang n0 (càd : pour tout n ě n0 , Ppnq ùñ Ppn ` 1qq,
Alors
la propriété P est vraie à tout rang plus grand que n0 .
5.3
Application
Exercice 2. Montrer, par récurrence, que :
npn ` 1q
;
1. @n P N, 1 ` 2 ` 3 ` . . . ` n “
2
npn ` 1qp2n ` 1q
2. @n P N, 1 ` 4 ` 9 ` . . . ` n2 “
;
6
n
ź
1
˚
p1 ` q “ n ` 1 ;
3. @n P N ,
i
i“1
4. @n P N˚ , 4n ´ 1 est divisible par 3 ;
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
5.3 Application
p. 24
1
5. @n P N˚ , p1 ` qn`1 ą 2 ;
n
n
6. @n ě 2, 2 n! ď nn`1 .
J.
GI/ASR - ESTK.
s
e
M
o
h
sa
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
Chapitre 6
Évaluations
Sommaire
6.1
6.2
6.3
6.1
TDs . . . . . . . . . . .
6.1.1 Série 1 . . . . .
6.1.2 Série 2 . . . . .
6.1.3 Série 3 . . . . .
DLs . . . . . . . . . . .
DSs . . . . . . . . . . .
6.3.1 DS 1 . . . . . .
6.3.2 DS 2 . . . . . .
TDs
6.1.1
Série 1
6.1.2
Série 2
J.
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h
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Exercice 3.
Un programme qui nous calcule la somme de deux entiers est formé des instructions suivantes
E “ t"declaration de deux entiers a et b", "saisie de a",
"saisie de b", " somme a+b", "affichage du résultat" u
“ tx1 , x2 , x3 , x4 , x5 u.
R : liaison de besoin, (exp : x2 et x3 ont besoin de x1 )
- donner GR , R est une relation d’equivalence ?
Exercice 4.
Les relations R définies ci-dessous sont elles des relations d’ordre sur Z
1. @x, y P Z, xRy ðñ x ă y.
2. @x, y P Z, xRy ðñ x ď y.
3. @x, y P Z, xRy ðñ x ‰ y.
4. @x, y P Z, xRy ðñ x ´ y P N.
5. @x, y P Z, xRy ðñ x ´ y P Z.
25
25
25
25
28
29
30
30
31
6.1 TDs
p. 26
Exercice 5.
Soit R une relation définie sur Z par
xRy ðñ x2 ´ y2 “ x ´ y.
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de n pour tout entier relatif n .
3. Déterminer l’ensemble quotient Z{R.
Exercice 6.
1. Montrer que la relation de congruence modulo 11
a ” br11s ðñ 11 divise a ´ b
est une relation d’equivalence sur Z.
2. En vous servant de la division euclidienne, montrer qu’il y a exactement 11 classes d’équivalences
distinctes.
Exercice 7.
Soient E et F deux ensembles et f : E Ñ F une application. On définit une relation R de E vers F. en
posant pour tout px, x1 q P E ˆ E
xRx1 ðñ f pxq “ f px1 q.
1. Montrer que R une relation d’équivalence.
2. Decrire la classe x de x P E.
s
e
M
o
h
sa
fr : E{R ÝÑ F
.
3. Pourquoi l’application fr définie par
x ÞÝÑ frpxq “ f pxq
Est-elle bien définie ? Montrer qu’elle est injective. Que peut-on conclure sur l’ensemble quotient
E{R ?
J.
Exercice 8.
Soit f : N Ñ N une application définie par
# n
f pnq “
2
n´1
2
si n est un entier pair
si n est un entier impair
1) Déterminer f pAq et f ´1 pAq avec A “ t1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 24, 77u.
2) Etudier l’injectivité, la surjeectivité et la bijectivité de f .
Exercice 9.
Soient a, b, c, d quatre "objets" distincts. Soit E “ ta, b, c, du et f : E Ñ E définie par f paq “ d, f pbq “
a, f pcq “ c et f pdq “ a.
1- f est une application ?
2- f est une application injective, surjective, bijective ?
3- Quelles sont les ensembles f pta, b, cuq, p f ´1 pta, duq, p f ´1 pta, c, duq
Exercice 10.
Déterminier, s’il existe, les réciproques des applications sur Z définies par
f pnq “ ´2n ` 1, gpnq “ n2 ` 3, hpnq “
GI/ASR - ESTK.
n`1
2
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
6.1 TDs
p. 27
Exercice 11.
Etudier l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité de f donnée par
f : tDocuments MS Wordu ÝÑ tTouches de clavieru
x ÞÝÑ f pxq “ initiale du document x
Exercice 12.
Soient A et B deux ensembles. Montrer qu’il existe une application injective de A vers B si et seulement
si A est en bijection avec un sous-ensemble de B.
Exercice 13.
Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes
1. P : un ordinateur est composé de plusieurs processeurs.
2. Q : un processeur est formé de plusieurs CPU.
3. R : π P N.
4. S : Pour tout x P Z, xpx ` 1q est un nombre pair.
Exercice 14.
Donner la négation des propositions suivantes
?
1. P : 2 P D.
2. Q : x P R, x2 ` x ` 1 “ 0.
?
3. R : ´4 P Z.
o
h
sa
4. S : Pour tout x P Z, xpx ` 1q est un nombre pair.
s
e
M
Exercice 15.
Evaluer les formules suivantes en considérant uniquement les valeurs des variables données
J.
Q ùñ pP ùñ Rq avec Q “ 0
P ^ pP _ Qq avec Q “ 1
P _ pQ ùñ Rq avec Q “ 0
Exercice 16.
Donner la négation des propositions suivantes
Q ùñ pP ùñ Rq
P ^ pP _ Qq
P _ pQ ùñ Rq
Exercice 17.
Evaluer et donner la négation des propositions suivantes
@n P N, Dp P N, n ą p.
@x P R, x2 ` 1 “ 0.
@n P N, n2 pair ùñ n pair
Exercice 18.
Soient E et F deux ensembles, f : E ÝÑ F une application. Démontrer que :
1- @A Ă E, @B Ă E, A Ă B ùñ f pAq Ă f pBq.
2- @A Ă E, @B Ă E, f pA X Bq Ă f pAq X f pBq.
3- @A Ă E, @B Ă E, f pA Y Bq “ f pAq Y f pBq.
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
6.1 TDs
p. 28
Exercice 19.
Pour x P R, completer les pointillés par le connecteur logique qui convient :
1. x “ 2 . . . . . . x2 “ 4.
2. x ą 1 . . . . . . x2 ą 1.
3. x2 ă 1 . . . . . . x Ps ´ 1, 1r.
Exercice 20.
Démontrer que :
@n, p P N, n ă p ùñ 1p ă 1n .
@n P N, npn ` 1q est un nombre pair.
6.1.3
Série 3
Exercice 1.
Evaluer les fonctions logiques définies par
1. f pa, bq “ a.b ` a.b
2. gpa, bq “ a.a ` b
3. hpa, bq “ 1 ` a.b ` b.1
Exercice 2.
1- Montrer que ac ` bc ` ab “ ac ` bc ` ab.
2- Montrer que ab ` ab “ a.
3- Montrer que pab ` cq.pab ` cq “ ab ` cc
s
e
M
Exercice 3.
Soit pun q une suite définie par u0 “ 2 et un`1 “
J.
Démontrer que pour tout n P N, un “
Exercice 4.
Montrer que :
1- @n ě 0, 2n ě n
2- @n ě 4, n! ě n2
3- @n P N, n2 ` n ” 0r2s
2
2n`1 .
o
h
sa
un
.
1 ` un
Exercice 5.
Soit pun q la suite définie par u0 “ 2 et un`1 “ 2un ´ n, Démontrer que, pour tout n P N, un “ 2n ` n ` 1.
Exercice 6.
Soit pun q la suite définie par u0 “ ´3 et un`1 “ 5 ´ 4un , Démontrer que, pour tout n P N, un “ p´4qn`1 `
1.
Exercice 7.
Soit pun q la suite définie par u0 “
Exercice 8.
˚
Montrer que, pour tout n P N ,
1
2
n
ÿ
et un`1 “
un `1
un `2 ,
Démontrer que, pour tout n P N, 0 ă un ă 1.
k.k! “ pn ` 1q! ´ 1.
k“1
Exercice 9.
Soit pun q la suite définie par u0 “ 1, u1 “ 2 et un`2 “ 5un`1 ´ 6un , Démontrer que, pour tout n P N,
un “ 2n .
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
6.2 DLs
p. 29
Exercice 10.
Soit pun q la suite définie par un “
cospnq
n`1 ,
Démontrer que, pour tout n P N,
´1
n`1
ď un ď
1
n`1 .
Exercice 11.
Prendre un nombre entre 100 et 250, écrire sa représentation en binaire.
Multiplier ce nombre par deux, et écrire la représentation du double en binaire.
Que remarque-t-on ?
Idem avec la division par 2.
À supposons qu’on ait l’écriture binaire d’un nombre, comment s’écrit en binaire le quadruple de ce
nombre ? A-t-on besoin de passer par une autre base ? Peut-on implémenter ce genre d’opération simplement dans un processeur ?
6.2
DLs
Exercice 1.
Dans Z, on définit la relation R p par nR p m ðñ n ” mrps, avec p un nombre premier dans Z.
1. R p est une relation d’équivalence ou d’ordre sur Z ?
2. Déterminer la classe d’équivalence de chaque n P Z.
o
h
sa
Exercice 2.
Dans Z, on définit la relation R p par nR p m ðñ n ´ m ” pr5s, avec p un nombre premier dans Z.
s
e
M
1. R5 est une relation d’équivalence ou d’ordre sur Z ?
2. Déterminer la classe d’équivalence de chaque n P Z.
3. Etudier R p‰5 .
J.
Exercice 3.
Soit f : E ÝÑ F une application avec CardpEq “ CardpFq.
Montrer
f est injective
ðñ
f est surjective
ðñ
f est bijective .
Exercice 4.
Evaluez en donnant la négation des propositions suivantes :
P1 :
P2 :
P3 :
P4 :
@x P R, Dy P R, y ă x ùñ y ą x ` 1,
@n P Z, Dx P R, n ă x ă n ` 1,
@z P C, Dx P R, x “ ℜepzq
@ε P R` , Dn0 P N,
2n`
ă 2`ε
n ě n0 ùñ ´ε ` 2 ă
n`2
P5 : @n P N, Dp P N, n ” 0rps.
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
6.3 DSs
p. 30
Exercice 5.
Soient E et F deux ensembles,
et f : E ÝÑ F une appliction. Démontrer que :
1q
2q
3q
4q
@A, B Ă E, f pA X Bq Ă f pAq X f pBq
@A, B Ă E, f pA Y Bq “ f pAq Y f pBq
@C, D Ă F, f ´1 pC Y Dq “ f ´1 pCq Y f ´1 pDq
@C Ă F, f ´1 pFzCq “ Ez f ´1 pCq
Exercice 6.
Soit p fn qnPN une suite d’applications de N dans lui même. On définit une application f de N dans N en
posant f pnq “ fn pnq ` 1. Démonter qu’il n’existe aucun nombre entier p P N tel que f “ f p .
Exercice 7.
On considère la suite pun q définit sur N par
"
un`1 “ un ` 2n ` 2
u0 “ 0.
Montrer que @n P N, un “ n2 ` n
Exercice 8.
Pour tout x P Rzt1u, montrer que
s
e
M
2
o
h
sa
@n P N, 1 ` x ` x ` . . . ` xn “
J.
xn`1 ´ 1
x´1
Exercice 9.
Pour réaliser un programme "informatique", nous aurons besoin de construire un algorithme. Soit n P N˚ .
A un algorithme donné, formé, en n étapes.
(1). Etape 1 : 4 instructions à éxecuter.
(2). Etape 2 : 12 instructions à éxecuter.
(3). Etape 3 : 24 instructions à éxecuter.
..
.
(n). Etape n : un instructions à éxecuter.
1- Donner la forme explicite de un .
2- Combien d’instructions à réaliser de 1 à n.
Exercice 10.
Transformer, par analogie, les propositions suivantes en fonctions logiques
P ùñ pP ùñ Qq,
P ^ pQ ðñ Rq,
P _ pQ ^ Pq.
6.3
6.3.1
DSs
DS 1
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.
6.3 DSs
p. 31
Université My Ismail
ESTK -Khénifra.
A.U :2016-2017
Département GI
Module Mathématiques 1 : Analyse.
Contrôle 1
N.B : Deux points pour une copie claire et propre.
Exercice 1. (5 pt.)
Soit R une relation définie sur Z par
nR p ðñ n ” pr17s.
1. Montrer que R est une relation d’équivalence sur Z.
2. Déterminer les classes d’équivalence de R.
3. Déduire l’ensemble Z{R.
Exercice 2. (5 pt.)
s
e
M
o
h
sa
Evaluer et donner la négation des propositions suivantes
@x P Z, Dy P N, x “ y2 ;
J.
@x P Z, Dy P N
x ă y;
@x P R, x2 ` x ` 1 “ 0.
@p P N
?
p P N.
Exercice 3. (4 pt.)
Soient A, B et C trois sous ensembles d’un ensemble E. Justifier
A
B
AE zAE “ BzA
A Y B “ A XC ðñ B Ă A Ă C
Exercice 4. (4 pt.)
Soit E Ă N et f : E Ñ E définie par : pour tout n P E, f pnq “
1- f est une application ?
2- f est injective, surjective, bijective ?
6.3.2
2
.
n2 ´4
DS 2
GI/ASR - ESTK.
J. Messaho -CRMEF Khénifra.