Feuille 01 - Espaces euclidiens

Espaces euclidiens Feuille 01 .
Feuille 01 - Espaces euclidiens
1 Applications du cours
Exercice 1- 1 On pose E=IRn[X]. Soit aun r´eel. Si Pet Qsont deux ´el´ements de E, on d´efinit :
hP, Qi=
n
X
k=0
P(k)(a)
k!
Q(k)(a)
k!
a. Montrer que l’on d´efinit ainsi un produit scalaire sur E.
b. On d´efinit, pour tout entier naturel jcompris entre 0 et n:Qj(X) =
j
P
i=0
(X−a)i.
Calculer hQℓ, Qjipour tout couple ℓet jd’entiers compris entre 0et n.
Exercice 1- 2 Soient n∈IN∗\{1}et E={P∈IRn[X], P (0) = P(1) = 0}.
a. Montrer que Eest un espace vectoriel sur IR et d´eterminer sa dimension.
b. On consid`ere l’application Φde E×E`a valeurs dans IR d´efinie par :
∀(P, Q)∈E2,Φ(P, Q) = −Z1
0
P(x)Q′′(x) + P′′(x)Q(x)dx
(i) A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que ∀P∈E,Φ(P, P ) = 2 Z1
0P′(x)2dx.
(ii) Montrer que Φest un produit scalaire sur E.
Exercice 1- 3 Soit Nl’application d´efinie sur IRn[X]par P7−→ sZ+∞
0
P2(t)e−tdt.
a. Montrer que l’application ϕd´efinie par ∀(P, Q)∈(IRn[X])2,hP, Qi=1
4N(P+Q)2−N(P−Q)2est un
produit scalaire sur IRn[X].
b. Montrer que Nest la norme associ´ee `a ϕ.
c. Pour tout entier kde [[0, n]] d´eterminer N(Xk).
Exercice 1- 4 Pour (x1, x2,···, xn)∈IRn, montrer que
n
P
i=1 |xi|6√nsn
P
i=1
x2
i.
Pour quels vecteurs de IRn, y-a-t il ´egalit´e?
Exercice 1- 5 Soient uet vdeux vecteurs de l’espace euclidien E.
a. Exprimer hu+v, u −vien fonction de kuket kvk.
b. Montrer que u+vet u−vsont orthogonaux si et seulement si uet vsont des vecteurs de mˆeme norme.
Exercice 1- 6 Soit l’espace euclidien IR2muni du produit scalaire canonique.
On pose X= (1,2),Y= (0,2) et Z= (0,−1).
a. Comparer kX+Y+Zk2et kXk2+kYk2+kZk2.
b. Les vecteurs X,Yet Zsont-ils deux `a deux orthogonaux?
Exercice 1- 7 Dans IR2muni du produit scalaire canonique, d´eterminer une base orthonomale `a partir de la base
(1,1),(2,−3)
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Exercice 1- 8 Soit ϕl’application d´efinie sur IR2×IR2par ϕ(x, y),(x′, y′)= 3xx′+ 3yy′−2xy′−2x′y.
a. Montrer que ϕd´efinit un produit scalaire sur IR2.
b. Orthonomaliser la base (1,1),(0,2)pour le produit scalaire ϕ.
c. Orthonomaliser la base (1,1),(0,2)pour le produit scalaire canonique de IR2.
Exercice 1- 9 Dans IR4muni du produit scalaire canonique, d´eterminer une base orthonomale `a partir de la base
(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,1),(0,0,1,1)
Exercice 1- 10 Dans IR2[X], muni du produit scalaire (P, Q)7−→ P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(2)Q(2), d´eterminer le
suppl´ementaire orthogonal de F= Vect(1, X).
2 Compr´ehension
Exercice 2- 1 Soit Aune matrice de Mn(IR).
Pour tout couple (X, Y )de vecteurs colonnes `a nlignes `a coefficients r´eels, on d´efinit ϕ(X, Y ) = tXtAAY .
a. Montrer que ϕ(Y, Y ) = 0 si et seulement si Y∈Ker(A).
b. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante sur Apour que ϕd´efinisse un produit scalaire sur Mn(IR).
Exercice 2- 2 On munit le IR-espace vectoriel Ed’un produit scalaire h., .i.
Soit p1,p2,···,pmdes projecteurs de E. On consid`ere l’application ϕde E×Edans IR d´efinie, pour tout (x, y)∈E×E,
par
ϕ(x, y) =
m
X
i=1hpi(x), pi(y)i.
Montrer que ϕest un produit scalaire sur E.
Exercice 2- 3 Montrer que pour tout entier naturel non nul n:
n
X
k=1
k√k6n(n+ 1) √2n+ 1
2√3et que si n>2 :
n−1
X
k=1
k
(n−k)2>2
n(n−1) n−1
X
k=1
k
n−k!2
Exercice 2- 4 Montrer, grˆace `a l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, que:
∀n∈IN∗,(1 + 2 + ···+n)26(a1+a2+···+an)1
a1
+4
a2
+···+n2
an
Exercice 2- 5 On note El’espace vectoriel des s´eries num´eriques dont le terme g´en´eral unest de la forme :
un=a
2n+b(−1)n 2n+c 4n
o`u a,bet cd´esignent trois r´eels quelconques.
a. Montrer que Eest un espace vectoriel, puis que la famille 1
2nn>0,(−1)n 2nn>0,1 4nn>0est une base de E.
b. Montrer que si uet vsont deux ´el´ements de E, la s´erie et terme g´en´eral unvnconverge. On notera :
hu, vi=
+∞
X
n=0
unvn
c. Montrer que h., .id´efinit un produit scalaire sur E.
d. Trouver une base orthonorm´ee de E.
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Exercice 2- 6 Notons El’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2.
a. Montrer que l’application ϕd´efinie sur E×Epar : ∀(P, Q)∈E×E ϕ(P, Q) = Z1
0
t P (t)Q(t) dtd´efinit un produit
scalaire sur E.
b. Calculer ϕ(Xi;Xj)pour iet jcompris entre 0 et 2.
c. A l’aide du proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt, construire une base de Eorthonormale pour ϕ`a partir de la
base canonique (1, X, X2), puis `a partir de la base (X2, X, 1)
Exercice 2- 7 Dans IRn[X], on d´efinit ϕ(P, Q) = Z1
−1
P(t)Q(t)
√1−t2dt.
a. (i) Montrer que si Pest un polynˆome tel qu’il existe un polynˆome Qv´erifiant P(X) = (X−1)Q(X), alors
Z1
0
P(t)
√1−t2dtconverge.
(ii) Montrer que si Pest un polynˆome tel que P(1) 6= 0, alors Z1
0
P(t)
√1−t2dtconverge.
On admet que que pour tout polynˆome Pl’int´egrale Z1
−1
P(t)
√1−t2dtconverge.
b. Montrer que ϕd´efinit ainsi un produit scalaire sur IRn[X].
c. Si Tpest le pi´eme polynˆome de Tchebychev, i.e. l’unique polynˆome de degr´e ptel que Tp(cos θ) = cos(pθ), montrer
que (T0, T1,···, Tn)est une base orthogonale de E.
Indication: On pourra effectuer le changement de variable t= cos θ.
Exercice 2- 8 Soit Mn(IR)l’espace vectoriel des matrices r´eelles carr´ees d’ordre n.
On consid`ere l’application d´efinie sur Mn× Mnpar ϕ: (A, B)7−→ hA, Bi= tr(AtB)
a. Montrer que l’application : ϕd´efinit un produit scalaire sur Mn(IR).
On se place d´esormais dans l’espace euclidien Mnmuni du produit scalaire ainsi d´efini .
On note kAkla norme de la matrice Aqui est associ´ee `a ce produit scalaire.
b. Montrer que l’orthogonal du sous-espace des matrices diagonales est l’ensemble des matrices dont les coefficients
diagonaux sont nuls.
c. On d´esigne par Sle sous espace vectoriel de Mnconstitu´e par les matrices sym´etriques et Ale sous espace vectoriel
de Mnconstitu´e par les matrices anti-sym´etriques. On note Pla projection orthogonale sur S.
(i) Montrer que Mn=A⊥ ⊕ S.
(ii) D´eterminer la dimension de Aet de S.
Exercice 2- 9 Soit E=C0([0,1]) l’espace vectoriel muni du produit scalaire (f, g)7−→ Z1
0
f(t)g(t)dt.
Soit H={f∈E, f (0) = 0}.
a. Montrer que Hest un sous-espace vectoriel de E.
b. Soit gun ´el´ement de H⊥.
(i) Montrer que h:t7−→ t2g(t)est un ´el´ement de H.
(ii) En d´eduire que Z1
0
(tg(t))2dt= 0.
(iii) Montrer que gest l’application nulle, puis d´eterminer H⊥.
c. H⊥est-il un suppl´ementaire orthogonal de H?
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Exercice 2- 10 Soit Eun espace euclidien et (ei)16i6nest une famille de nvecteurs unitaires telle
∀x∈E,
n
X
k=1 hx, eki2=kxk2
a. Montrer que les vecteurs eisont orthogonaux deux `a deux.
b. Soit u∈E, on pose y=u−
n
P
i=1 hu, eiiei.
Montrer que kyk2= 0 et en d´eduire que u∈Vect(e1, e2,···, en).
En d´eduire que le sous-espace vectoriel engendr´e par la famille (ei)16i6nest ´egal `a E.
c. En d´eduire que la famille (ei)16i6nest une base orthonorm´ee de E.
Exercice 2- 11 Soit (E, h., .i)un espace euclidien de dimension n. On note (e1,···, en)une base orthonorm´ee.
Soit fun endomorphisme de Equi v´erifie la propri`et´e suivante: ∀(x, y)∈E2,hx, yi= 0 =⇒ hf(x), f(y)i= 0
a. Montrer que pour iet jdeux entiers de [[1, n]] tels que i6=jles vecteurs ei−ejet ei+ejsont orthogonaux.
b. En d´eduire que les vecteurs f(ei)et f(ej)ont mˆeme norme que l’on notera α.
c. Montrer que ∀x∈E,kf(x)k=αkxk.
Exercice 2- 12 -Applications isom´etriques
Soit fune application de Edans Etelle que f(0E) = 0Eet ∀(x, y)∈E2,kf(x)−f(y)k=kx−yk.
On dit que fest isom´etrique (conserve la distance)
a. Montrez que fconserve la norme i.e: ∀x∈E, kf(x)k=kxk
b. Montrez que fconserve le produit scalaire,i.e: ∀(x, y)∈E2,hf(x), f(y)i=hx, yi
c. Montrez que ∀(x, y)∈E2, λ ∈IR:kf(λx +y)−(λf(x) + f(y))k2= 0.
En d´eduire que fest lin´eaire.
3 Recherche
Exercice 3- 1 On consid`ere un espace euclidien Eet u1,···, uppvecteurs de E.
On d´efinit la matrice A= (ai,j )16i,j6ppar ai,j =hui, uji.
a. On suppose que la matrice Aest inversible. Soit (λ1,···, λp)un p-uplet de r´eels tel que
p
P
k=0
λiui= 0.
Montrer que A
λ1
.
.
.
λp
= 0. Que peut-on en d´eduire sur la famille (u1,···, up)?
b. On suppose que la famille (u1,···, up)est libre. Soit 
β1
.
.
.
βp
un ´el´ement du noyau de A.
Montrer que
p
P
k=1
βkuk= 0. Que peut-on en d´eduire sur la matrice A?
c. On suppose ici que E=IRn[X]et l’on prend uk=Xkpour k∈[[0, n]]. En utilisant un produit scalaire adapt´e,
montrer que la matrice suivante est inversible:
1
1
1
2
1
3··· 1 n+1
1
2
1
3
1
4··· 1 n+2
1
3
1
4
1
5··· 1 n+3
.
.
..
.
..
.
..
.
.
1
n+1
1
n+2
1
n+3 ··· 1 2n+1
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Exercice 3- 2 Soit p∈IN. On note IRp[X]l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a p.Soit
deux polynˆomes Aet Bde IRp[X]; on pose : hA, Bi=1
p+ 1
p
P
i=0
A(i)B(i). On note alors :
•kAk2=hA, Ai;
•E(A) = hA, 1i;
•C(A, B) = hA−E(A), B −E(B)i;
•V(A) = C(A, A).
a. Montrer que h,iest un produit scalaire sur IRp[X].
b. D´emontrer, pour tous polynˆomes Aet Bde IRp[X])2, les relations suivantes :
(i) V(A) = kAk2−E(A)2et C(A, B) = hA, Bi − E(A)E(B).
(ii) |C(A, B)|6pV(A)V(B). Dans quel cas cette in´egalit´e est-elle une ´egalit´e ?
c. Soit A∈IRp[X]fix´e.
Si deg(A)>1, on note Fle sous-espace vectoriel de IRp[X]engendr´e par les polynˆomes 1et A.
D´eterminer une base orthonormale de F, dont le premier vecteur est le polynˆome 1.
Exercice 3- 3 On note IR[X]l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels et, pour tout k∈IN, on note IRk[X]l’ensemble
de ces polynˆomes de degr´e au plus k. On munit IR[X]du produit scalaire d´efini par :
hP, Qi=Z1
0
P(t)Q(t) dt.
L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel Fde IR[X]pour ce produit scalaire est not´e F⊥.
Pour tout j∈IN, soit le polynˆome Lj=Xj(1 −X)j(j)(polynˆome d´eriv´e d’ordre jdu polynˆome Xj(1 −X)j).
a. (i) Montrer que si P(0) = P(1) = 0, alors hP′, Qi=−hP, Q′i.
(ii) Pour tout k∈IN∗, montrer que si 0et 1sont racines d’ordre kde P, alors hP(k), Qi= (−1)khP, Q(k)i.
b. (i) D´eterminer, pour tout j>1, le degr´e de Ljet montrer que Ljest orthogonal `a IRj−1[X].
(ii) Montrer que pour tout n∈IN ,(Lj)0≤j≤nest une base orthogonale de IRn[X].
c. Soit n∈IN∗et E=IRn[X]. Soit un polynˆome A∈Enon nul, et soit fA:E→El’application qui `a tout polynˆome
P∈Eassocie le reste de sa division euclidienne par A.
(i) Montrer que fAest un projecteur de E; d´eterminer son noyau et son image.
(ii) Montrer que si An’est pas de degr´e net poss`ede au moins une racine r´eelle α, alors Ker(fA)et Im(fA)ne
sont pas orthogonaux.
Exercice 3- 4 On consid`ere la suite de polynˆomes (Pn)nd´efinis par P0= 1, et pour tout n∈IN,Pn+1 est la primitive
de Pnpour laquelle on a Z1
−1
Pn+1(t)dt= 0.
a. D´eterminer P1,P2.
b. Soit n∈IN. Montrer que Pnest de mˆeme parit´e que nou plus exactement que ∀x∈IR, Pn(x) = (−1)nP(x).
c. En d´eduire que pour tout nimpair diff´erent de 1,Pn(1) = 0.
d. Montrer que pour tout n>1,Z1
−1
tPn(t)dt= 2Pn+1(1).
e. Montrer que l’application : ϕ: (P, Q)7−→ ϕ(P, Q) = 1
2Z1
−1
P(t)Q(t)dtd´efinit un produit scalaire sur IR[X].
f. Soient met ndeux entiers v´erifiant m>n > 0.
Justifier les ´egalit´es : ϕ(Pn, Pm) = (−1)n−1Pm+n(1) et ϕ(Pn, P0) = 0.
g. On pose En= Vect{P2k,062k6n}et Fn= Vect{P2k+1,062k+ 1 6n}.
Montrer que Enet Fnsont deux sous-espaces suppl´ementaires orthogonaux de IRn[X].
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