Feuille 01 - Espaces euclidiens

Espaces euclidiens
Feuille 01 .
Feuille 01 - Espaces euclidiens
1
Applications du cours
Exercice 1-1 On pose E = IRn [X]. Soit a un réel. Si P et Q sont deux éléments de E, on définit :
n
X
P (k) (a) Q(k) (a)
hP, Qi =
k!
k!
k=0
a. Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
b. On définit, pour tout entier naturel j compris entre 0 et n : Qj (X) =
j
P
i=0
(X − a)i .
Calculer hQℓ , Qj i pour tout couple ℓ et j d’entiers compris entre 0 et n.
Exercice 1-2 Soient n ∈ IN ∗ \{1} et E = {P ∈ IRn [X], P (0) = P (1) = 0}.
a. Montrer que E est un espace vectoriel sur IR et déterminer sa dimension.
b. On considère l’application Φ de E × E à valeurs dans IR définie par :
∀(P, Q) ∈ E 2 ,
Φ(P, Q) = −
Z
1
P (x)Q′′ (x) + P ′′ (x)Q(x)dx
0
(i) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ∀P ∈ E, Φ(P, P ) = 2
(ii) Montrer que Φ est un produit scalaire sur E.
Exercice 1-3 Soit N l’application définie sur IRn [X] par P 7−→
s
Z
Z
0
1
2
P ′ (x) dx.
+∞
P 2 (t)e−t dt.
0
a. Montrer que l’application ϕ définie par ∀(P, Q) ∈ (IRn [X])2 , hP, Qi =
produit scalaire sur IRn [X].
1
4
2
2 est un
N (P + Q) − N (P − Q)
b. Montrer que N est la norme associée à ϕ.
c. Pour tout entier k de [ 0, n]] déterminer N (X k ).
n
Exercice 1-4 Pour (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ IR , montrer que
Pour quels vecteurs de IRn , y-a-t il égalité?
n
P
i=1
√
|xi | 6 n
s
n
P
i=1
x2i .
Exercice 1-5 Soient u et v deux vecteurs de l’espace euclidien E.
a. Exprimer hu + v, u − vi en fonction de kuk et kvk.
b. Montrer que u + v et u − v sont orthogonaux si et seulement si u et v sont des vecteurs de même norme.
Exercice 1-6 Soit l’espace euclidien IR2 muni du produit scalaire canonique.
On pose X = (1, 2), Y = (0, 2) et Z = (0, −1).
2
2
2
2
a. Comparer kX + Y + Zk et kXk + kY k + kZk .
b. Les vecteurs X, Y et Z sont-ils deux à deux orthogonaux?
Exercice 1-7 Dans IR2 muni du produit scalaire canonique, déterminer une base orthonomale à partir de la base
(1, 1), (2, −3)
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Exercice 1-8 Soit ϕ l’application définie sur IR2 × IR2 par ϕ (x, y), (x′ , y ′ ) = 3xx′ + 3yy ′ − 2xy ′ − 2x′ y.
a. Montrer que ϕ définit un produit scalaire sur IR2 .
b. Orthonomaliser la base (1, 1), (0, 2) pour le produit scalaire ϕ.
c. Orthonomaliser la base (1, 1), (0, 2) pour le produit scalaire canonique de IR2 .
Exercice 1-9 Dans IR4 muni du produit
scalaire canonique, déterminer une base orthonomale à partir de la base
(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1)
Exercice 1-10 Dans IR2 [X], muni du produit scalaire (P, Q) 7−→ P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (2)Q(2), déterminer le
supplémentaire orthogonal de F = Vect(1, X).
2
Compréhension
Exercice 2-1 Soit A une matrice de Mn (IR).
Pour tout couple (X, Y ) de vecteurs colonnes à n lignes à coefficients réels, on définit ϕ(X, Y ) = tX tAAY .
a. Montrer que ϕ(Y, Y ) = 0 si et seulement si Y ∈ Ker(A).
b. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur A pour que ϕ définisse un produit scalaire sur Mn (IR).
Exercice 2-2 On munit le IR-espace vectoriel E d’un produit scalaire h., .i.
Soit p1 , p2 , · · · , pm des projecteurs de E. On considère l’application ϕ de E × E dans IR définie, pour tout (x, y) ∈ E × E,
par
m
X
hpi (x), pi (y)i.
ϕ(x, y) =
i=1
Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.
Exercice 2-3 Montrer que pour tout entier naturel non nul n :
√
n
X
√
n (n + 1) 2n + 1
√
et que si n > 2 :
k k6
2 3
k=1
n−1
X
k=1
n−1
X
k
2
2 > n (n − 1)
(n − k)
k=1
k
n−k
!2
Exercice 2-4 Montrer, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que:
∗
2
∀n ∈ IN , (1 + 2 + · · · + n) 6 (a1 + a2 + · · · + an )
1
4
n2
+
+ ···+
a1
a2
an
Exercice 2-5 On note E l’espace vectoriel des séries numériques dont le terme général un est de la forme :
un =
a
b (−1)n
c
+
+ n
2n
2n
4
où a, b et c désignent trois réels quelconques.
a. Montrer que E est un espace vectoriel, puis que la famille
1
2n n>0 ,
(−1)n ,
2n
n>0
1
4n n>0
est une base de E.
b. Montrer que si u et v sont deux éléments de E, la série et terme général un vn converge. On notera :
hu, vi =
+∞
X
un vn
n=0
c. Montrer que h., .i définit un produit scalaire sur E.
d. Trouver une base orthonormée de E.
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Exercice 2-6 Notons E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
Z 1
a. Montrer que l’application ϕ définie sur E × E par : ∀(P, Q) ∈ E × E ϕ(P, Q) =
t P (t) Q(t) dt définit un produit
0
scalaire sur E.
b. Calculer ϕ(X i ; X j ) pour i et j compris entre 0 et 2.
c. A l’aide du procédé d’orthonormalisation de Schmidt, construire une base de E orthonormale pour ϕ à partir de la
base canonique (1, X, X 2 ), puis à partir de la base (X 2 , X, 1)
Exercice 2-7 Dans IRn [X], on définit ϕ(P, Q) =
Z
1
−1
P (t)Q(t)
√
dt.
1 − t2
a.
(i) Montrer que si P est un polynôme tel qu’il existe un polynôme Q vérifiant P (X) = (X − 1)Q(X), alors
Z 1
P (t)
√
dt converge.
1 − t2
0
Z 1
P (t)
√
(ii) Montrer que si P est un polynôme tel que P (1) 6= 0, alors
dt converge.
1 − t2
0
Z 1
P (t)
√
dt converge.
On admet que que pour tout polynôme P l’intégrale
1 − t2
−1
b. Montrer que ϕ définit ainsi un produit scalaire sur IRn [X].
c. Si Tp est le piéme polynôme de Tchebychev, i.e. l’unique polynôme de degré p tel que Tp (cos θ) = cos(pθ), montrer
que (T0 , T1 , · · · , Tn ) est une base orthogonale de E.
Indication: On pourra effectuer le changement de variable t = cos θ.
Exercice 2-8 Soit Mn (IR) l’espace vectoriel des matrices réelles carrées d’ordre n.
On considère l’application définie sur Mn × Mn par ϕ : (A, B) 7−→ hA, Bi = tr(A t B)
a. Montrer que l’application : ϕ définit un produit scalaire sur Mn (IR).
On se place désormais dans l’espace euclidien Mn muni du produit scalaire ainsi défini .
On note kAk la norme de la matrice A qui est associée à ce produit scalaire.
b. Montrer que l’orthogonal du sous-espace des matrices diagonales est l’ensemble des matrices dont les coefficients
diagonaux sont nuls.
c. On désigne par S le sous espace vectoriel de Mn constitué par les matrices symétriques et A le sous espace vectoriel
de Mn constitué par les matrices anti-symétriques. On note P la projection orthogonale sur S.
⊥
(i) Montrer que Mn = A ⊕ S.
(ii) Déterminer la dimension de A et de S.
Exercice 2-9 Soit E = C 0 ([0, 1]) l’espace vectoriel muni du produit scalaire (f, g) 7−→
Soit H = {f ∈ E, f (0) = 0}.
Z
1
f (t)g(t)dt.
0
a. Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E.
b. Soit g un élément de H ⊥ .
(i) Montrer que h : t 7−→ t2 g(t) est un élément de H.
Z 1
2
(tg(t)) dt = 0.
(ii) En déduire que
0
(iii) Montrer que g est l’application nulle, puis déterminer H ⊥ .
c. H ⊥ est-il un supplémentaire orthogonal de H?
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Exercice 2-10 Soit E un espace euclidien et (ei )16i6n est une famille de n vecteurs unitaires telle
∀x ∈ E,
n
X
k=1
hx, ek i2 = kxk2
a. Montrer que les vecteurs ei sont orthogonaux deux à deux.
b. Soit u ∈ E, on pose y = u −
2
n
P
i=1
hu, ei i ei .
Montrer que kyk = 0 et en déduire que u ∈ Vect(e1 , e2 , · · · , en ).
En déduire que le sous-espace vectoriel engendré par la famille (ei )16i6n est égal à E.
c. En déduire que la famille (ei )16i6n est une base orthonormée de E.
Exercice 2-11 Soit (E, h., .i) un espace euclidien de dimension n. On note (e1 , · · · , en ) une base orthonormée.
Soit f un endomorphisme de E qui vérifie la proprièté suivante: ∀(x, y) ∈ E 2 , hx, yi = 0 =⇒ hf (x), f (y)i = 0
a. Montrer que pour i et j deux entiers de [ 1, n]] tels que i 6= j les vecteurs ei − ej et ei + ej sont orthogonaux.
b. En déduire que les vecteurs f (ei ) et f (ej ) ont même norme que l’on notera α.
c. Montrer que ∀x ∈ E, kf (x)k = α kxk.
Exercice 2-12 - Applications isométriques
Soit f une application de E dans E telle que f (0E ) = 0E et ∀(x, y) ∈ E 2 , kf (x) − f (y)k = kx − yk.
On dit que f est isométrique (conserve la distance)
a. Montrez que f conserve la norme i.e: ∀x ∈ E, kf (x)k = kxk
b. Montrez que f conserve le produit scalaire,i.e: ∀(x, y) ∈ E 2 , hf (x), f (y)i = hx, yi
c. Montrez que ∀(x, y) ∈ E 2 , λ ∈ IR: kf (λx + y) − (λf (x) + f (y))k2 = 0.
En déduire que f est linéaire.
3
Recherche
Exercice 3-1 On considère un espace euclidien E et u1 , · · · , up p vecteurs de E.
On définit la matrice A = (ai,j )16i,j6p par ai,j = hui , uj i.
a. On suppose que la matrice A est inversible. Soit (λ1 , · · · , λp ) un p-uplet de réels tel que
 
λ1
 
Montrer que A  ...  = 0. Que peut-on en déduire sur la famille (u1 , · · · , up )?
p
P
λi ui = 0.
k=0
λp

β1
 
b. On suppose que la famille (u1 , · · · , up ) est libre. Soit  ...  un élément du noyau de A.

βp
Montrer que
p
P
βk uk = 0. Que peut-on en déduire sur la matrice A?
k=1
c. On suppose ici que E = IRn [X] et l’on prend uk = X k pour k ∈ [ 0, n]]. En utilisant un produit scalaire adapté,
montrer que la matrice suivante est inversible:

1
1
1
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
5
···
···
···
1
n+1
1
n+2
1
n+3
1
n+1
1
n+2
1
n+3
···
1
2n+1




 .
 ..
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..
.
..
.
4/6





.. 
. 
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Exercice 3-2 Soit p ∈ IN . On note IRp [X] l’espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à p.Soit
p
1 P
deux polynômes A et B de IRp [X] ; on pose : hA, Bi =
A(i)B(i). On note alors :
p + 1 i=0
2
• kAk = hA, Ai;
• C(A, B) = hA − E(A), B − E(B)i ;
• E(A) = hA, 1i ;
• V (A) = C(A, A).
a. Montrer que h, i est un produit scalaire sur IRp [X].
b. Démontrer, pour tous polynômes A et B de IRp [X])2 , les relations suivantes :
2
(i) V (A) = kAk − E(A)2 et C(A, B) = hA, Bi − E(A)E(B).
p
Dans quel cas cette inégalité est-elle une égalité ?
(ii) |C(A, B)| 6 V (A)V (B).
c. Soit A ∈ IRp [X] fixé.
Si deg(A) > 1, on note F le sous-espace vectoriel de IRp [X] engendré par les polynômes 1 et A.
Déterminer une base orthonormale de F , dont le premier vecteur est le polynôme 1.
Exercice 3-3 On note IR[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels et, pour tout k ∈ IN , on note IRk [X] l’ensemble
de ces polynômes de degré au plus k. On munit IR[X] du produit scalaire défini par :
hP, Qi =
Z
1
P (t)Q(t) dt.
0
L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F de IR[X] pour ce produit scalaire est noté F ⊥ .
(j)
Pour tout j ∈ IN , soit le polynôme Lj = X j (1 − X)j
(polynôme dérivé d’ordre j du polynôme X j (1 − X)j ).
a.
(i) Montrer que si P (0) = P (1) = 0, alors hP ′ , Qi = −hP, Q′ i.
(ii) Pour tout k ∈ IN ∗ , montrer que si 0 et 1 sont racines d’ordre k de P , alors hP (k) , Qi = (−1)k hP, Q(k) i.
b.
(i) Déterminer, pour tout j > 1, le degré de Lj et montrer que Lj est orthogonal à IRj−1 [X].
(ii) Montrer que pour tout n ∈ IN , (Lj )0≤j≤n est une base orthogonale de IRn [X].
c. Soit n ∈ IN ∗ et E = IRn [X]. Soit un polynôme A ∈ E non nul, et soit fA : E → E l’application qui à tout polynôme
P ∈ E associe le reste de sa division euclidienne par A.
(i) Montrer que fA est un projecteur de E ; déterminer son noyau et son image.
(ii) Montrer que si A n’est pas de degré n et possède au moins une racine réelle α, alors Ker(fA ) et Im(fA ) ne
sont pas orthogonaux.
Exercice 3-4 On considère la suite de polynômes (Pn )n définis par P0 = 1, et pour tout n ∈ IN , Pn+1 est la primitive
Z 1
de Pn pour laquelle on a
Pn+1 (t)dt = 0.
−1
a. Déterminer P1 , P2 .
b. Soit n ∈ IN . Montrer que Pn est de même parité que n ou plus exactement que ∀x ∈ IR, Pn (x) = (−1)n P (x).
c. En déduire que pour tout n impair différent de 1, Pn (1) = 0.
Z 1
d. Montrer que pour tout n > 1,
tPn (t)dt = 2Pn+1 (1).
−1
e. Montrer que l’application : ϕ : (P, Q) 7−→ ϕ(P, Q) =
1
2
Z
1
P (t)Q(t)dt définit un produit scalaire sur IR[X].
−1
f. Soient m et n deux entiers vérifiant m > n > 0.
Justifier les égalités : ϕ(Pn , Pm ) = (−1)n−1 Pm+n (1) et ϕ(Pn , P0 ) = 0.
g. On pose En = Vect{P2k , 0 6 2k 6 n} et Fn = Vect{P2k+1 , 0 6 2k + 1 6 n}.
Montrer que En et Fn sont deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux de IRn [X].
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Exercice 3-5 Soit n ∈ IN tel que n > 2. Soit E un espace euclidien de dimension n et k.k la norme associée au produit
scalaire noté h., .i.
Soit u un endomorphisme de E.
On note S = {x ∈ E/ kxk = 1} et B = {x ∈ E/ kxk 6 1}.
On admet que u est bornée sur S et on note N (u) = sup ku(x)k.
kxk=1
a. Montrer que pour tout vecteur x non nul de B,
1
kxk x
∈ S.
b. Montrer que u est bornée sur B et que sup ku(x)k = N (u).
kxk61
c. Montrer que : ∀ x ∈ E, ku(x)k 6 N (u) × kxk .
d. Montrer que: sup |hu(x), xi| 6 N (u).
kxk=1
e. Montrer que:
sup
kxk=kyk=1
|hu(x), yi| = N (u).
Indication: On pourra poser y =
Exercice 3-6
1
ku(x)k u(x)
pour un vecteur x unitaire tel que u(x) 6= 0.
a. Soit (E, h, i) un espace euclidien et f une forme linéaire non nulle de E.
(i) Montrer que dim ker(f ) = n − 1.
(ii) Justifier l’existence d’un vecteur x non nul unitaire et élément de l’orthogonal de ker(f ).
(iii) Montrer que f (x) 6= 0.
(iv) Montrer qu’il existe un réel α non nul, tel que f (αx) = (α)2 .
(v) Soit (e1 , · · · en−1 ) une base orthonormée de ker(f ).
Montrer que (x, e1 , · · · , en−1 ) est une base de E.
Comparer f (ei ) et hx, ei i pour tout entier i de [ 1, n − 1]].
(vi) En déduire qu’il existe un unique vecteur a de E tel que ∀y ∈ E,
b.
f (y) = ha, yi.
(i) Montrer que l’application P 7−→ P ′ (0) est une forme linéaire sur IRn [X].
IRn [X] × IRn [X] −→ IR
Z 1
(ii) Montrer que ϕ :
définit un produit scalaire sur IRn [X].
(P, Q) 7−→
P (x)Q(x)dx
−1
(iii) Montrer qu’il existe un unique polynôme H (à déterminer) de degré inférieur à 2, tel que
Z 1
∀P ∈ IR2 [X], P ′ (0) =
H(x)P (x)dx
−1
Exercice 3-7 On considère l’espace vectoriel E = IRn , muni du produit scalaire canonique (noté h.; .i) et de la norme
euclidienne associée. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que ∀x ∈ E, kf (x)k = kg(x)k
a. Montrer que ∀(x, y) ∈ E 2 ,
hf (x); f (y)i = hg(x); g(y)i.
b. On suppose, dans cette question seulement que l’application f est bijective.
Montrer qu’il existe un unique endomorphisme u de E tel que g = u ◦ f .
Montrer de plus que, pour tout vecteur x de E, ku(x)k = kxk.
c. On ne suppose plus nécessairement que f est bijective.
(i) Montrer que ker(f ) = ker(g).
(ii) Soit (f1 , f2 , · · · , fr ) une base orthonormée de Im f .
Montrer qu’il existe une famille (e1 , e2 , · · · , er ) d’éléments de E telle que, pour tout i de [ 1, r]], fi = f (ei ).
Montrer que la famille (g1 , g2 , · · · , gr ) définie pour ∀i ∈ [ 1, r]] par gi = g(ei ) est une base orthonormée de Im g.
(iii) Justifier que les familles (f1 , f2 , · · · , fr ) et (g1 , g2 , · · · , gr ) peuvent être complétées en des bases orthonormées
F = (f1 , · · · , fn ) et G = (g1 , · · · , gn ) respectivement de E.
Soit u l’endomorphisme de E tel que ∀i ∈ [ 1, n]], u(fi ) = gi .
(iv) Montrer que
• pour tout x de E, ku(x)k = kxk;
• g =u◦f
(v) L’endomorphisme u est-il unique?
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