Questions sur les angles trièdres et les tétraèdres. 101. Trouver le

GÉOMÉTRIE.
Fig. 101.
Questions sur les angles trièdres et les tétraèdres.
101. Trouver le lieu géométrique de tous les points de F espace égale-
ment distants de deux plans qui se coupent { fig. loi).
Soient MAB, NAB, deux plans dont l'intersection
est AB, soit 0 un point du lieu. Abaissons de ce
point sur les deux plans les perpendiculaires OC
et OD, elles détermineront un plan perpendiculaire
à l'arête AB au point I. Les deux triangles rec-
tangles OCI, ODI, seront égaux comme ayant l'hypo-
ténuse 01 commune et un côté de l'angle droit égal
(OC = OD). Par suite, il en sera de même des angles
CIO et DIO. Si l'on mène par la droite 10 et l'arête
AB un plan PAB, ce plan partagera l'angle dièdre
MABX en deux parties égales, puisque les angles
plans CIO, DIO mesureront respectivement les dièdres
MABP, PABN. Le lieu cherché se confond donc avec le plan bissecteur
de l'angle dièdre proposé.
Il résulte de là que le lieu géométrique des points également distants
des trois faces d'un angle trièdre est une droite passant par son sommet
et intersection commune des trois plans bissecteurs des dièdres de ce
trièdre.
Il est facile de voir que, si l'on considère les faces de l'angle dièdre ou
de l'angle trièdre donné comme indéfiniment prolongées, le lieu se com-
pose de deux plans distincts perpendiculaires entre eux dans le cas de
l'angle dièdre, de quatre droites distinctes passant par le sommet dans le
cas de l'angle trièdre.
Tout triangle sphérique correspondant à un angle trièdre dont le som-
met est au centre de la sphère, les bissectrices des angles du triangle
sphérique sont les arcs de grand cercle déterminés sur la sphère par les
plans bissecteurs des angles dièdres du trièdre. On peut donc dire, en
remarquant de nouveau que les propriétés des triangles plans, des angles
trièdres et des triangles sphériques, sont identiques (Géom., 266), que
les bissectrices des trois angles d'un triangle sphérique se croisent en un
même point.
102. Trouver le lieu géométrique des points de l'espace également dis-
tants des côtés d'un angle donné BAC {fig. 102).
Soit 0 un point du lieu. J'abaisse de ce point OJI
perpendiculaire sur le plan BAC. Du pied M de
cette perpendiculaire, je trace sur les côtés de l'angle
donné les perpendiculaires MP, MQ ; puis je joins OP
et OQ. Les droites OP et OQ, représentant les dis-
tances du point 0 aux côtés AB et AC (Géom., 164),
sont égales par hypothèse. Les triangles rectangles
OMP, OMQ seront donc aussi égaux, et l'on aura
MP = MQ, c'est-à-dire que le point M appartiendra
à la bissectrice de l'angle BAC. Les perpendicu-
laires abaissées des points du lieu sur le plan BAC, ayant leurs pieds
sur la bissectrice AM, le lieu demandé est le plan conduit perpendiculai-
rement au plan BAC par cette même bissectrice.
Si l'on regarde les côtés de l'angle BAC comme indéfiniment prolongés, le
Fin. 102.