GÉOMÉTRIE. Questions sur les angles trièdres et les tétraèdres. 101. Trouver le lieu géométrique de tous les points de Fespace également distants de deux plans qui se coupent { fig. loi). Soient MAB, NAB, deux plans dont l'intersection Fig. 101. est AB, soit 0 un point du lieu. Abaissons de ce point sur les deux plans les perpendiculaires OC et OD, elles détermineront un plan perpendiculaire à l'arête AB au point I. Les deux triangles rectangles OCI, ODI, seront égaux comme ayant l'hypoténuse 01 commune et un côté de l'angle droit égal (OC = OD). Par suite, il en sera de même des angles CIO et DIO. Si l'on mène par la droite 10 et l'arête AB un plan PAB, ce plan partagera l'angle dièdre MABX en deux parties égales, puisque les angles plans CIO, DIO mesureront respectivement les dièdres MABP, PABN. Le lieu cherché se confond donc avec le plan bissecteur de l'angle dièdre proposé. Il résulte de là que le lieu géométrique des points également distants des trois faces d'un angle trièdre est une droite passant par son sommet et intersection commune des trois plans bissecteurs des dièdres de ce trièdre. Il est facile de voir que, si l'on considère les faces de l'angle dièdre ou de l'angle trièdre donné comme indéfiniment prolongées, le lieu se compose de deux plans distincts perpendiculaires entre eux dans le cas de l'angle dièdre, de quatre droites distinctes passant par le sommet dans le cas de l'angle trièdre. Tout triangle sphérique correspondant à un angle trièdre dont le sommet est au centre de la sphère, les bissectrices des angles du triangle sphérique sont les arcs de grand cercle déterminés sur la sphère par les plans bissecteurs des angles dièdres du trièdre. On peut donc dire, en remarquant de nouveau que les propriétés des triangles plans, des angles trièdres et des triangles sphériques, sont identiques (Géom., 266), que les bissectrices des trois angles d'un triangle sphérique se croisent en un même point. 102. Trouver le lieu géométrique des points de l'espace également distants des côtés d'un angle donné BAC {fig. 102). Soit 0 un point du lieu. J'abaisse de ce point OJI Fin. 102. perpendiculaire sur le plan BAC. Du pied M de cette perpendiculaire, je trace sur les côtés de l'angle donné les perpendiculaires MP, MQ ; puis je joins OP et OQ. Les droites OP et OQ, représentant les distances du point 0 aux côtés AB et AC (Géom., 164), sont égales par hypothèse. Les triangles rectangles OMP, OMQ seront donc aussi égaux, et l'on aura MP = MQ, c'est-à-dire que le point M appartiendra à la bissectrice de l'angle BAC. Les perpendiculaires abaissées des points du lieu sur le plan BAC, ayant leurs pieds sur la bissectrice AM, le lieu demandé est le plan conduit perpendiculairement au plan BAC par cette même bissectrice. Si l'on regarde les côtés de l'angle BAC comme indéfiniment prolongés, le