Homogénéisation de l`équation d`advection-diffusion 1

Homogénéisation de l’équation
d’advection-diffusion
Soit Ω ⊂ Rd un ouvert borné et régulier, et soit une fonction f ∈ L2 (Ω).
Pour tout x ∈ Rd , on se donne une matrice symétrique A(x) ∈ Rd×d , et on
suppose que
A ∈ L∞ (Rd )
et qu’il existe m > 0 tel que, presque partout sur Rd ,
∀ξ ∈ Rd ,
ξ T A(x)ξ ≥ m ξ T ξ.
On note Q = [0, 1]d le cube unité de Rd . On suppose que la matrice A est Qpériodique, au sens où, pour tout k ∈ Zd et tout x ∈ Rd , on a A(x + k) = A(x).
De même, pour tout x ∈ Rd , on se donne un vecteur b(x) ∈ Rd , et on suppose
que
b ∈ W 1,∞ (Rd ),
div b = 0.
(1)
L’objectif de ce problème est d’étudier l’équation

 −div A x ∇u + 1 b x · ∇u = f dans Ω,
ε
ε
ε
ε ε

uε = 0 sur ∂Ω,
(2)
lorsque le petit paramètre ε > 0 tend vers 0.
1
Estimations a priori
Question 1a. On considère la forme bilinéaire
Z
i
x
1 h x
T
∇u +
b
· ∇u w
aε (u, w) = (∇w) A
ε
ε
ε
Ω
(3)
définie pour tout u et w dans H01 (Ω). Montrer qu’il existe α > 0 indépendant de ε
tel que, pour tout ε, on a
∀u ∈ H01 (Ω),
aε (u, u) ≥ αkuk2H 1 (Ω) .
Question 1b. Ecrire la formulation variationnelle associée à (2) sous la forme
∀w ∈ H01 (Ω),
aε (u, w) = ℓ(w)
(4)
pour une certaine forme linéaire ℓ qu’on précisera. Montrer qu’il existe un unique
uε ∈ H01 (Ω) solution de (2).
Question 1c. Montrer qu’il existe une constante C, indépendante de ε, telle que,
pour tout ε > 0,
kuε kH 1 (Ω) ≤ C.
(5)
En déduire qu’il existe u0 ∈ H01 (Ω) tel que, à extraction près, uε converge (faiblement
dans H 1 (Ω) et fortement dans L2 (Ω)) vers u0 .
1
2
Equation du correcteur
Soit p ∈ Rd . On suppose que b est Q-périodique. On admet qu’il existe une
1
fonction ψp ∈ Hloc
(Rd ), définie sur Rd , Q-périodique et vérifiant
−div [A(y) (∇ψp (y) + p)] − b(y) · (∇ψp (y) + p) = 0 dans Rd .
(6)
On admet aussi que la solution de cette équation est unique (à une constante additive
près) et que A et b sont assez réguliers pour que ψp ∈ WZ1,∞ (Rd ).
Dans la suite, on assure l’unicité de ψp en imposant
ψp = 0.
Q
On note
1
1
Hper
(Rd ) = w ∈ Hloc
(Rd ),
w est Q-périodique
et on admet que la formulation variationnelle de (6) s’écrit :
Z
Z
1
d
T
∀w ∈ Hper (R ),
(∇w) A(∇ψp + p) −
w b · (∇ψp + p) = 0.
Q
(7)
Q
Question 2a. En choisissant une fonction test w particulière, montrer que si la
formulation variationnelle ci-dessus admet une solution ψp , alors
Z
b · (∇ψp + p) = 0.
Q
Question 2b. En utilisant une intégration par partie, montrer que p ·
Dans toute la suite, on supposera que
Z
b=0
Z
b = 0.
Q
(8)
Q
et on admettra que cette condition (nécessaire) est aussi suffisante pour que (6) ait
une solution.
3
Homogénéisation
On va montrer que uε solution de (2) converge (au sens établi dans la Question
1c) vers u0 solution de
(
−div (A⋆ ∇u0) = f dans Ω,
(9)
u0 = 0 sur ∂Ω,
où A⋆ est une certaine matrice constante. Dans la suite, on va identifier cette matrice,
et montrer qu’elle ne dépend que de la matrice A et du vecteur b, mais pas du second
membre f ni du domaine Ω.
On admet le lemme suivant, qui sera (partiellement) démontré à la Question 9 :
2
Lemme 1. Soit g ∈ L∞ (Rd ), avec g Q-périodique. Alors, pour tout φ ∈ L1 (Rd ),
Z
Z
x
lim
g
φ(x) dx = hgi
φ(x) dx
ε→0 Rd
ε
Rd
où
hgi =
Z
g(y) dy.
Q
Question 3. Soit w ∈ H01 (Ω). Montrer que
Z
i
x
1 h x
∇u − u b
· ∇w
aε (u, w) = (∇w)T A
ε
ε
ε
Ω
où aε est définie par (3).
Question 4. Soit une fonction ϕ ∈ D(Ω) et
w(x) = ϕ(x) + ε
d
X
∂i ϕ(x) ψi
i=1
x
(10)
ε
où ψi ≡ ψei est définie par (6) (avec p = ei , vecteur de la base canonique de Rd ).
Question 4a. Expliquer pourquoi w ∈ H01 (Ω).
Question 4b. Montrer que, pour tout ϕ ∈ D(Ω),
ℓ(w) = ℓ(ϕ) + sε (ϕ)
où ℓ est la forme linéaire identifiée dans la Question 1b, et où
sε (ϕ) = ε
d Z
X
i=1
f (x) ∂i ϕ(x) ψi
Ω
x
ε
dx.
Question 4c. Montrer que, pour tout u ∈ H01 (Ω) et tout ϕ ∈ D(Ω),
Z
x
T
(∇w) A
∇u = cε (u, ϕ) + rε (u, ϕ)
ε
Ω
avec
cε (u, ϕ) =
Z
T
(∇ϕ(x)) A
Ω
rε (u, ϕ) = ε
d Z
X
i=1
Ω
ψi
x
x
ε
ε
∇u(x) dx +
d Z
X
i=1
T
(∂i ∇ϕ(x)) A
x
ε
∂i ϕ(x) ∇ψi
Ω
x T
ε
∇u(x) dx.
Question 4d. Montrer que, pour tout u ∈ H01(Ω) et tout ϕ ∈ D(Ω),
Z h i
x
1
u b
· ∇w = dε (u, ϕ) + kε (u, ϕ)
ε Ω
ε
3
A
x
ε
∇u(x) dx,
avec
d Z
h x
i 1X
h x
x i
u b
· ∇ϕ +
u b
· ∇ψi
∂i ϕ,
ε
ε i=1 Ω
ε
ε
Ω
d Z
i x
h x
X
· ∇∂i ϕ ψi
.
kε (u, ϕ) =
u b
ε
ε
Ω
i=1
1
dε (u, ϕ) =
ε
Z
Question 4e. En écrivant la formulation variationnelle (4) pour la fonction w définie
par (10), montrer que uε vérifie
cε (uε , ϕ) + rε (uε , ϕ) − dε (uε , ϕ) − kε (uε , ϕ) = ℓ(ϕ) + sε (ϕ).
(11)
Question 5. Montrer que, pour tout ϕ ∈ D(Ω),
lim sε (ϕ) = 0 et
lim rε (uε , ϕ) = 0.
ε→0
ε→0
Question 6a. Montrer que, pour tout u ∈ H01 (Ω) et tout ϕ ∈ D(Ω),
cε (u, ϕ) =
d Z
X
(∇u(x))T A
Ω
i=1
x x ei + ∇ψi
∂i ϕ(x) dx
ε
ε
puis que
d
1X
cε (u, ϕ) = −
ε i=1
Z
u(x) (div Gi )
Ω
x
ε
∂i ϕ(x) dx −
d Z
X
i=1
avec
u(x)Gi
Ω
x
ε
· ∇∂i ϕ(x) dx
Gi (y) = A(y) (ei + ∇ψi (y)) .
Question 6b. Montrer que, pour tout u ∈ H01(Ω) et tout ϕ ∈ D(Ω),
d
1X
dε (u, ϕ) =
ε i=1
Z
x i
h x · ei + ∇ψi
∂i ϕ(x),
u(x) b
ε
ε
Ω
puis, en utilisant (6), que
cε (u, ϕ) − dε (u, ϕ) = −
d Z
X
i=1
x i
h x ei + ∇ψi
· ∂i ∇ϕ(x) dx.
u(x) A
ε
ε
Ω
Dans la suite, on pose
θε (u, ϕ) = cε (u, ϕ) − dε (u, ϕ)
si bien que (11) s’écrit
θε (uε , ϕ) + rε (uε , ϕ) − kε (uε , ϕ) = ℓ(ϕ) + sε (ϕ).
(12)
Question 6c. A l’aide du Lemme 1, montrer que, pour tout u ∈ H01 (Ω) et tout
ϕ ∈ D(Ω), on a
lim θε (u, ϕ) = θ(u, ϕ)
ε→0
4
avec
θ(u, ϕ) = −
d Z
X
i=1
Ω
h i
u(x) Aei · ∂i ∇ϕ(x) dx,
où la matrice constante A ∈ Rd×d est définie par, pour tout i,
Z
Aei =
A (y) (ei + ∇ψi (y)) dy.
(13)
Q
Question 6d. Montrer que, pour tout u et v dans H01(Ω), et tout ϕ ∈ D(Ω), on a
|θε (u, ϕ) − θε (v, ϕ)| ≤ CkϕkH 2 (Ω) ku − vkL2 (Ω) ,
où C est une constante indépendante de ε, u, v et ϕ. En déduire que
lim θε (uε , ϕ) = θ(u0 , ϕ).
ε→0
Question 7a. Montrer que, pour tout u ∈ H01 (Ω) et tout ϕ ∈ D(Ω), on a
lim kε (u, ϕ) = k(u, ϕ),
ε→0
avec
k(u, ϕ) =
d Z
X
Ω
i=1
h
i
u bi · ∇∂i ϕ
où le vecteur constant bi ∈ Rd est défini par
Z
bi =
b (y) ψi (y) dy.
(14)
Q
Question 7b. Montrer que, pour tout u et v dans H01(Ω), et tout ϕ ∈ D(Ω), on a
|kε (u, ϕ) − kε (v, ϕ)| ≤ CkϕkH 2 (Ω) ku − vkL2 (Ω) ,
où C est une constante indépendante de ε, u, v et ϕ. En déduire que
lim kε (uε , ϕ) = k(u0 , ϕ).
ε→0
Question 8. Soit A⋆ la matrice constante définie par : pour toute direction i,
Z
Z
⋆
A ei = Aei + bi =
A (y) (ei + ∇ψi (y)) dy +
b (y) ψi (y) dy.
Q
Q
Question 8a. En utilisant (12), montrer que u0 vérifie
−
d Z
X
⋆
u0 (x) [A ei ] · ∂i ∇ϕ =
Ω
i=1
pour tout ϕ ∈ D(Ω), puis que
Z
T
⋆
(∇ϕ) A ∇u0 =
Ω
Z
Ω
5
Z
f ϕ.
fϕ
Ω
Question 8b. En utilisant (7) pour une certaine fonction test, montrer que
Z
T ⋆
ei A ei = (ei + ∇ψi )T A(ei + ∇ψi )
Q
puis que A⋆ est coercive.
Question 8c. Ecrire l’équation (au sens des distributions) satisfaite par u0 . Cette
équation a-t-elle une unique solution ? En déduire que toute la suite uε converge vers
u0 , et pas seulement une sous-suite.
Question 9. Démontrer le Lemme 1 dans le cas particulier où d = 1 et où la fonction
φ est l’indicatrice d’un intervalle borné [0, α].
Question 10a. L’équation satisfaite par u0 est-elle plus facile à résoudre (en pratique) que le problème de départ (2) ? En raisonnant par exemple avec une méthode
d’éléments finis, on pourra essayer de motiver intuitivement la taille du maillage
nécessaire pour résoudre (2) et (9).
Question 10b. Quel phénomène physique modélise le premier terme de l’EDP (2) ?
le second terme ? Que constate-t-on (en terme de modèle) pour l’équation vérifiée
par u0 ?
6