Homogénéisation de l`équation d`advection-diffusion 1

Homog´en´eisation de l’´equation
d’advection-diffusion
Soit Ω ⊂Rdun ouvert born´e et r´egulier, et soit une fonction f∈L2(Ω).
Pour tout x∈Rd, on se donne une matrice sym´etrique A(x)∈Rd×d, et on
suppose que
A∈L∞(Rd)
et qu’il existe m > 0 tel que, presque partout sur Rd,
∀ξ∈Rd, ξTA(x)ξ≥m ξTξ.
On note Q= [0,1]dle cube unit´e de Rd. On suppose que la matrice Aest Q-
p´eriodique, au sens o`u, pour tout k∈Zdet tout x∈Rd, on a A(x+k) = A(x).
De mˆeme, pour tout x∈Rd, on se donne un vecteur b(x)∈Rd, et on suppose
que
b∈W1,∞(Rd),div b= 0.(1)
L’objectif de ce probl`eme est d’´etudier l’´equation
−div Ax
ε∇uε+1 εbx ε· ∇uε=fdans Ω,
uε= 0 sur ∂Ω,
(2)
lorsque le petit param`etre ε > 0 tend vers 0.
1 Estimations a priori
Question 1a. On consid`ere la forme bilin´eaire
aε(u, w) = ZΩ (∇w)TAx
ε∇u+1 εhbx ε· ∇uiw(3)
d´efinie pour tout uet wdans H1
0(Ω). Montrer qu’il existe α > 0 ind´ependant de ε
tel que, pour tout ε, on a
∀u∈H1
0(Ω), aε(u, u)≥αkuk2
H1(Ω).
Question 1b. Ecrire la formulation variationnelle associ´ee `a (2) sous la forme
∀w∈H1
0(Ω), aε(u, w) = ℓ(w) (4)
pour une certaine forme lin´eaire ℓqu’on pr´ecisera. Montrer qu’il existe un unique
uε∈H1
0(Ω) solution de (2).
Question 1c. Montrer qu’il existe une constante C, ind´ependante de ε, telle que,
pour tout ε > 0,
kuεkH1(Ω) ≤C. (5)
En d´eduire qu’il existe u0∈H1
0(Ω) tel que, `a extraction pr`es, uεconverge (faiblement
dans H1(Ω) et fortement dans L2(Ω)) vers u0.
1

2 Equation du correcteur
Soit p∈Rd. On suppose que best Q-p´eriodique. On admet qu’il existe une
fonction ψp∈H1
loc(Rd), d´efinie sur Rd,Q-p´eriodique et v´erifiant
−div [A(y) (∇ψp(y) + p)] −b(y)·(∇ψp(y) + p) = 0 dans Rd.(6)
On admet aussi que la solution de cette ´equation est unique (`a une constante additive
pr`es) et que Aet bsont assez r´eguliers pour que ψp∈W1,∞(Rd).
Dans la suite, on assure l’unicit´e de ψpen imposant ZQ ψp= 0.
On note
H1
per(Rd) = w∈H1 loc(Rd), w est Q-p´eriodique
et on admet que la formulation variationnelle de (6) s’´ecrit :
∀w∈H1
per(Rd),ZQ
(∇w)TA(∇ψp+p)−ZQ w b ·(∇ψp+p) = 0.(7)
Question 2a. En choisissant une fonction test wparticuli`ere, montrer que si la
formulation variationnelle ci-dessus admet une solution ψp, alors
ZQ
b·(∇ψp+p) = 0.
Question 2b. En utilisant une int´egration par partie, montrer que p·ZQ b= 0.
Dans toute la suite, on supposera que
ZQ
b= 0 (8)
et on admettra que cette condition (n´ecessaire) est aussi suffisante pour que (6) ait
une solution.
3 Homog´en´eisation
On va montrer que uεsolution de (2) converge (au sens ´etabli dans la Question
1c) vers u0solution de
(−div (A⋆∇u0) = fdans Ω,
u0= 0 sur ∂Ω,(9)
o`u A⋆est une certaine matrice constante. Dans la suite, on va identifier cette matrice,
et montrer qu’elle ne d´epend que de la matrice Aet du vecteur b, mais pas du second
membre fni du domaine Ω.
On admet le lemme suivant, qui sera (partiellement) d´emontr´e `a la Question 9 :
2

Lemme 1. Soit g∈L∞(Rd), avec g Q-p´eriodique. Alors, pour tout φ∈L1(Rd),
lim
ε→0ZRd
gx
εφ(x)dx =hgiZRd
φ(x)dx
o`u
hgi=ZQ g(y)dy.
Question 3. Soit w∈H1
0(Ω). Montrer que
aε(u, w) = ZΩ (∇w)TAx
ε∇u−1 εuhbx ε· ∇wi
o`u aεest d´efinie par (3).
Question 4. Soit une fonction ϕ∈ D(Ω) et
w(x) = ϕ(x) + ε
d
X
i=1
∂iϕ(x)ψix
ε(10)
o`u ψi≡ψeiest d´efinie par (6) (avec p=ei, vecteur de la base canonique de Rd).
Question 4a. Expliquer pourquoi w∈H1
0(Ω).
Question 4b. Montrer que, pour tout ϕ∈ D(Ω),
ℓ(w) = ℓ(ϕ) + sε(ϕ)
o`u ℓest la forme lin´eaire identifi´ee dans la Question 1b, et o`u
sε(ϕ) = ε
d
X
i=1 ZΩ
f(x)∂iϕ(x)ψix
εdx.
Question 4c. Montrer que, pour tout u∈H1
0(Ω) et tout ϕ∈ D(Ω),
ZΩ
(∇w)TAx
ε∇u=cε(u, ϕ) + rε(u, ϕ)
avec
cε(u, ϕ) = ZΩ (∇ϕ(x))TAx
ε∇u(x)dx +
d
X
i=1 ZΩ
∂iϕ(x)∇ψix
εT
Ax
ε∇u(x)dx,
rε(u, ϕ) = ε
d
X
i=1 ZΩ
ψix
ε(∂i∇ϕ(x))TAx ε∇u(x)dx.
Question 4d. Montrer que, pour tout u∈H1
0(Ω) et tout ϕ∈ D(Ω),
1
εZΩ
uhbx
ε· ∇wi=dε(u, ϕ) + kε(u, ϕ)
3

avec
dε(u, ϕ) = 1
εZΩ
uhbx
ε· ∇ϕi+1 ε
d
X
i=1 ZΩ
uhbx
ε· ∇ψix εi∂iϕ,
kε(u, ϕ) =
d
X
i=1 ZΩ
uhbx
ε· ∇∂iϕiψix ε.
Question 4e. En ´ecrivant la formulation variationnelle (4) pour la fonction wd´efinie
par (10), montrer que uεv´erifie
cε(uε, ϕ) + rε(uε, ϕ)−dε(uε, ϕ)−kε(uε, ϕ) = ℓ(ϕ) + sε(ϕ).(11)
Question 5. Montrer que, pour tout ϕ∈ D(Ω),
lim
ε→0sε(ϕ) = 0 et lim ε→0rε(uε, ϕ) = 0.
Question 6a. Montrer que, pour tout u∈H1
0(Ω) et tout ϕ∈ D(Ω),
cε(u, ϕ) =
d
X
i=1 ZΩ
(∇u(x))TAx
εei+∇ψix ε∂iϕ(x)dx
puis que
cε(u, ϕ) = −1
ε
d
X
i=1 ZΩ
u(x) (div Gi)x
ε∂iϕ(x)dx −
d
X
i=1 ZΩ
u(x)Gix
ε· ∇∂iϕ(x)dx
avec
Gi(y) = A(y) (ei+∇ψi(y)) .
Question 6b. Montrer que, pour tout u∈H1
0(Ω) et tout ϕ∈ D(Ω),
dε(u, ϕ) = 1
ε
d
X
i=1 ZΩ
u(x)hbx
ε·ei+∇ψix εi∂iϕ(x),
puis, en utilisant (6), que
cε(u, ϕ)−dε(u, ϕ) = −
d
X
i=1 ZΩ
u(x)hAx
εei+∇ψix εi·∂i∇ϕ(x)dx.
Dans la suite, on pose
θε(u, ϕ) = cε(u, ϕ)−dε(u, ϕ)
si bien que (11) s’´ecrit
θε(uε, ϕ) + rε(uε, ϕ)−kε(uε, ϕ) = ℓ(ϕ) + sε(ϕ).(12)
Question 6c. A l’aide du Lemme 1, montrer que, pour tout u∈H1
0(Ω) et tout
ϕ∈ D(Ω), on a
lim
ε→0θε(u, ϕ) = θ(u, ϕ)
4

avec
θ(u, ϕ) = −
d
X
i=1 ZΩ
u(x)hAeii·∂i∇ϕ(x)dx,
o`u la matrice constante A∈Rd×dest d´efinie par, pour tout i,
Aei=ZQ A(y) (ei+∇ψi(y)) dy. (13)
Question 6d. Montrer que, pour tout uet vdans H1
0(Ω), et tout ϕ∈ D(Ω), on a
|θε(u, ϕ)−θε(v, ϕ)| ≤ CkϕkH2(Ω) ku−vkL2(Ω),
o`u Cest une constante ind´ependante de ε,u,vet ϕ. En d´eduire que
lim
ε→0θε(uε, ϕ) = θ(u0, ϕ).
Question 7a. Montrer que, pour tout u∈H1
0(Ω) et tout ϕ∈ D(Ω), on a
lim
ε→0kε(u, ϕ) = k(u, ϕ),
avec
k(u, ϕ) =
d
X
i=1 ZΩ
uhbi· ∇∂iϕi
o`u le vecteur constant bi∈Rdest d´efini par
bi=ZQ b(y)ψi(y)dy. (14)
Question 7b. Montrer que, pour tout uet vdans H1
0(Ω), et tout ϕ∈ D(Ω), on a
|kε(u, ϕ)−kε(v, ϕ)| ≤ CkϕkH2(Ω) ku−vkL2(Ω),
o`u Cest une constante ind´ependante de ε,u,vet ϕ. En d´eduire que
lim
ε→0kε(uε, ϕ) = k(u0, ϕ).
Question 8. Soit A⋆la matrice constante d´efinie par : pour toute direction i,
A⋆ei=Aei+bi=ZQ
A(y) (ei+∇ψi(y)) dy +ZQ b(y)ψi(y)dy.
Question 8a. En utilisant (12), montrer que u0v´erifie
−
d
X
i=1 ZΩ
u0(x) [A⋆ei]·∂i∇ϕ=ZΩ fϕ
pour tout ϕ∈ D(Ω), puis que
ZΩ
(∇ϕ)TA⋆∇u0=ZΩ fϕ.
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