Espaces de Sobolev

Espaces de Sobolev
1
Espace H 1(Ω)
Soit Ω un ouvert de Rd .
Dénition 1.1.
1
H (Ω) =
Remarque 1.2.
distributions.
du
2
u ∈ L (Ω) telles que ∀i ∈ J1, dK
∈ L (Ω)
dxi
2
La dérivée dans la dénition est à comprendre au sens des
Exemples :
la fonction de Heaviside H(x) n'est pas dans H 1 (] − 1, 1[)
tandis que f (x) = |x| l'est.
Théorème 1.3. H 1 (Ω) est un espace vectoriel. Muni du produit scalaire
d Z
X
∂f (x) ∂g(x)
=
f (x) g(x) dx +
dx
∂x
∂x
i
i
Ω
Ω
i=1
Z
(f, g)H 1
c'est un espace de Hilbert. Sa norme est notée k · kH 1 .
Remarque 1.4.
On voit que kf kL2 ≤ kf kH 1 et k∂i f kL2 ≤ kf kH 1 .
Remarque 1.5.
Pour tout Ω ouvert de Rd , on a
D(Ω) ⊂ H 1 (Ω) ⊂ L2 (Ω)
1
2
Espace H k (Ω)
Dénition 2.1.
H k (Ω) = u ∈ L2 (Ω) telles que ∀α ∈ Nd , |α| ≤ k, ∂α u ∈ L2 (Ω)
Exemples :
En 1D, avec Ω =] − 1, 1[ : x 7→ sin x est dans H 1 (Ω) et
H (Ω), x 7→ |x| est dans H 1 (Ω) mais pas dans H 2 (Ω).
2
Théorème 2.2. H k (Ω) est un espace vectoriel. Muni du produit scalaire
Z
(f, g)H k =
f (x) g(x) dx +
Ω
X Z
1≤|α|≤k
∂α f (x)∂α g(x) dx
Ω
c'est un espace de Hilbert. Sa norme est notée k · kH k .
Remarque 2.3.
Le produit scalaire de H 2 (Ω) s'écrit
d Z
X
X Z ∂ 2 f (x) ∂ 2 g(x)
∂f (x) ∂g(x)
dx+
dx
=
f (x) g(x) dx+
∂xi ∂xi
Ω ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj
Ω
i,j
i=1 Ω
Z
(f, g)H 2
3
Espace H01(Ω)
Théorème 3.1.
D(Rd ) est dense dans H 1 (Rd ) pour la norme H 1 : pour tout f ∈
H 1 (Rd ), il existe φn ∈ D(Rd ) telle que limn kf − φn kH 1 (Rd ) = 0.
Si Ω ⊂ Rd , Ω 6= Rd , D(Ω) n'est pas dense dans H 1 (Ω).
Dénition 3.2.
On dénit H01 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H 1 (Ω)
(pour la norme H 1 (Ω)). Autrement dit,
H01 (Ω) = f ∈ H 1 (Ω) ∃φn ∈ D(Ω) tq φn → f dans H 1 (Ω)
Remarque 3.3.
H01 (Rd ) = H 1 (Rd ) ;
si Ω 6= Rd , H01 (Ω) ⊂ H 1 (Ω) avec inclusion stricte.
D(Ω) est dense dans H01 (Ω) pour la norme H 1 (Ω).
H01 (Ω) est un fermé de H 1 (Ω).
2
Théorème 3.4. H01 (Ω)
H .
est un espace de Hilbert pour le produit scalaire de
1
Théorème 3.5
(inégalité de Poincaré). Soit Ω un ouvert borné de Rd . Il
existe une constante CΩ telle que
∀u ∈ H01 (Ω),
kukL2 (Ω) ≤ CΩ k∇ukL2 (Ω) .
Remarque 3.6. Attention ! L'inégalité de Poincaré n'est vraie que si l'ouvert
est borné.
3.1
Notion de trace
Pour une fonction u ∈ C 0 (Ω̄), la trace de u sur ∂Ω est dénie par
γ(u) : ∂Ω −→ R
x 7→ u(x).
En d'autres termes, γ(u) = u|∂Ω . On introduit alors l'application trace
γ : C 0 (Ω̄) −→ C 0 (∂Ω)
u 7→ γ(u)
qui est une application linéaire. A une application dénie sur un ouvert Ω,
elle associe la restriction de cette application au bord de l'ouvert.
Peut-on étendre la notion de trace à des fonctions moins régulières ?
On ne peut pas dénir la trace d'une fonction de L2 (Ω). Cf. par exemple
u : x 7→ sin(1/x) dénie sur Ω =]0, 1[. L'ensemble ∂Ω est alors composé
des deux points 0 et 1. Il n'y a pas de façon naturelle de dénir la trace
de u (la valeur de u) en le point 0.
Une fonction qui est dans H 1 (Ω) n'est pas nécessairement continue. On
peut cependant dénir la trace sur ∂Ω d'une fonction de H 1 (Ω). Plus
précisément, on admet qu'il existe une application linéaire et continue
γ : H 1 (Ω) −→ L2 (∂Ω)
u 7→ γ(u)
vériant ∀u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω̄), γ(u) = u|∂Ω .
Pour u ∈ H 1 (Ω), la fonction γ(u) est dénie sur ∂Ω, et elle n'est pas
forcément continue, mais seulement L2 (∂Ω).
3
Proposition 3.7.
H01 (Ω) = u ∈ H 1 (Ω),
γ(u) = 0 .
Autrement dit, H01 (Ω) est l'ensemble des fonctions de H 1 (Ω) qui s'annulent sur le bord de Ω (quand ce bord est déni).
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