Produit tensoriel topologique d`espaces vectoriels

Séminaire Schwartz
L. S CHWARTZ
Produit tensoriel topologique d’espaces vectoriels topologiques
Séminaire Schwartz, tome 1 (1953-1954), exp. no 1, p. 1-3
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Faculté des Sciences de Paris
EXPOSES Nos 1
2
et
rg-s-i-
Séminaire SCHWARTZ
Année 1953/1954.
18 novembre 1953
Exposé n° 1
PRODUIT TENSORIEL TOPOLOGIQUE D’ESPACES VECTORIELS
TOPOLOGIQUES.
........~..,..~....
Exposé
,
de L. SCHWARTZ.
,
,
THEOREME. Si
E
F
et
sont deux espaces localement convexes, il existe
E ~ F ,une topologie localement
vante : quel que soit
l’espace
entre l’espace vectoriel des
convexe
et
une
localement
seule
ayant la propriété sui G q l’isomorphisme canonique
convexe
bilinéaires de
applications
sur
E > F
dans
G
et
applications linéaires de E ~ F dans G fait correspondre, à l’espace vectoriel B(E, F g G) des applications bilinéaires continues
de E : F dans G 1 l’espace vectoriel
G) des applications linéaires
continues de E F dans G. Cet isomorphisme fait alors correspondre les
l’espace
vectoriel des
.
ensembles
équicontinus d’applications
bilinéaires de
E X F
dans
G
aux en-
équicontinus d’applications linéaires de E ~ F dans G. La topologie
ainsi définie sur E ~ F est la topologie d’espace localement convexe la plus
fine pour laquelle l’application bilinéaire canonique de
F dans E ~ F
sembles
~
soit continue.
DÉMONSTRATION.
Soit
T
cation
une
de
(E
bilinéaire canonique de
est
une
nique
de
topologie
E
X
F
topologie répondant
@F)T
E X F
localement
dans
dans
(E
aux
(E @F)T
dans
convexe
conditions de l’énoncé.
est
continue,
donc
L’applil’application
est continue. Si maintenant
sur
soit
E ~ F
telle que
l’application canol’application identique
continue, alors
de
sur
est continue, donc T est plus fine que T’ .
(E
t
Nous avons bien montré que T 1 si elle existe, est la topologie localement
convexe la plus fine pour laquelle l’application bilinéaire
canonique de E X
dans E ~ F soit continue; et ceci démontre en même temps l’unicité de T .
.
t
Montrons maintenant l’existence.
T~
F
-2-
Nous montrerons pour cela
PROPOSITION 1 -
sinages
0
de
répondant
aux
E(rosp.
de
U @V , parcourt
(resp. V) parcourt un système fondamental de voi( U ~ ïI ~ f enveloppe convexe équilibrée de
U
Lorsque
un
système
fondamental de
voisinages de
d’une
0
topologie
conditions de l’énoncé du théorème.
0393(U ~
Comme
V)
est convexe,
équilibré, absorbant, et que ces endéfinissent bien un système fondamental
filtre, ils
de voisinages de 0 d’une topologie T localement convexe sur E @F .
Soit H une partie équicontinue de B(E , F ; G) . Il existe alors,
pour tout voisinage convexe équilibré W de 0 dans G , des voisinages
sembles forment
U; V~
0
de
une
dans
base de
E 9
F
l’application
Si
on
on
voit que l’on a, pour toute
appelle B
B ~ H ,
tels que, pour toute
linéaire de
B ( 0393 (U ~ V) ) ~ W ;
F~ 9 G) .
Réciproquement, soit H
équilibrée
est
H
donc
E ~ F
dans
ait
on
G
, B (U ~
associée à
B ,
donc, W étant oonvexe
partie équicontinue de
une
.
L(
(E ~’
.
,
que
0
de
que
B(
~
B(U
CT W
nous
x
il existe alors
G ~
B ~ H . Alors
prouve que
de
E ~
F
H
est une
a
G)
L(
de
pouvons supposer de la forme
pour toute
V) C: W ~ ce qui
B(E ~ F ; G) .
DEFINITION - La topologie
donc
partie équicontinue
0 ~ W , dans
Quel que soit le voisinage de
de
une
voisinage
un
,~ (U ~ V~ ’
tel
W ,
fortiori
partie équicontinue
de
satisfaisant aux conditions de 1 t énoncé
appelée produit tensoriel projectif des topologies de E et
et notée
de F y ou topologie tensorielle projective sur
(E ~ F~ .
E ~F sera toujours, dans cet exposé, muni de ~~te topologie.
E (§)F sera le complété de E ~F pour cette topologie. Si alors G
est un espace vectoriel localement convexe complet, toute application bilinéaire
continue de E x F dans G définit canoniquement une application linéaire
oontinue de E S F dans G .
du théorème
sera
’
E ~ F
l’application B ~ B à
1 tespaoe B (E ,F)
des formes bilinéaires continues sur E %: F ; il en est
de même du dual de E ~ F . Comme les parties équicontinues de
(E ~ F)’ sont
alors identifiées aux parties équicontinues de B(E , F) , on voit qu’un système fondamental de voisinages de 0 dans E ~ F (resp. E ~ F~ est oonstitué
par les polaires des parties équicontinues de B(E , F) , dans la dualité
~
séparante entre E ~ F (resp. E ~ F~ et B (E ~ F) .
.
Le dual de
s’identifie
par
.
-3Ceci aurait pu également servir à montrer l’unicité de la.
produit tensoriel,
et d’ailleurs aussi
PROPOSITION 2 - Si
est
une
E
et
F
sont
existence.
sépares
sépare (resp. motrisable).
Soit en effet
forme bilinéaire continue
associée
B
sur
E @ F
des supplémentaires
E
B
pourra
U
sur
E X F
sur
B(u) /
vérifie
prendre
existe
tels que
topologiques
pour
B
de
la forme
F2p
prouve que
u
Si
E2 x
F .
et
F
sont
il existe
séparés,
en
effet des
~ F1 ;
Si
Bi
B.
est
à
B1
bilinéaire
égale
Comme B
F2 ]0 .,
n’ost pas adhèrent à
E
sont
telle que la forme linéaire
Il
0
F
et
telle que la forme linéaire associée
E1 ~ F1
on
(resp. métrisables), ID 0 F
’
espaces de dimension finie
sur
son
topologie
soient
une
sous-
E2 , F
forme bilinéaire
vérifie
sur
0 ,
%:
E1
F19
à
être continue, cela
E 0F est séparé.
doit
donc que
métrisables,
on
peut prendre
un
système fondamental
dénombrable de voisinages de 0 dans E y F ~
où
parcourt un système fondamental dénombrable de voisinages de
U03B1 (resp.
0 dans E (resp. F) ; donc E ~ F est
est un espace
métrisable, et
~
0V~ ) ~
de Fréchet.
Exposé
n° 2
PROPOSITION 1 -
Si
E
(resp. F) ,
U
(resp. V)
de jauge
p
est
un
(resp.
voisinage convexe équilibre ferme de 0
est donnée
q) , la jauge de
de
par
Lorsque p(resp. q) parcourt un système fondamental de semi-normes continues
de E (resp. F) , les p ~ q
forment un système fondamental de semi-normes
continues
sur
E ~ F . On
a