I. Divers espaces normés associés à un espace localement convexe

Séminaire Schwartz
L. S CHWARTZ
I. Divers espaces normés associés à un espace localement
convexe séparé E
Séminaire Schwartz, tome 1 (1953-1954), exp. no 7, p. 1-8.
<http://www.numdam.org/item?id=SLS_1953-1954__1__A8_0>
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Fa,culté des Sciences de Paris
...~ _ô _~ ..
13 janvier ~:954
Séminaire SCHWARTZ
19~3/i~5~ ~ v.
Exposé
n° 7
I - DIVERS ESPACES NORMÉS ASSOCIÉS A UN ESPACE LOCALEMENT CONVEXE SÉPARÉ
1°)
Les espaces
E .
EU .
voisinage de 0 , convexe équilibré ouvert, p la semi-norme
jauge de U . L’espace E, muni de la seule semi-norme p , n’est pas nécessairemcnt séparé ; son quotient par le sous-espace des éléments de semi-norme
Il existe une
nulle, muni de la norme quotient, est l’espace normé
épijection canonique ~ -~ Eu .
Soit
U
un
E ~ N
Proposition 1 - Si
normé N ,
et que
En
il existe
Eu -1
N
EU répond
soit
si
effet,
U
un
U
une
est
est
tel
une
que
épijection continue de
Eu
sur
l’image réciproque
manifestement à la question. Les
donnent donc tous les modèles
sur un espace
composée
cette épijection soit
isométrie de
E
N.
_
de la boule unité ouverte de
applications canoniques
d’épijectionscontinues
de
E
sur
E
N ~
’""~E~
des espaces
norme s.
Proposition 2 - Tout
duit d’espaces
(resp.
E
normés; tout
f ermé )
est isomorphe à un sous-espace vectoriel d’un
E
métrisable
(resp.Fréchet)
est
sous-espace
produit dénombrable d’espaces de Banach.
est en effet un monomorphisme : elle est
L’application E ~ EU
biunivoque, et pour que x ~ E converge vers 0 , il faut et il suffit que chaencore
que image x,~ C Eu converge vers J . Naturellement E
un monomorphisme.
E est limite projective des quotients normés
Il
n’est pas nécessaire, pour obtenir un monomorphisme, de prendre tous les U ,
mais seulement une base des voisinages; d’où la propriété des métrisables.
Comme
est complet, un sous-espace est complet si et seulement si il est
fermée d’où la propriété des Fréchet.
2 °)
Les
espaces
E .
partie bornée de E, convexe équilibrée et coupant toute
droite issue de 0 suivant un segment fermé (éventuellement réduit à 0 )
( B est fermée pour la topologie localement convexe la plus fine sur E ).
Soit
B
une
-
E~
est le sous-espace
engendré
sa
boule unité fermée.
E~ ""~ E
Proposition 3 - Si
dans E ,
N
muni de la
par
est
""~ Er. *~ E
est une injection continue
N ~
~
Il suffit
injection continue de
une
il existe une partie bornée
E~
soit
isométrie de
une
.N $ les applications
B
B ;
E~
dans
E.
d’un espace normé
N’
N
composée
Ep ~
sur
de la boule unité fermée de
l’image
donnent donc tous les modèles
E
est
B
de
telle que l’injection soit
B
effet de prendre pour
en
jauge
nonne
2 -
d’injections
’
continuas d’espaces
n
normés
dans
E.
d’analogue de la proposition.2...’ E -est limite inductive
des sous-espaces normés
Ep. si et seulement si il est bornologique (ou encore :
.pou:r.,.qu’un espace soit bornologique, .il faut et il suffit
inductive d’espaces normes)- ( évident ) ...
a pas
,
On dira qu~une partie bornée~B est complétante si elle
,librée.,
0
coupe toute droite issue de
’complet (donc Banach). Propriété connue.
Proposition
complétante.
suivant un segment fermé et ’si
:
4 - Toute partie bornée
convexe équilibrée complète est
équilibrée
complétante.
En particulier toute partie- ’ B convexe ’
°
’
faiblement., .complète ,
I+i3 . fait pour
.’
gie
E
de
donc
partie
une
(pourvu
..complète.,
donc
d’être complétante
B
seulement que.
B
est
E~
soit
ne
bornée pour
’faiblement" compacte est
dépend
cette
’de’la topolo2014
topologie).
Applications aux produits tensoriels topologiques Tr .
D’après l’expression explicite
topologie est limite proj écrive
-tiens
des
cette
quotients .normes
E~F-~.E~~F~ .
’
Plus ’généralement
:
Proposition 5 - Si
cations
E
E ~ E. (resp.
.
°
(resp.F)-est limite projective (filtrante) d’appliF ~
E
Fj)
dans des
espaces
localement convexes
est limite projective des applications
Evident, par l’expression explicite des
...de- topologie projective pour la topologie 1 ’. ° Il . n’y ’a pas
Y
..limite . inductive. Toutefois :
Proposition 6 ’" Si E
logiques Ei ,
et si
F
Ei
~ F ~ Ei ~03C0 Fj
pour la
.
est limite inductive d’une famille de
est norme
E
E
sous-espace
topo-’
limite inductive des sous-espaces
topologiques
E.
et le r.. sous-espace de
~03C0 F ,
est limite inductive des
engendré
F
E
F
E.
par les
Ei F .
Principe de la démonstration : pour que 2 topologies soient identiques
EVT,
un
il faut et il suffit
mêmes parties équi-
aient même dual et
qu’elles
sur
continues du dual.
Reste à voir que toute forme bilinéaire
Ei ~
aux
F
même pour les parties équiconti-~
est une telle forme bilinéaire, l’ensemble des points x de E
1 pour tout y de norme £ 1 de F est convexe équili-
sont continues est
Or si
nues.
B
que
tels
bré et coupe tout
E.
0 de E, C.Q.F.D.
II - LA
DEUXIÈME
Soient
séparément
i
2 EVT ,
continues
soit
produit A x B ,
est bornée
En
effet,
de
c’est donc
E ~~ F.
~(G9H)
Appelons
0 ~
un
voisinage
de
.
l’espace des formes bilinéaires
On pourra le munir de la
famille de parties bornées de
une
topologie d’espace vectoriel,
sur
G
x
G
y’ l ’ G2-topologie
(resp. H ).
il faut et il suffit
H
soit bornée
sur
tout
A ~ G1 , B ~ G2 .
bornée complétante
H
voisinage
une
Proposition 7 - Si A
x
et de
bilinéaire séparément continue
que toute forme
G
un
G, H.
sur
(resp. G2) étant
ce
suivant
continues
TOPOLOGIE TENSORIELLE
G, H ,
Pour que
dont les restrictions
sur
de
est
H,
une
partie bornée Quelconque de
B
G,
une
toute forme bilinéaire séparément continue
.partie
sur
°
A
sur
x
B .
peut toujours supposer A convexe équilibrée fermée. Alors
la forme bilinéaire est séparément continue sur
le
G A x H- ~ mais
théorème de Baire toute forme bilinéaire séparément continue sur le produit
on
d’un espace normé par
duit des boules
espace de Banach est
un
unités 9
E xFJ.
Comme
mée d’un dual est
tante,
nues,
et que
ces
E’
(resp. F’) .
E’
J~(E~ ~
le pro-
des formes bilinéaires
séparément
x
a(E ~. i F.~ ) ~
On
sur
F’ ~ c’est-à-dire séparément continues sur
toute partie équicontinue convexe équilibrée faiblement ferfaiblement compacte, donc faiblement complète, donc compléparties fondent un système fondamental de parties équicontisur
peut munir ~
uniforme sur les produits
on
donc bornée
C.Q.F.D.
Considérons alors l’espace
faiblement continues
continue 9
1
A’
x
de la
B’ ,
1
A’
topologie E de la convergence
(resp. 6’.). partie équicontinue de
l’espace ainsi topologisé.
notera ~ ~ (E ’ ~ F ) ~
est
sous-espace de
un
-~ ~
nit la forme bilinéaire
blement continue
(E’G , F
est
), qui
séparante.
induite
complété
de
E
@
E
E
F
~
sera
est
séparément
x’ ~ x~">y~ ~ y~~>
~~ F
E
est l’espace
aussi noté
topologies ~
E F ,
par
fai
2014~
Et
~ F’
~ F muni de la topoloopposition
E
avec
F,
et 03C0.
dualité séparante entre
sur
défi-
F .
Comparaison des
de
x03BD ~y03BD
x
dé f initions
g~(E’03C3, F) .
complété
Le
est
Par
par
effet,
donc il existe une application
F et
binunvoque car la dualité entre
E’
sur
an
B(E ~ F) .
Le dual de
est exactement B(E , F) , et les parties équicontinues
B(E , F) sont exactement les ensembles équicontinus de formes linéaires
E
donc un système fondamental de voisinages de 0 sur E
(~ F
constitué des polaires des parties équicontinues de B(E , F).. Un système
et
voisinages de 0 de
parties A’ @ B’ de B(E y F) ~ A’
E
fondamental de
F’ ) .
est
A’
Comme
une
F
est
constitué des polaires des
(resp. B’ ) équicontinue
(resp.
E’
dans
partiç équicontinue de B(E , F) , ~
est moins
TT . On peut le voir autrement : si x (resp. y) converge vers 0
dans E (resp. F ) x converge vers 0 uniformément sur A’ , y converge
0 uniformément sur F’ ~ donc x (% y converge vers 0 dans
vers
F ~
F
de E x F dans
l’application bilinéaire canonique (x , y) ""~
fine que
~’~
est donc
continue, donc ~
est moins fine que
Proposition 8 - Pour que les 2
E ~ F , il faut et il suffit que
contenue
dans 1~enveloppe
(B(E , F) ,
continue
de
E ~
F) )
convexe
topologies
F~
6 et
TT
soient identiques sur
équicontinue de B(E , F)
équilibrée fermée (pour la topologie
toute partie
d’un produit
E’
TT .
A’ ~ B’ ,
A’
(resp. B’ )
soit
partie équi-
).
Proposition 9 - La topologie ~ est la moins fine sur E ~ F pour laquelle
tout produit A’ @ B’
(A’ (resp.
B’) partie équicontinue de E’ (resp. F’) )
soit un ensemble équicontinu de formes linéaires sur E ~ F .
Ces 2 propositions sont triviales.
Un espace
F
localement
est nucléaire
E
localement
(Si
E
est dit
=
F . Tout espace de dimension finie
séparée
convexe
=
=
que~ue
séparé
convexe
E
F
=
F~ ) .
nucléaire si,
soit
des formes bilinéaires intégrales
J(E ~ F)
L’espace
Une forme bilinéaire
E
sur
x
F
E x F .
sur
intégrale si la forme linéaire
est dite
E ~ F qui lui est associée est continue sur
des formes bilinéaires intégrales est donc le dual de
E
que 03C0 , J(E , F) ~ B(E , F)
intégrale est continue). D’autre part
F) .
Comme ~ est
(autrement dit toute forme bilinéaire
moins fine
Proposition 10 - L’ es ace
J (E 9 F)
L’espace J(E , F)
F .
sur
est le sous-espace
titué
Plus
précisément :
B(E , F)
fermées (pour
de
cons-
par la réunion des enveloppes convexes équilibrées
(B(E,F) , E~F)) des produits A’ ~ B’ , li’ (resp. B’) partie équicontinue
F’ ) .
de E’
En effet, pour que B ~ B(E , F) soit dans J(E, F) , il faut et il sufqu’elle soit dans le polaire d’un voisinage de 0 de
un bipolaire
(A’ S) B ) , Les parties telles que
système fondamental de parties équicontinues de J(E , F)
fit
F ,
donc dans
forment
considéré
un
comme
dual de
,
Proposition
11 - Pour Qu’une forme bilinéaire
faut et il suffit qu’elle soit de la forme
A’
sens
de Radon
sur
le compact
de la topologie de la
Autrement
x
F
E’
partie équicontinue faiblement fermée de
B’ )
mesure
E
sur
dit,
(faible)
convergence
soit
intégrale, il
’
(resp.
F’ j ~ ~t
B’ , l’intégrale étant rrise
A’
simple
E
sur
au
F .
x
cette forme bilinéaire s’écrit d
qu’un point d’un EVT appartienne à l’enveloppe convexe équilibrée fermée d’un compacta il faut et il suffit qu’il soit centre de gravité
de ce compact pour une mesure de Radon de masse absolue $ 1 portée par ce
compact.
définit bien un élément
Remarquons de plus que tout système (A’,
En effet pour
de
en
J(E , F) . On obtiendra
prenant
Cas des
Si
B’
A’ ,
espaces
E
et
F
fixes,
une
et
partie de
en
J(E ~ F) équicontinue (sur
faisant
avec
~
f
~d
p
’
E
B
normés..
sont
normés,
on
définit
une
norme 6
sur
E @F
par
~1 F)
bOI;ié.
On voit alors que la
F~) .
(E* ~)
.
Cette
norme
norme ~
est
au
est celle
plus égale
B(E’,F’)
qui est induite par
à la
norme
TT~
~
car
décomposables x ~ y de E @ F ont même norme
pour f et Ti" ~ Sur J~E ~ F) existe alors la norme de dual de
F , que nous appe-lierons norne-J ou norme intégrale; elle est plus granSur E’ t~ F’ ? la norme B
de que la norme induite par B(E,F) ou
=
est identique à la norme ~
(car
sup
| u’ , x ~ y>| , et
Mais naturellement les éléments
F)
est faiblement dense dans la boule unité de
part
E’ t~ F’
sur
Dans tous les
cas
la norme-J
est $
à la
connus, la norme-J est
norme-% ,
égale
dernier étant
pour les éléments
en r
éalité
=
décomposables
à la
dans
xt
tous les
(~ y’ ~
ca s
toutes
D’autre
car
TT .
norme
norme ~
Récapitulons : Sur E’ ~ F’ , norme B =
le
(resp. F" ) .
E"
norme
J 6 norme
03C0 ,
connus. Naturellement
sont
ces normes
égales
à
~x’~ ~y’~ .
Si
appelle
on
norme
B
(resp. J)
sur
B (E’ ~ F’ ) (resp. J (E’ 9 F’ ) ) on a de même
norme J
norme 03C0 , le dernier étant =
E 0F
sur
la
norme
E ~ F :
induite par
norme
dans tous les
B ==
,
norme E
cas connus.
d’applications linéaires contlnues..
Soient
(i ~ 1 , 2) des applications linéaires continues de Ei dans
dans
Fi . Alors vl ~~ v,, est une application linéaire de
F~ ~ Fz .
Elle
12
est
se
les
continue
pour
Proposition
topologies 6 .
v1 ~ v2
prolonge donccanoniquement en une application linéaire continue de
E2
1~
Si
les
~
dans
espaces sont normés ~
F~ .
~~ v 11..
’
Produit tensoriel
v ~~
Plus
~
~_~
généralement
définit
=
application linéaire
continue de
Cette
application
est définie par
nue
de
par tvi
relative à
l’appli-
faiblement continue,
tvi
d’une partie équicontinue de
partie équicontiF! i est
Tout résulte 1,lors de
l’image
"l’image réciproque"
ce
et de
est
que
ce
que
une
EJ .
i
Considérons le
ces
des espaces
Nous trouvons finalement
déjà trouvé Il v1 ~
v2~03C0 =
~v1~
normés,
lEv @ v
Il
v2~
et comparons
- §
.
v
11
~v2 11
~v1~ , ~v2~
,
comme noua
,
et
avions
- 8 -
Proposition 13 - Si les vi sont des monomornhismes.
est un monomorphisme pour les topologies ~ . Autrement dit, si E. est un sous-espace
topologique de Fi , la topologie ~ sur E1 ~ E2est induite par la topolode F1 ~ F2 , et la norme ~ est la même si tous les espaces sont nor-
més.
En effet
est
E’
quotient de
l’image canonique par F’ -~ E!
d’une partie equicontinue de
F’ est une partie equicontinue de E! ~ et
réciproquement d’après Hahn-Banach toute partie equicontinue de E! est
l’image d’une partie equicontinue de F! . Dans le cas d’espaces normes la
boule unité de
C.Q.F.D.
E’i est lainage de la boule unité de
Remarque .
Si les
un
sont des
v.
F! ;
épimorphismes, v.
épimorphisme pour les topologies 6 .
pour les épimorphismes, les topologies ~
un
l’intérêt des
cas
Topologie ~
où
sur
ces
topologies
le produit
de
n’est pas en général
Ainsi les topologies TT conviennent
pour les
seront
monomorphismes.
On
identiques.
plusieurs EVT.
Proposition 14 - Soient E , F , G , 3 EVT . On appelle topologie
la topologie de la convergence uniforme sur les produits
A’
B’ , C’) partie équicontinue de E’ (resp. F’ , G’) .
(E~F.~G)~~(E~F)~
et les normes sont les mêmes si tous les
Il suffit
la dualité
tinues
séparante
sur
laires des
dore
H’
naturellepent
entre
E ~ F ~G .
espaces
de montrer le
E
G
et
Les
voisinages de
A’ ~ B’ ~ C’ ; los voisinages
B’)~
(A’ ~ B’)00 ~ C’ ~
le même que c e lui de
Remarqua -
On
a
aussi
(A’
x
(E ~ F ~
G)~
=
or
6’
sur
(F~normés.
G)~F~ (E~G) ,
sont
premier isomorphisme. Considérons
l’espace des formes trilinéaires con0 de (E & F ~
G)r sont les pode
polaires des H’ ~ C’ où H’estunepartie
est de la forme
conçoit
le
0
dans
(E
SL
F) ~~
G
sont les
équicontinue de (E ~~ F)’ = J(E,F)
polaire
(A’ ~
B’
(E F)
de
A’ ~B’ ~C’
est
~ C’)00 .
G ,
...
.