Activité no 01 - Les

3EME-E Activit´e no01
Algorithme des diff´ erences successives
Le ../09/2013
1Diviseurs et op´erations :
Dans toute cette activit´e, aet bsont deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b.
1/ (a) Donne un diviseur d(diff´erent de 1) commun `a 45 et `a 35.
(b) dest-il un diviseur de 45 + 35 ? de 45 −35 ?
2/ Supposons que 2 soit un diviseur de aalors a= 2 ×navec nun nombre entier.
Supposons que 2 soit un diviseur de balors b= 2 ×mavec mun nombre entier.
Alors
a+b=...×n+...×m=...×...... d’o`u 2 est un diviseur de .........
a−b=...×n−...×m=...×...... d’o`u 2 est un diviseur de .........
3/ •Si 5 est un diviseur commun `a aet b, prouve que 5 est aussi un diviseur de a−b.
5 est un diviseur de . . . alors ... = 5 ×... avec nun nombre entier.
5 est ...................................................................................................
Donc a−b=............... =...×...... d’o`u ........................................................
•Si 5 est un diviseur commun `a aet b, prouve que 5 est aussi un diviseur de a+b.
5 est un diviseur de . . . alors ... = 5 ×... avec nun nombre entier.
5 est ...................................................................................................
Donc a−b=............... =...×...... d’o`u ........................................................
4/ Th´eor`eme
•Si dest un diviseur commun `a aet b, prouve que dest aussi un diviseur de a−b.
dest un diviseur de . . . alors ... =d×... avec nun nombre entier.
dest ...................................................................................................
Donc a−b=............... =...×...... d’o`u ............................................... .
•Si dest un diviseur commun `a aet b, prouve que dest aussi un diviseur de a+b.
dest un diviseur de . . . alors ... = 5 ×... avec nun nombre entier.
dest ...................................................................................................
Donc a+b=............... =...×...... d’o`u ............................................... .

2Application : P GCD(450; 300) = P GCD(450; 450 −300)
•Ci-dessous, les diviseurs communs de 450 et de 300 sont soulign´es mais il manque des nombres.
adiviseurs de 450 a
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 25 ; 30 ; 45 ;
50 ; 75 ; 90 ; 150 ; 225 ; 450
adiviseurs de 300 a
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ;
50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300
adiviseurs communs de 450 et 300 a
a1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150 a
•Ci-dessous, les diviseurs communs de 450 et de 450 −300 = 150 sont surlign´es, mais il manque des nombres.
adiviseurs de 300 a
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ;
50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300
adiviseurs de 450 −300 =150 a
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ;
150
adiviseurs communs de 300 et 450 −300 =150 a
a1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150 a
1/ Compl´eter en pr´ecisant la d´emarche.
2/ D´eterminer P GCD(450; 300).
3/ D´eterminer P GCD(358; 90).