Activité no 01 - Les
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3EME-E Activité no 01 Le ../09/2013 Algorithme des différences successives 1 Diviseurs et opérations : Dans toute cette activité, a et b sont deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b. 1/ (a) Donne un diviseur d (différent de 1) commun à 45 et à 35. (b) d est-il un diviseur de 45 + 35 ? de 45 − 35 ? 2/ Supposons que 2 soit un diviseur de a alors a = 2 × n avec n un nombre entier. Supposons que 2 soit un diviseur de b alors b = 2 × m avec m un nombre entier. Alors a + b = ... × n + ... × m = ... × ...... d’où 2 est un diviseur de . . . . . . . . . a − b = ... × n − ... × m = ... × ...... d’où 2 est un diviseur de . . . . . . . . . 3/ • Si 5 est un diviseur commun à a et b, prouve que 5 est aussi un diviseur de a − b. 5 est un diviseur de . . . alors . . . = 5 × . . . avec n un nombre entier. 5 est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc a − b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. • Si 5 est un diviseur commun à a et b, prouve que 5 est aussi un diviseur de a + b. 5 est un diviseur de . . . alors . . . = 5 × . . . avec n un nombre entier. 5 est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc a − b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4/ Théorème • Si d est un diviseur commun à a et b, prouve que d est aussi un diviseur de a − b. d est un diviseur de . . . alors . . . = d × . . . avec n un nombre entier. d est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc a − b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Si d est un diviseur commun à a et b, prouve que d est aussi un diviseur de a + b. d est un diviseur de . . . alors . . . = 5 × . . . avec n un nombre entier. d est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc a + b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Application : P GCD(450; 300) = P GCD(450; 450 − 300) • Ci-dessous, les diviseurs communs de 450 et de 300 sont soulignés mais il manque des nombres. a diviseurs de 450 a a diviseurs de 300 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 25 ; 30 ; 45 ; 50 ; 75 ; 90 ; 150 ; 225 ; 450 a 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300 a diviseurs communs de 450 et 300 a a 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150 a • Ci-dessous, les diviseurs communs de 450 et de 450 − 300 = 150 sont surlignés, mais il manque des nombres. a diviseurs de 300 a a diviseurs de 450 − 300 = 150 a 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150 a diviseurs communs de 300 et 450 − 300 = 150 a a 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150 a 1/ Compléter en précisant la démarche. 2/ Déterminer P GCD(450; 300). 3/ Déterminer P GCD(358; 90).
