Activité no 01 - Les

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3EME-E
Activité no 01
Le ../09/2013
Algorithme des différences successives
1
Diviseurs et opérations :
Dans toute cette activité, a et b sont deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b.
1/ (a) Donne un diviseur d (différent de 1) commun à 45 et à 35.
(b) d est-il un diviseur de 45 + 35 ? de 45 − 35 ?
2/ Supposons que 2 soit un diviseur de a alors a = 2 × n avec n un nombre entier.
Supposons que 2 soit un diviseur de b alors b = 2 × m avec m un nombre entier.
Alors
a + b = ... × n + ... × m = ... × ......
d’où 2 est un diviseur de . . . . . . . . .
a − b = ... × n − ... × m = ... × ......
d’où 2 est un diviseur de . . . . . . . . .
3/ • Si 5 est un diviseur commun à a et b, prouve que 5 est aussi un diviseur de a − b.
5 est un diviseur de . . . alors . . . = 5 × . . . avec n un nombre entier.
5 est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc a − b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
• Si 5 est un diviseur commun à a et b, prouve que 5 est aussi un diviseur de a + b.
5 est un diviseur de . . . alors . . . = 5 × . . . avec n un nombre entier.
5 est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc a − b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4/ Théorème
• Si d est un diviseur commun à a et b, prouve que d est aussi un diviseur de a − b.
d est un diviseur de . . . alors . . . = d × . . . avec n un nombre entier.
d est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc a − b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Si d est un diviseur commun à a et b, prouve que d est aussi un diviseur de a + b.
d est un diviseur de . . . alors . . . = 5 × . . . avec n un nombre entier.
d est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donc a + b = . . . . . . . . . . . . . . . = . . . × . . . . . . d’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Application : P GCD(450; 300) = P GCD(450; 450 − 300)
• Ci-dessous, les diviseurs communs de 450 et de 300 sont soulignés mais il manque des nombres.
a
diviseurs de 450
a a
diviseurs de 300
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 25 ; 30 ; 45 ;
50 ; 75 ; 90 ; 150 ; 225 ; 450
a
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ;
50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300
a
diviseurs communs de 450 et 300
a
a
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150
a
• Ci-dessous, les diviseurs communs de 450 et de 450 − 300 = 150 sont surlignés, mais il manque des nombres.
a
diviseurs de 300
a a
diviseurs de 450 − 300 = 150
a
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ;
50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ;
150
a
diviseurs communs de 300 et 450 − 300 = 150
a
a
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150
a
1/ Compléter en précisant la démarche.
2/ Déterminer P GCD(450; 300).
3/ Déterminer P GCD(358; 90).
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