Exercices sur PGCD, PPCM, théorèmes de Bezout et Gauss

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Exercices sur PGCD, PPCM,
théorèmes de Bezout et Gauss
1 Déterminer le PGCD des nombres 963 et 153 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2 1°) Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
2°) Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
- toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.
a) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
b) Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
3 Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
10 Soit a et b deux entiers naturels tels que PGCD(a ; b) = 7.
La dernière division de reste nul étant écrite, les quotients successifs de l’algorithme d’Euclide sont
respectivement : 3 ; 2 ; 1 ; 4.
Quelles sont les valeurs de a et b ?
11 Soit a et b deux entiers naturels tels que PGCD(a ; b) = 1.
La dernière division de reste nul étant écrite, les quotients successifs de l’algorithme d’Euclide sont
respectivement : 3 ; 2 ; 1 ; 3 ; 1.
Quelles sont les valeurs de a et b ?
12 Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.
Démontrer en utilisant le théorème de Bezout que les entiers a et b sont premiers entre eux.
1°) a = n,
2°) a = 2n + 1,
3°) a = 2n + 3,
b = 2n + 1
b = 6n + 4
b = 3n + 5
13 L’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de 4 788 et 1 428 donne les résultats suivants.
Étape 1 : 4 788 = 3  1 428 + 504
Étape 2 : 1 428 = 2  504 + 420
4 Déterminer le PGCD de mn et de (2m + 1) n où m et n sont deux entiers naturels non nuls.
Étape 3 : 504 = 1  420 + 84
Étape 4 : 420 = 5  84
 ab  1 452
5 Déterminer tous les couples (a ; b) d’entiers naturels non nuls tels que l’on ait 
.
 PGCD  a ; b   11
6 Démontrer que pour tout entier naturel n, les entiers A = 2n + 1 et B = 3n + 1 sont premiers entre eux.
1°) En déduire d = PGCD(4 788 ; 1 428).
2°) Remonter l’algorithme d’Euclide, afin de déterminer des entiers relatifs u et v tels que :
4 788 u + 1 428 v = d.
7 On pose A = 3n + 1 et B = 5n – 1 où n est un entier naturel.
14 Utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer un couple (u, v) d’entiers relatifs pour chaque égalité.
On pose d = PGCD(A, B).
1°) 726 u + 137 v = 1
1°) Démontrer que d | 8.
2°) Démontrer que d = 8  8 | A et 8 | B.
3°) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 8 | A.
En déduire les valeurs de n pour lesquelles d = 8.
2°) 2 017 u + 1 771 v = 1
15 On considère l’équation diophantienne 4x – 3y = 5 (E)
avec (x, y)  2.
1°) Déterminer un couple ( x0 , y0 ) d’entiers relatifs, solution « évidente » de l’équation (E).
2°) Déterminer toutes les solutions de (E).
8 Déterminer PGCD(49 980 ; 28 420) et PGCD(180 ; 336) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
9 Soit n un entier naturel non nul.
1°) Soit d un diviseur positif commun à n et n + 2.
Quelles sont les valeurs possibles de d ?
2°) Déterminer le PGCD de n et n + 2 suivant la parité de n.
3°) On pose a = n2  3n et b  n2  5n  6 .
a) Factoriser a et b.
b) Déterminer le PGCD de a et b suivant la parité de n.
16 On considère l’équation diophantienne 8x – 5y = 7 (E) avec (x, y)  2.
1°) Déterminer un couple ( x0 , y0 ) d’entiers relatifs, solution de l’équation (E).
2°) Déterminer toutes les solutions de (E).
17 1°) On considère l’équation diophantienne 8x + 5y = 1 (E) avec (x, y)  2.
Déterminer une solution particulière de (E) puis résoudre (E).
2°) Un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans un bar.
Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
18 Déterminer PPCM(44 100 ; 3 036).