Topologie (version préliminaire)

Topologie (version pr´eliminaire)
1. Quatre affirmations
On travaille pour commencer dans l’espace vectoriel Rnmunie de sa norme Euclidienne
standard. Soit Dla boule ferm´ee de centre 0 et de rayon 1, et soit Ssont bord, c’est `a dire la
sph`ere de rayon 1.
Commen¸cons par ´enoncer quelques affirmations. On montrera au cours de ce chapitre
qu’elles sont ´equivalentes entre elles, et, surtout, qu’elles sont vraies. C’est le Th´eor`eme de
Brouwer.
(1) Soit f:D−→ Rnune application telle que f|S=Id, alors D⊂Im(f).
(2) Il n’existe pas d’application continue f:D−→ Stelle que f|S=Id.
(3) Tout application continue f:D−→ Dadmet un point fixe.
(4) L’application Id :S−→ Sn’est pas homotope `a une constante.
Si Xet Ysont des espaces m´etriques (par exemple X=S=Y), et si f, g :X−→ Ysont
des applications continues, on dit que fest homotope `a gsi il existe une application continue
F: [0,1] ×X−→ Y
telle que F(0, x) = f(x) pour tout x∈Xet telle que F(1, x) = g(x) pour tout x. On dit alors
que Fest une homotopie entre fet g.
La relation ”fest homotope `a g” est une relation d’´equivalence, c’est `a dire que
– Toute application est homotope `a elle-mˆeme,
–fest homotope `a gsi et seulement si gest homotope `a f,
– Si fest homotope `a g, et si gest homotope `a h, alors fest homotope `a h.
Pour v´erifier que fest homotope `a elle mˆeme, il suffit de consid´erer l’homotopie ”triviale”
F(t, x) = f(x). Pour v´erifier que gest homotope `a fsi fest homotope `a g, il suffit de
”retourner l’homotopie”, c’est `a dire de consid´erer l’homotopie ˜ F(t, x) = F(1 −t, x), o`u Fest
une homotopie entre fet g. Montrons pour finir le dernier point. Soit F: [0,1] ×X−→ X
une homotopie entre fet g, et soit G: [0,1] ×X−→ Xune homotopie entre get h. Alors
on constuit une homotopie Hentre fet hen posant H(t, x) = F(2t, x) pour t∈[0,1/2] et
H(t, x) = F(2t−1, x) pour t∈[1/2,1].
Dans la notion d’homotopie, l’espace d’arriv´ee est tr`es important. L’affirmation (4), par
exemple, ´enonce qu’il n’existe pas d’application F: [0,1] ×S−→ Stelle que F(0, .) est une
constante et telle que F(1, x) = xpour tout x∈S. Par contre, il est facile de construire une
application G: [0,1] ×S−→ Rntelle que G(0, .) est une constante et telle que G(1, x) = x
pour tout x∈S. Il suffit de poser G(t, x) = tx + (1 −t)a, avec a∈S. On voit par cette
m´ethode que deux applications `a valeurs dans Rnsont toujours homotopes, c’est `a dire que,
pour tout espace X, l’ensemble des classes d’homotopies d’applications de Xdans Rncontient
un seul ´el´ement.
1

2 TOPOLOGIE (VERSION PR´ ELIMINAIRE)
1.1. ´ Equivalence entre les affirmations. Nous allons montrer dans un premier temps
que les affirmations (1). . .(4) sont ´equivalentes entre elles. Cette d´emonstration est bas´ee sur
le Lemme suivant :
Lemme 1.1.Soit X⊂D×Rnl’ensemble des points (x, y)tels que x6=y. Il existe une
application continue
p:X−→ S
telle que p(x, y) = ypour tout y∈S, et qui de plus est C1sur X∩
◦
D×Rn.
D´ emonstration. On peut prendre pour p(x, y) l’unique intersection entre la demi-droite
issue de xet passant par yet la sph`ere S, faire un dessin. Montrons que cette application est
bien d´efinie et qu’elle est C1. On a
p(x, y) = x+t(x, y)(y−x)
o`u t(x, y) est l’unique r´eel positif tel que kx+t(x, y)(y−x)k2= 1. Pour monter que painsi
d´efinie est C1, il suffit de montrer que l’application t(x, y) l’est. L’´equation d´eterminant t(x, y)
se d´eveloppe en
t(x, y)2ky−xk2+ 2t(x, y)hx, y −xi+kxk2−1 = 0.
On a
∆(x, y) = hx, y −xi2+ky−xk2(1 − kxk2)>0,
et l’application
t(x, y) = p∆(x, y)− hx, y −xi
ky−xk2
est donc continue et mˆeme C1sur l’ouvert ∆ >0, qui contient les couples (x, y) tels que
x∈
◦
D.
Nous sommes maintenant en mesure de prouver l’´equivalence voulue.
Il est clair que (1) ⇒(2).
Montrons que (2) ⇒(1). Si il existe une application continue f:D−→ Dqui fixe le bord
et n’est pas surjective, alors elle ´evite un point x0∈
◦
Det on peut d´efinir une application
continue g:D−→ Spar g(x) = p(x0, f(x)). Comme f(x) = xpour x∈S, on a g(x) = x
pour x∈S.
Montrons que (2) ⇒(3). Si il existait une application continue f:D−→ Dsans point
fixe, alors on pourrait d´efinir l’application continue g(x) = p(f(x), x), qui v´erifie g(x) = xsi
s∈S.
Montrons que (3) ⇒(2). Si il existait une application f:D−→ Squi fixe S, alors
l’application x7−→ −f(x) n’aurait pas de point fixe.
Montrons que (2) ⇔(4). Il y a une bijection entre les applications f:D−→ Squi fixent
Sles les homotopies F(t, x) : [0,1] ×S−→ Sentre l’identit´e et une constante. Elle est donn´ee
par
f(tx) = F(t, x)
pour tout x∈Set t∈[0,1]. Il est clair que, si f:D−→ Sest continue, alors la formule
ci-dessus donne une homotopie Fentre la constante x7−→ f(0) et l’application x7−→ f(x).
on a montr´e la proposition suivante :

2. LE CAS n= 2 3
Proposition 1.Soit f:Dn−→ Dnune application continue telle que f(S)⊂Set
telle que la restriction f|S:S−→ Sde f`a Sn’est pas homotope `a une constante. Alors
f:Dn−→ Dnest surjective.
1.2. Notion de degr´e topologique. Discutons pour commencer l’affirmation (4). Prour
prouver cette affirmation, il suffit de comprendre quelles sont les classes d’homotopies d’ap-
plications de Sdans S. Cette question est enti`erement r´esolue :
Th´ eor` eme 1.(Hopf) L’ensemble des classes d’homotopies d’applications de Sn−1dans
Sn−1est en bijection avec Z. Plus pr´esis´ement, il existe une application d:C(S, S)−→ Z, le
degr´e topologique, qui v´erifie les propri´et´es suivantes :
–d(Id) = 1
–d(f) = 0 si fest une application constante
–d(f◦g) = d(f)d(g).
Deux applications fet g:Z−→ Zsont homotopes si et seulement si d(f) = d(g). Autre-
ment dit, le degr´e induit une bijection entre l’ensemble des classes d’homotopies d’applications
continues de Set Z.
Bien sur, ce th´eor`eme implique l’affirmation (4). En effet, l’identit´e et les constantes n’ont
pas le mˆeme degr´e, et donc ne sont pas homotopes. Construire le degr´e topologique n’est pas
facile. Nous le ferons uniquement en dimension 2. Une cons´equence de l’existence du degr´e
est que, si f0est homotope `a f0et si g0est homotope `a g1, alors f1◦g1est homotope `a f0◦g0.
On peut le v´erifier directement. En effet, si ftest une homotopie entre f0et f1(c’est `a dire
que ftest l’application x7−→ f(t, x), o`u f(t, x) : [0,1] ×S−→ Sest une homotopie entre f0
et f1) et si gtest une homotopie entre g0et g1, alors ft◦gtest une homotopie entre f0◦g0
et f1◦g1. Une cons´equence de cette remarque est que la composition passe au quotient : Si
[f] est la classe d’homotopie de fet si [g] est la classe d’homotopie de g, alors la la classe
d’homotopie [f◦g] de leur compos´ee ne d´epend que de [f] et de [g], il est donc naturel de la
noter [f]◦[g]. Si l’on note [S:S] l’ensemble des classes d’homotopie d’applications de Sdans
S, on vient de voir que [S:S] est muni d’une op´eration, not´ee ◦, et les propri´et´e que nous
avons ´enum´er´ees sur le degr´e peuvent se r´esumer en disant que d: ([S, S],◦)−→ (Z, .) est un
isomorphisme, c’est `a dire qu’elle envoit l’op´eration ◦de [S:S] sur la multiplication.
2. Le cas n= 2
2.1. Construction du degr´e sur le cercle. On montre le th´eor`eme de Hopf, et donc
les affirmations (1)..(4), lorsque n= 2. On travaille dans le plan complexe R2=C, et comme
ci-dessus, on note Dl’ensemble des nombres complexe de module inf´erieur ou ´egal `a 1 et S
l’ensemble des nombres complexes de module 1. On va chercher `a repr´esenter les points du
cercle Spar leur argument. Pour ceci, on consid`ere l’application
e:R−→ S
donn´ee par e(θ) = exp(2iπθ). On se propose pour commencer `a manipuler les concepts de
prouver la propri´et´e suivante :
Propri´ et´ e1.Toute application continue f:S−→ Squi n’est pas surjective est homotope
`a une constante.
On utilisera pour ceci la :

4 TOPOLOGIE (VERSION PR´ ELIMINAIRE)
Propri´ et´ e2.Soit Iune partie connexe et compacte de S, telle que I6=S. Alors il existe
un intervalle Ade Rtel que e(A) = Iet tel que e|A:A−→ Iest un hom´eomorphisme. On a
alors e−1(I) = ∪n∈Z(A+k), et la r´eunion est disointe.
D´ emonstration de la propri´ et´ e 1. Soit Il’image de f. C’est une partie connexe et
compacte de S. Soit alors Aun intervalle donn´e par la Propri´et´e 2. Soit g:I−→ Ala
r´eciproque de l’application e. L’application g◦f:S−→ Aest bien d´efinie et continue. Elle
est homotope `a une constante. En effet, si best un point de A, on a une homotopie
F(t, x) = tb + (1 −t)g◦f
entre F0=g◦fet la constante b. Mais alors, l’application
˜
F(t, x) = e◦F(t, x)
est une homotopie entre ˜ F0=fet e(b).
D´ emonstration de la propri´ et´ e 2. Soit zun point de S−I, et a∈Run point tel que
e(a) = z. Alors, e−1(I)∩(a+Z) = ∅. D´efinissons Apar A=e−1(I)∩]a, a + 1[. L’application
einduit une bijection continue entre ]a, a + 1[ et S− {z}, et donc elle induit une bijection
continue entre Aet I. De plus, on a A=e−1(I)∩[a, a + 1], et donc Aest ferm´e, puisque
eest continue et Iest ferm´e. L’ensemble Aest donc compact, et l’application e|Aest donc
un hom´eomorphisme. Comme Iest connexe, on conclut que Aest connexe, c’est donc un
intervalle. Il est clair que les differents translat´es A+k, k ∈Zde Asont disjoints et, puisque
eest p´eriodique de p´eriode 1, on a e−1(I) = ∪n∈Z(A+k).
Soit f:S−→ Sune application continue. On dit que F:R−→ Rest un rel`evement de
fsi c’est une application continue telle que e(F(x)) = f(e(x)) pour tout x∈R. On dit aussi
que le diagramme suivant est commutatif.
RF −−−−→ R
e
ye
y
Sf −−−−→ S
Th´ eor` eme 2.Toute application continue f:S−→ Sadmet un rel`evement F:R−→ R.
Si Fet ˜ Fsont deux rel`evements de l’application f, alors il existe un entier k∈Ztel que
F=˜ F+k.
D´
emonstration. Commen¸cons par montrer la seconde partie de l’´enonc´e. Pour chaque x∈
R, on a e(F(x)) = f(e(x)) = e(˜ F(x)), et donc il existe un entier k(x) tel que F(x) =
G(x) + k(x). Comme les fonctions Fet Gsont continues, l’entier k(x) d´epend continument
de x, et donc il ne d´epend pas de x.
Pour montrer l’existence d’un rel`evement F, posons I=e([1/4,1]) et I0=e([3/4,3/2])
(faire un dessin). Rappelons que eengendre un hom´eomorphisme entre [1/4,1] et Iet aussi
entre [3/4,3/2] et I0. Il existe δ > 0 tel que l’image par f◦ed’un intervalle de longueur 2δ
est contenue dans Iou dans I0. Ceci vient du fait que l’application f◦eest uniform´ement
continue.
Consid´erons deux r´eels aet btels que e(b) = f(e(a)). Si f◦e([a−δ, a +δ]) ⊂I, alors
c’est qu’il existe un entier ktel que b∈[k+ 1/4, k + 1], et on note ga,b la r´eciproque de
l’hom´eomorphisme e: [k+ 1/4, k + 1] −→ I.

2. LE CAS n= 2 5
Sinon, c’est que f◦e([a−δ, a+δ]) ⊂I0, et qu’il existe un entier ktel que b∈[k+3/4, k+3/2].
On note alors ga,b la r´eciproque de l’hom´eomorphisme e: [k+ 3/4, k + 3/2] −→ I0.
Dans tous les cas, l’application ga,b est d´efinie sur un voisinage de f(e(a)), prend ses
valeurs dans R, et v´erifie e◦ga,b(x) = xet ga,b(e(a))) = b.
Montrons alors par r´ecurrence que, pour chaque n∈N, il existe une application
Fn: [−nδ, nδ]−→ R
qui rel`eve fet telle que Fnprolonge Fn−1. On choisit un r´eel btel que e(b) = f(1). On d´efinit
la fonction F1par l’expression
F1=g0,b ◦f◦e.
Il faut remarquer que f◦e([−δ, δ]) est effectivement contenu dans le domaine de d´efinition
de g0,b, ce qui est une cons´equence imm´ediate de la d´efinition. Supposons maintenant que
l’application Fnait ´et´e construite. On la prolonge par les expressions
Fn+1(x) = gnδ,Fn(nδ)◦f◦e(x)
pour x∈]nδ, (n+ 1)δ] et
Fn+1(x) = g−nδ,Fn(−nδ)◦f◦e(x)
pour x∈[−(n+ 1)δ, −nδ[. Il est clair que la fonction Fn+1 ainsi d´efinie prolonge Fnet qu’elle
rel`eve f. La seule chose `a v´erifier est qu’elle est continue en nδ et en −nδ. Mais ceci vient du
fait que la fonction gnδ,Fn(nδ)◦f◦eest continue au point nδ et v´erifie
gnδ,Fn(nδ)◦f◦e(nδ) = Fn(nδ).
Ce th´eor`eme permet de donner une d´efinition du degr´e topologique :
D´ efinition 2.1.Soit f:S−→ Sune application continue. On d´efinit le degr´e d(f)de f
par
d(f) = F(1) −F(0),
o`u Fest un rel`evement de f.
Remarquons d`es maintenant que, si Fest un rel`evement de f, alors e(F(1)) = f(e(1)) =
f(e(0)) = e(F(0)), donc F(1) −F(0) est effectivement un entier. De plus, comme deux
rel`evements de fdiff`erent d’une constante additive, la diff´erence F(1) −F(0) ne d´epend pas
du choix du rel`evement F. Le nombre d(f) ne d´epend donc effectivement que de l’application
f. Remarquons aussi que, si Fest un rel`evement de f, alors on a
F(x+k)−F(x) = kd(f)
pour tout x∈Ret k∈Z.
Propri´ et´ e3.On a :
–d(Id) = 1
– Le degr´e des applications constantes est nul.
–d(f◦g) = d(f)d(g).
D´
emonstration. Soit f:z7−→ zl’application identit´e de S. Il est clair que l’application
identit´e F:x7−→ xest un rel`evement de f. On a donc d(f) = F(1) −F(0) = 1.