2.7. D´EDUCTION NATURELLE 33 Récurrence Si maintenant

2.7. D ´ EDUCTION NATURELLE 33
R´ecurrence Si maintenant w(`)1, on distingue plusieurs cas :
1. =1^2. Dans ce cas, |=entraine |=1et |=2et w(`
1),w(`2)<w(`). Donc, par hypoth`ese de r´ecurrence, `1et
`2sont d´erivables dans NK0(soient ⇡1,⇡
2leurs preuves). On conclut
alors en construisant la preuve
⇡=
⇡1
`1
⇡2
`2(^I)
`1^⇡2
2. =¬1et 1/2P. Dans ce cas, |=entraine ,
1|=?et w(`)=
1+w(,1`?). Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une preuve ⇡1de
,
1`? dans NK0. On construit alors comme suit une preuve de `:
⇡1
,
1`? (¬I)
`¬1
3. =1_2. Dans ce cas, |=entraine ,¬1|=2et w(,¬1`
2)=w(`1_2)1. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe donc une
preuve ⇡0de ,¬1`2. On construit alors comme suit une preuve de
`: par le lemme 2.7.2, il existe une preuve ⇡2de ,¬(1_2)`¬2
et une preuve ⇡1de ,¬(1_2)`¬1.
⇡2
,¬(1_2)`¬2
⇡0
,¬1`2(Aff)
,¬(1_2),¬1`2(!I)
,¬(1_2)`(¬1)!2
⇡1
,¬(1_2)`¬1(!E)
,¬(1_2)`2(¬E)
,¬(1_2)`? (abs)
`1_2
4. =1!2. Dans ce cas, |=entraine ,
1|=2et w(`1!
2)=2+w(,
1`2). Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe donc une
preuve ⇡1de ,
1`2. On construit alors la preuve ⇡comme suit :
⇡1
,
1`2(!I)
`1!2
5. =
1, 1^ 2. Dans ce cas |=entraine que 1, 1, 2|=.Orw(`
)=2+w(1,
1, 2`). Il existe donc, par hypoth`ese de r´ecurrence,
une preuve ⇡1de 1,
1, 2`. D’apr`es le lemme 2.7.3, il existe donc une
preuve de 1,
1^ 2`.

34
6. =
1, 1_ 2. Dans ce cas |=entraine que 1, 1|=et 1, 2|=.
w(1,
1_ 2`)=2+w(1, 1`)=2+w(1, 2`). Par hypoth`ese
de r´ecurrence, il existe donc des preuves ⇡1,⇡
2de 1, 1`et 1, 2`
respectivement. On construit alors la preuve :
(Ax)
1,
1_ 2` 1_ 2
⇡1
1,
1`(Aff)
1,
1_ 2, 1`
⇡2
1,
2`(Aff)
1,
1_ 2, 2`(_E)
1,
1_ 2`
7. =
1,¬ 1et est un litt´eral et 1/2P. Soit le litt´eral compl´ementaire
de (¬si 2Pet Psi =¬Pavec P2P).
|=entraine 1,|= 1. De plus w(1,` 1)=w(`)1 puisque
w()=w() = 0. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe donc une preuve
⇡0de 1,` 1.
⇡0
1,` 1Aff
1,,¬ 1` 1
Ax
1,,¬ 1`¬ 1¬E
1,,¬ 1`? R
1,¬ 1`
o`u Rest Abs si 2Pet ¬Isinon.
8. =
1, 1! 2. Dans ce cas, |=entraine que 1,¬ 1|=et
1,
2|=.Orw(1, 1! 2`)=1+w(1,¬ 1`)=2+w(1, 2`
¬). Donc, par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe des preuves ⇡1,⇡
2de
1,¬ 1`et 1,
2`respectivement. On construit alors une preuve
⇡3de 1,
1! 2,¬` 2:
(Ax)
1,
1! 2,¬` 1! 2
⇡1
1,¬ 1`(Aff)
1,
1! 2,¬,¬ 1`(Ax)
1,
1! 2,¬,¬ 1`¬(¬E)
1,
1! 2,¬,¬ 2`? (abs)
1,
1! 2,¬` 1!E
1,
2! 2,¬` 2
puis une preuve ⇡4de 1,
1! 2,¬`¬ 2:
⇡2
1,
2`(Aff)
1,
2, 1! 2,¬`(Ax)
1,
2, 1! 2,¬`¬(¬E)
1,
1! 2,¬, 2`? (¬I)
1,
1! 2,¬`¬ 2

2.7. D ´ EDUCTION NATURELLE 35
Et enfin, en combinant ⇡3,⇡
4:
⇡4
1,
1! 2,¬`¬ 2
⇡3
1,
1! 2,¬` 2¬E
1,
1! 2,¬`? (abs)
1,
1! 2`
Il est possible qu’il y ait une preuve plus simple...
2
Exercice 50 (5)
1. Montrer que, si l’on retire la r`egle d’a↵aiblissement `a NK,lesyst`emede
d´eduction reste complet.
2. Montrer que, si l’on retire les r`egles d’introduction de _`a NK,lesyst`eme
de d´eduction n’est plus complet.

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2.7.4 D´eduction naturelle intuitioniste
Les r`egles de d´eduction de NJ0sont obtenues en retirant la r`egle (abs) aux
r`egles de NK0et en ajoutant la r`egle
`?
`
On te peut pas prouver le tiers exclu dans NJ0. Ce r´esultat n’est pas si
facile `a montrer. On peut ou bien utiliser une forme normale de preuve dans
NJ0(et NK0) qui revient `a d´emontrer un r´esultat d’´elimination des coupures,
ou bien passer par la s´emantique : donner une s´emantique pour laquelle NJ0est
correct et complet et donner un contre-mod`ele. C’est ce qui est propos´e dans
l’exercice suivant.
Exercice 51 (4)
On veut d´emontrer qu’on ne peut pas d´emontrer `P_¬Pdans NJ0. Pour
cela, on consid`ere l’interpr´etation des formules dans l’ensemble des ouverts de
R(pour la topologie usuelle), d´efinie comme suit (il s’agit d’une alg`ebre de
Heyting)
–Iest une interpr´etation des variables propositionnelles comme des ouverts
de R
–I(?)=;et I(>)=R
–I(^ )=I()\I( )
–I(_ )=I()[I( )
–I(¬)estl’int´erieurdeR\I()
–I(! )estl’int´erieurde(R\I()) [I( )
Un jugement `est valide dans cette alg`ebre si, pour toute interpr´etation
I,T 2I( )✓I()
1. Montrer que le tiers exclu `P_¬Pn’est pas valide.
2. Montrer que tout jugement prouvable est valide.
Definition 2.7.1 Une structure de Kripke est un ensemble K,munid’une
relation r´eflexive et transitive et d’une application IKde Pdans les sous-
ensembles de Ktelle que, si ↵2I(P)et ↵,alors2I(P).
´
Etant donn´ee une interpr´etation, on d´efinit alors la notion de satisfaction,
appel´ee r´ealisabilit´e dans ce contexte, qui relie les ´el´ements de Kaux formules
de F0(P)0comme suit :
– pour tout ↵2K,↵>et ↵6?
–↵Pssi ↵2IK(P)
–↵^ ssi ↵et ↵
–↵_ ssi ↵ou ↵
–↵! ssi, pour tout 2Ktel que ↵,si, alors  .
–↵¬ssi, pour tout ↵,6.
Cette notion de satisfaction est donc relative `a “un monde ↵” ou “un instant
↵”.
K|=si, pour tout ↵2K,↵.

2.7. D ´ EDUCTION NATURELLE 37
u @
@
@
@
@
@
uu
↵:P
:P, Q :P
Figure 2.10 – Un exemple de structure de Kripke
Exemple 2.7.2 On consid`ere la structure de Kripke de la figure 2.10.
Kcontient trois ´el´ements ↵,,et ↵,↵(mais et sont incom-
parables). IK(P)={↵,,}et IK(Q)={}.
↵Pet, en fait, K|=P.¬Q, mais ↵6¬Qpuisqu’il existe ↵tel
que Q2IK().
Lorsque Kn’a qu’un ´el´ement, on retrouve la notion de satisfaction classique :
I(P) est ou bien plein ou bien vide et la notion de satisfaction est celle qui
correspond au singleton ↵de la structure.
Si est un ensemble de formules et est une formule, on note si,
pour toute structure de Kripke Ket pour tout ↵2K,↵entraine ↵.
Exercice 52 (2)
Montrer que, si ↵, alors, pour tout ↵,
Proposition 2.7.2 Les r`egles de NJ0sont correctes : si Ksatisfait les pr´emisses
d’une r`egle, elle en satisfait les conclusions.
Exercice 53 (3)
Prouver la proposition pr´ec´edente.
Exercice 54 (4)
Montrer qu’on n’a pas P_¬P
Exercice 55 (4)
Montrer que les jugements suivants ne sont pas prouvables en NJ0:
–`P_¬P
–¬¬P`P
–`(P!Q)_(Q!P)
On admet le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 2.7.2 (Compl´etude) Si ,alors`est prouvable dans
NJ0.
Exercice 56
Parmi les jugements suivants, dire ceux qui sont prouvables. Justifier.