TD3 - Ibisc

TD 3 de Logique
L2 Info 2016-2017
Logique Propositionnelle : Formes Normales
Exercice 1
1. Mettez en f.n.n. la formule :
¬(p → ((¬¬q ∨ r) → s))
2. Mettez en forme normale conjonctive et disjonctive les formules suivantes :
(a) ((¬p ∨ q) ∨ r) → (r ∨ r)
(b) p → ((¬q ∨ r) → s)
(c) (p ↔ q) ∧ (¬(p → q) ∨ ¬(q → p))
Indications : D’abord “traduire” les connecteurs → et ↔ afin d’obtenir
des formules dont les seuls connecteurs sont ¬, ∨ et ∧.
Puis exploiter la loi de double négation, les lois de De Morgan et les lois
de distributivité.
Exercice 2
1. Est-il possible d’avoir une formule qui soit simultanément en forme normale conjonctive et disjonctive ?
Justifiez votre réponse.
2. Etant donnée une formule A, est-ce vrai que toutes ses formes normales
conjonctives ont le même nombre de clauses ?
Est-ce vrai si on ne permet pas de répétitions de clauses dans une forme
normale conjonctive ?
Exercice 3
1. Démontrez que toute formule A admet une forme normale conjonctive A1
et une forme normale disjonctive A2 en faisant une preuve par récurrence
structurelle sur les formules.
On prendra comme comme hypothèse de récurrence :
Si B a été engendrée à partir des formules atomiques en appliquant au maximum n fois le procédé de l’étape de récurrence de
la définition récursive de formule, alors il existe une formule B1 en
f.n.c. telle que B ≡ B1 et il existe une formule B2 en f.n.d. telle
que B ≡ B2 .
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Dans le pas de récurrence, on utilisera les lois de double négation, de De
Morgan et de distributivité.
2. Extrayez de cette preuve un programme récursif qui prend en entrée une
formule quelconque A dont les connecteurs sont ¬, ∨, ∧ et qui calcule
une f.n.c. et une f.n.d. de A.
Logique Propositionnelle : Système de preuve des
Tableaux
Les deux théorèmes suivants sont valables pour les tableaux (E est un ensemble de formules en f.n.n.) :
1. S’il existe un tableau T pour E tel que T est une réfutation de E, alors
E est bien insatisfiable. (Soundness des tableaux par rapport à
l’insatisfiabilité).
2. Si E est insatisfiable, alors il existe bien un tableau T pour E qui
est une réfutation de E (n’importe quel tableau pour T donnera lieu
à une réfutation de E, si ses branches sont suffisament developpées)
(Complétude des tableaux par rapport à l’insatisfiabilité).
Dans les exercices de cette feuille, on pourra utiliser ces résultats à chaque
fois que c’est utile, sans avoir besoin de les démontrer.
Exercice 4
Pour chacun des ensembles de formules en f.n.n. suivants, déterminer s’il est
satisfiable ou non.
S’il est satisfiable, indiquer le branches complètes et ouvertes de votre tableaux, et les modèles de l’ensemble de formules racine que ces branches décrivent.
1. {(¬p ∨ q) ∧ r, (q ∧ ¬p) ∧ s}
2. {((p ∧ ¬q) ∨ (s ∧ ¬m)) ∨ ((¬p ∧ ¬s) ∨ q)}
3. {(¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)}
Exercice 5
Rappel : Une formule A est prouvable par les tableaux quand il existe une
formule A0 telle que :
1. A0 ≡ ¬A
2. les seuls connecteurs de A0 sont ¬, ∧, ∨ et A0 ne contient pas ⊥, >
3. A0 est en f.n.n.
4. il existe une réfutation de A0 .
On remarque, étant donné A, que l’on peut toujours trouver une formule A0
ayant les trois premières propriétés ci-dessus.
Utiliser la méthode des tableaux pour prouver la validité de la formule suivante
(faire d’abord les transformations nécessaires) :
((p → q) ∧ (r → q)) → ((p ∨ r) → q)
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Exercice 6
1. Construire jusqu’au but (toutes les branches doivent être complètes) un
tableau de racine {A}, où A est la formule :
((p ∨ (q ∨ r)) ∨ ¬p)
Votre tableau contient-il des branches ouvertes ? Si oui, combien ?
Est-il vrai que la formule A a des modèles ? Si oui, combien, et quelle
relation a-t-on entre ces modèles et les branches de votre tableau ?
2. Soit une formule de la forme :
p1 ∨ (p2 ∨ · · · ∨ (pn−1 ∨ pn )...)
pour n ≥ 1 et si i 6= j alors pi et pj sont deux lettres propositionnelles
distinctes.
Combien d’interprétations possibles (en fonction de n) a cette formule ?
Combien de modèles ?
Construisez maintenant un tableau T pour {A} dont toutes les branches
sont complètes. Combien de branches (en fonction de n) a votre tableau ?
Combien de branche ouvertes ? Quelle est la relation entre les modèles
de A et les branches de votre tableau ?
Exercice 7
Soit T un tableau de racine Γ, où Γ est un ensemble de formules et soit B
une branche de T (partant de la racine) complète et ouverte.
Cette branche étant forcement finie, soit f sa feuille. Soit IB une interprétation
telle que, pour toute lettre propositionnelle p, IB (p) = V si p est un élément
de l’ensemble de littéraux f , IB (p) = F si ¬p est un élément de cet ensemble,
et la valeur de IB (p) est quelconque sinon. Démontrer que si Γ0 est un noeud
quelconque de B, et A ∈ Γ, alors IB est un modèle de A, par récurrence sur A.
Donc, en particulier, IB est un modèle de Γ.
Cette preuve fournit une argumentation permettant de conclure que le système
des tableaux est complet pour le cas des ensemble finis de formules (c.à.d. que
tout ensemble fini et insatisfiable a une réfutation) ; pourquoi ?
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