TD3 - Ibisc

TD 3 de Logique
L2 Info 2016-2017
Logique Propositionnelle : Formes Normales
Exercice 1
1. Mettez en f.n.n. la formule :
¬(p→((¬¬q∨r)→s))
2. Mettez en forme normale conjonctive et disjonctive les formules sui-
vantes :
(a) ((¬p∨q)∨r)→(r∨r)
(b) p→((¬q∨r)→s)
(c) (p↔q)∧(¬(p→q)∨ ¬(q→p))
Indications : D’abord “traduire” les connecteurs →et ↔afin d’obtenir
des formules dont les seuls connecteurs sont ¬,∨et ∧.
Puis exploiter la loi de double n´egation, les lois de De Morgan et les lois
de distributivit´e.
Exercice 2
1. Est-il possible d’avoir une formule qui soit simultan´ement en forme nor-
male conjonctive et disjonctive ?
Justifiez votre r´eponse.
2. Etant donn´ee une formule A, est-ce vrai que toutes ses formes normales
conjonctives ont le mˆeme nombre de clauses ?
Est-ce vrai si on ne permet pas de r´ep´etitions de clauses dans une forme
normale conjonctive ?
Exercice 3
1. D´emontrez que toute formule Aadmet une forme normale conjonctive A1
et une forme normale disjonctive A2en faisant une preuve par r´ecurrence
structurelle sur les formules.
On prendra comme comme hypoth`ese de r´ecurrence :
Si Ba ´et´e engendr´ee `a partir des formules atomiques en appli-
quant au maximum nfois le proc´ed´e de l’´etape de r´ecurrence de
la d´efinition r´ecursive de formule, alors il existe une formule B1en
f.n.c. telle que B≡B1et il existe une formule B2en f.n.d. telle
que B≡B2.
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Dans le pas de r´ecurrence, on utilisera les lois de double n´egation, de De
Morgan et de distributivit´e.
2. Extrayez de cette preuve un programme r´ecursif qui prend en entr´ee une
formule quelconque Adont les connecteurs sont ¬,∨,∧et qui calcule
une f.n.c. et une f.n.d. de A.
Logique Propositionnelle : Syst`eme de preuve des
Tableaux
Les deux th´eor`emes suivants sont valables pour les tableaux (Eest un en-
semble de formules en f.n.n.) :
1. S’il existe un tableau Tpour Etel que Test une r´efutation de E, alors
Eest bien insatisfiable. (Soundness des tableaux par rapport `a
l’insatisfiabilit´e).
2. Si Eest insatisfiable, alors il existe bien un tableau Tpour Equi
est une r´efutation de E(n’importe quel tableau pour Tdonnera lieu
`a une r´efutation de E, si ses branches sont suffisament developp´ees)
(Compl´etude des tableaux par rapport `a l’insatisfiabilit´e).
Dans les exercices de cette feuille, on pourra utiliser ces r´esultats `a chaque
fois que c’est utile, sans avoir besoin de les d´emontrer.
Exercice 4
Pour chacun des ensembles de formules en f.n.n. suivants, d´eterminer s’il est
satisfiable ou non.
S’il est satisfiable, indiquer le branches compl`etes et ouvertes de votre ta-
bleaux, et les mod`eles de l’ensemble de formules racine que ces branches d´ecrivent.
1. {(¬p∨q)∧r, (q∧ ¬p)∧s}
2. {((p∧ ¬q)∨(s∧ ¬m)) ∨((¬p∧ ¬s)∨q)}
3. {(¬p∨q)∧(p∧ ¬q)}
Exercice 5
Rappel : Une formule Aest prouvable par les tableaux quand il existe une
formule A0telle que :
1. A0≡ ¬A
2. les seuls connecteurs de A0sont ¬,∧,∨et A0ne contient pas ⊥,>
3. A0est en f.n.n.
4. il existe une r´efutation de A0.
On remarque, ´etant donn´e A, que l’on peut toujours trouver une formule A0
ayant les trois premi`eres propri´et´es ci-dessus.
Utiliser la m´ethode des tableaux pour prouver la validit´e de la formule suivante
(faire d’abord les transformations n´ecessaires) :
((p→q)∧(r→q)) →((p∨r)→q)
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Exercice 6
1. Construire jusqu’au but (toutes les branches doivent ˆetre compl`etes) un
tableau de racine {A}, o`u Aest la formule :
((p∨(q∨r)) ∨ ¬p)
Votre tableau contient-il des branches ouvertes ? Si oui, combien ?
Est-il vrai que la formule Aa des mod`eles ? Si oui, combien, et quelle
relation a-t-on entre ces mod`eles et les branches de votre tableau ?
2. Soit une formule de la forme :
p1∨(p2∨ · · · ∨ (pn−1∨pn)...)
pour n≥1 et si i6=jalors piet pjsont deux lettres propositionnelles
distinctes.
Combien d’interpr´etations possibles (en fonction de n) a cette formule ?
Combien de mod`eles ?
Construisez maintenant un tableau Tpour {A}dont toutes les branches
sont compl`etes. Combien de branches (en fonction de n) a votre tableau ?
Combien de branche ouvertes ? Quelle est la relation entre les mod`eles
de Aet les branches de votre tableau ?
Exercice 7
Soit Tun tableau de racine Γ, o`u Γ est un ensemble de formules et soit B
une branche de T(partant de la racine) compl`ete et ouverte.
Cette branche ´etant forcement finie, soit fsa feuille. Soit IBune interpr´etation
telle que, pour toute lettre propositionnelle p,IB(p) = Vsi pest un ´el´ement
de l’ensemble de litt´eraux f,IB(p) = Fsi ¬pest un ´el´ement de cet ensemble,
et la valeur de IB(p) est quelconque sinon. D´emontrer que si Γ0est un noeud
quelconque de B, et A∈Γ, alors IBest un mod`ele de A, par r´ecurrence sur A.
Donc, en particulier, IBest un mod`ele de Γ.
Cette preuve fournit une argumentation permettant de conclure que le syst`eme
des tableaux est complet pour le cas des ensemble finis de formules (c.`a.d. que
tout ensemble fini et insatisfiable a une r´efutation) ; pourquoi ?
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