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-r---· ·~~----------------------------------------------------------......----------------------------------------------------------------~
:r
1'm/1;1/iilit1"1·111Hiitiowwlle
8.
Exe!'«Î<'t ·:-;
ll11 cl<'· c·st pip(: de telle sorte que la probabilité d'obtenir un nombre
c·st proportiormcllc à cc 11ombre (par exemple la probabilité d'obtenir
li vaut. G fois la probabilité d'obtenir 1). On le jette une fois. Quelle est
la probabilité d'obtenir
13. a) Montrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors A
et B le sont aussi.
b) Montrer que si deux événements non vides sont incompatibles, alors
ils sont dépendants.
a) im 5, sachant que le nombre obtenu est impair'?
14. On choisit au hasard une famille de n enfants et on considère les événements suivants A : "il y a au plus une fille" et B : "il y a des enfants
des deux sexes". Étudier si ces évfarnments sont indépendants dans les
cas suivants :
a) n = 2
b) n = 3
c) n = 4
d) 71 quelconque
b) un nombre pair, sachant que le nombre obtenu est plus grand ou
égal à :3 '?
c) un 3, sachant que ni le 1 ni le 2 n'ont été obtenus'?
9.
'I
On jette un dé une fois. Les évh1cmcnts "obtenir un nombre pair'' et
"obtenir un nombre strictement supérieur à quatre" sont-ils indépendants si le dé
15. Dans une ville, 40 % de la population a les cheveux bruns, 25 % les
yeux marron et 15 % ces deux caractéristiques simultanément. On y
choisit. une perso11ne au hasard.
a) n'est pas pipé?
b) est pipé de telle sorte que la probabilité d'obtenir un nombre est
proportionnelle à ce nombre ?
7tb.
'/)!? ~?
I
/t,
pJfJM' (..,
\t(
:":-...
l/,,,
I
o/
tJ
a) Cette personne a les yeux marron. Calculer la probabilité que ses
cheveux ne soient pas bruns.
b) Calculer la probabilit(~ qu'elle n'ait ni les yeux marron ni les cheveux
bruns.
Dans une région où il pleut en moyenne un jour sur 5, le Club de Rugby
des Montagnes gagne 7 fois sur 10 par temps sec et 4 fois sur 10 sous
la pluie. Quelle est la probabilité qu'il ait plu un jour où cette équipe
a gagné?
fi.
Une personne qui a été attaquée de nuit dans la rue dit que sou agresseur était noir. Or il est établi que dans de telles circonstances la vic:Y~ time détermine correctement la couleur de son agresseur 8 fois sur 10.
._ De plus la région contient 90 % de blancs et 10 % de noirs et le taux
~o
de criminalité est le même quelle que soit la couleur de la peau. Quelle
est la probabilitè qiie_t'agresseur soit dTect.ivement une personne de
couleur ?
~' • ~I .-. lf11·lfit f. ~•• ~
.
.
.
12. Une urne contient 6 t)oules, (font une nmre. On tire successivement et
sans remise des boules de cette urne dans le but d'obtenir la boule
noire. Si elle sort, on gagne et le jeu s'arrête. La règle du jeu interdit
d'effectuer plus cle 4 tirages.
l
16. Un type de missile atteint sa cible avec une probabilité de 0, 75. Combien faut-il en lancer pour avoir une probabilité supérieure à 0,999
d'atteindre la cible au moins une fois?
Î
X
r;
~f)~~
lb
%-JJ
17. Dans un village de 150 habitants. 100 ont (~t(> vaccinés contre la grippe.
Lors d'une épidémie, on constate que 10 personnes ont été malades
alors qu'elles avaient été vaccinées et que 10 autres out aussi Nô malades alors qu'elles n'avaient pas été vaccinées.
a) Calculer la probabilité qu'une personne vaccinée attrapp<~ la grippe.
b) Calculer la probabilité qu'un habitant de ce village al.trappe la
grippe.
c) Calculer la probabilité qu'une personne ait été vaccinfr si clic a la
grippe.
18. Trois machines A, B et C produisent respcct.iverne11t. 50 (;;,, :m % et
20 % des pièces d'une usine. Chacune de ces rnachi1l<'s f'abriq1w I«'Spectivement 3 %, 4 % et 5 % de pièces dNect1wns<'S. 011 tin· au hasard
une pÎ<~ce fabriquée par cette usine : cil<' <~st dd<'dm•nsc·. (~a](']ti<·r la
probabilit(~ que cette pièce ait ét(~ produit<' par la 111ad1i11c· Il.
a) Quelle est la probabilité de gagner?
b) Si on gagne, quelle est la probabilité qu ïl ait fallu procéder aux 4
tirages?
c) Mêmes questions si l'on procède avec remise.
19. Dans une école, 4 % des garçons d 1 % des fillc:s 11ws11n•11t. plus de
175 cm. Il y a 60% de filles dans ('d.tc- frol<'. 011 y d1oisit 1111 (:l<'vc au
hasard: il mesure 178 cnt. Cal(']ii<·r la prol>:1l>i!it{· q1w «<'soit. une fille.
56
1
57
....,,
1f
3. Pmli:1/1ilil<"• co11ditionnC'lll'
20. a) 011 .id k 1111 d<~
111oi11s Jill six?
(j
l~Xl'/'t'Îr·r'."
fois cle suite. Quelle est la probahiliU'
d'obtc~nir
au
est estimée à 0,50 (la probabilité de rater la cible est donc estirnc'·1·
0,25).
h) Cornbien de fois faut-il jeter un dé pour avoir plus de 9 chances sur
1() d'obtenir au moins un six?
;'1
a) Quelle est la probabilité de rfa1ssir le test?
h) Si cette personne réussit le test, quelle est la probabilité qu'une
seule fléchette ait atteint la cible'?
21. Lors d'un contrôle de routine, lP sang de Ouin-Ouin a été analysé.
LP laboratoire lui apprend que le rÉ's11ltat du test, fiable à 99 %, s'est
r(~v(~)(~ positif. Il a pens(~ qu'il avait probablement contracté une maladie
rare qui ne frappe qu'un individu sur mille. Ouin-Ouin rentre à la
maison dhnoralis('. Lorsqu'il raconte l'histoire à 1\1. MilliqucL celui-ci
le rassure en prütendant que ce n'est pas si grave, puisque, d'apn's ses
calculs, Ouin-Ouin aurait en réalité moins d'une chance sur dix d 'f,tre
effectivement atteint par la maladie.
M. Milliquet a-t-il raison?
c) Trois personnes pour lesquelles on estime les probabilités comme
pour celle ci-dessus se présentent au test. Quelle est la probabilité
1) qu'aucune d'entre clics ne le réussisse?
2) qu'au moins l'une d'entre elles ne le réussisse pas'?
25. Un inspecteur chargé d'une enquC~te criminelle est convaincu à fî0% de
la culpabilité d'un suspect. A cc stade de l'enquête, ou découvre que
le criminel cherché est gaucher. Le suspect l'est aussi, comme 20 % d('
la population. Cela renforcc-t-il sensiblement la conviction de l'inspecteur?
22. On jette un dé 8 fois. Quelle est la probabilitl' d'obtenir
a) exacU:mnit 2 fois le nombre G?
lndication : on admet que la probabilité qu'un individu soit gaucher si
on sait qu'il est non coupable est également de 20 %.
b) exactement 4 nombres pairs?
c) moins de ;3 fois le nombre 6?
i
23. a) Chez un marchand de fruits, un avocat sur 10 en moyenne est pourri.
Une cliente en achète 10.
1) Calculer la probabilité qu'elle ait au moins un avocat pourri.
2) Calculer la probabilité qu'elle ait exactement un avocat pourri.
b) 1) S'il y a en moyenne un avocat pourri sur net qu'elle en achète n,
calculer la prohahiliU: qu'elle ait exactement un avocat pourri.
2) Calculer la limite quand n tend vers l'infini de cette probabilité.
c) Les avocats de ce marchand proviennent de trois pays A, B et C
à raison de respectivement 50 %, :m % et 20 %. Il constate que 1 %
des avocats fournis par le pays A sont pourris, 5 % pour D et 10 %
pour C. Une cliente achète un avocat.
1) Calculer la
prohahilit(~
qu'il soit pourri.
2) Il est pourri. Calculer la probabilité qu'il provienne du pays A.
24. Lors d'un test d'adresse, on dispose de 3 fléchettes que l'on doit lancer
en direction d'une cible. On réussit le test (et on arrête dt~ lancer) dès
qu'une fiéchette a atteint le centre de la cible ou que deux fiéchettes
ont atteint la cible. Une personne se pr(~sentc au test. Pour celle-ci, on
estime la probabilité d'atteindre le centre de la cible avec une fléchette
à 0,25 alors que la probabilité d'atteindre la cible ailleurs qu'au centre
!)8
1
li
26. On considère trois cartes. Les deux faces de la première ont ôt(~ coloriées
en noir, les deux faces de la deuxifane en rouge et la troisième a une
face noire et une rouge. On rnflange ces trois cartes dans un chapeau
et on en tire une qu'on pose sur la table. La face apparente est rouge.
Calculer la probabilité que l'autre face soit noire.
\
27. Le jeu de la boule noire se joue à deux. Avant chaque partie, 011 place
dans une urne 5 boules blanches et deux boules noires. Les journ1rs
tirent alors alternativement une boule de l'urne, jusqu'à cc qu(' l'un des
deux tire une houle noire. Ce joueur perd la partie et le jeu s'arrf~t.<'.
Une partie peut se jouer avec ou sans remise.
Paul et Jeanne décident de jouer au jeu de la boule noire. Paul dl«·duc
le premier tirage.
a) On suppose qu'ils jouent sans remise.
1) Quelle probabilité chaque
jouc~ur
a-t-il de gagn('r la part.il' ·1
2) Si Paul perd, quelle est la probabilitî' que cc soit. <l so11 t roisi(·11w
tirage?
b) On suppose qu'ils jouent avec remise.
Trouver la plus petite valeur d(' 11 pom laq1l<'ll1· J;i prohahilit<" d<·
voir la partie se terminer <'Il /1 t.irag<'S 011 111oi11s <'st pl11s gra11d<' q11l'
0,99.
.')!)
.....,,.
1f
3. l'ml in 11i Ii1(• l'o11di Uonnelle
Réponses aux exercices <111 d1n.pit ,.,. .ï
3.5
28. 1)a11s 111t<· urne, il y a des boules blanches et des boules noires :· 10 au
t.otal. Combien y a-t-il de boules blanches si l'on sait que, lorsqu'on
tin• successivement 3 boules de cette urne, la probabilitü d'obtenir au
moins une boule blanche vaut
a) 0,657 et que l'on tire avec remise
b)
5
6
1.
Réponses aux exercices du chapitre 3
a) ~
,)
1
b) 6
2
c) TT
et que l'on tire sans remise
29. Réaliser l'arbre des possibilités du jeu des trois coffrets (voir page 52).
102
2.
:î25
3.
a)
2
5
b) 1~
1
c) TT
1
·4
d) ~
14
4.
5G
5.
0,95
6.
a) 5
2
2
b) 3
c)
?o
7.
5,
2
~
8.
a)
S
:3
b) "[)
c)
9.
t
a) oui
b) non
10.
k
11.
1:3
12. a) ~
b)
c
)
i
671 . 125
1297 ' 671
14. a) d(~pendants b) indépendants
d) dépendants sauf pour n = ;3
c) d(~pPrnlant s
15. a) 52
60
61
...!
..,,,
_,..-
~
3. Pm/1n/1ifili'• nm<iitiomwllc
li)
Réponses aux exercices <111 d1n11il ,.,, .ï
29. L'arbre est le suivant
'..!
1
-
:~
Le cadca u est e11
1
17. a) Til
1
A
1
1
l
3
B
;)
1
~
~c,
.3
(}
1
Le joueur choisit
L'animateur ouvre
18. 41 %
Le jommr ouvre
3
19. îî
20. a) 0,665
Gain ou perte
1:)
21. Milliquet, car la probahilitô d'être malade sachant que le test est positif
vaut 0,0902
.
b) 0,27:3
1
A
B
A
B
A
3
® © © © ® ®
On observe qu'il y a le même nombre de configurations perdant.es que
de configurations gagnantes. Cependant, en calculant les prohabilitüs
de chaque branche. on obtient :
p(gam)
22. a) 0,260
c
YIN
B
c
~/\~ li 11 li ~/\~ li 11 li 11\~
B c c B c A c A I3 A A B
1I il i I il il il il il il il il iI
c B A A lJ C' A B c c B A
il il il il il il il 11 il 11 il 11
® ® © © © ®
,)
2
1,) "'
1
c:) 2
b)
1
-
m. r,
= 6, ( -1 · -1
3
3
·1·1·
i) = -3'2
tandis que
c) 0,865
23. 1)
p(perte)
b) 0,387
a) O,fi51
2)
a)(l-_l_)n-1
n
:~)
a) 0,04
= 6 ( 1 · l · 1 · 1 · 1) = 1 .
3 3 2
3
b) ~
b) ~
24. a) ~~
b) l~J
c) 0,0013; 0,2935
25. oui, la probabilité augmente à 88 %
1
26. 3
27. a) 1) ~; ~
2)
t
b) 14
28. a) 3
b) 4
62
L\
~­
' - ::
fi:~
...,,.---
-1
1lf
4. Variable aléatoire
discrète
4.1
Définitions et exemples
Il arrive souvent qu'à propos d'une épreuve, ou soit amené à attribuer des
valeurs numériques à ses issues.
Considérons uu univers U associé à une épreuve. Une variable aléatoire
est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue.
Si l'ensemble des valeurs de cette fonction est fini ou dénombrable, ou dit
que cette variable aléatoire est discrète.
On note X une variable aléatoire discrète et x 1 , :c 2 ,
qu'elle prend.
... ,
:z:;, ... les valeurs
Exemple 1. Lors du jet d'un dé, on associe souvent les nombres 1, 2, 3,
4, .5, 6 a11x issues correspondantes de l'épre11ve.
l'\1ais ce n'est pas le seul choix possible. S11pposons que, lors d11 jet de ce
dé, on gagne 5 francs lorsque 6 apparaît et q11 'on perde un franc dans
tous les autres cas. Il est alors naturel d'associer la valeur -1 aux iss11cs
"obtenir l", "obtenir 2'', "obtenir 3", "obtenir 4" et "obtenir 5" et la valc11r
5 à l'issue "obtenir 6". La question ''Q11clle est la probabilité de perdre
un franc?" peut alors étrc remplacée par "Quelle est la probabilité que fa
variable aléatoire X prenne la valeur -1 ?"
On peut ainsi écrire P(perdrc un franc) = P(X = -1) =
~
Exemple 2. On lance une pièce de monrn1ic trois fois de suite d 011
s'intéresse au nombre de fois que "pile" appar;iJt. J,a varia/il<' a/(•;üoirc
X, qui décrit le nombre de fois que pile apparaît,, pr<'11d s<'s v11/<'11rs da11s
l'ensemble {O; 1; 2; :3} et
64
;)
011
a P(X = 1) = - .
8
()[)
-'
...,,,.
~
4. Vnrinl>i<· nl<'•atoirc discrète
Espérance
4.2
Ex<mtple 3. On lance 1rn dé J11squ 'à ce que le nombre G apparaisse et
on s 'inl<'rcssc au nombre de jels nécessaires. La variable aléatoire X, qui
i11<li<1w· le nmnbre de jets à effecluer, associée 1l cette épreuve prend ses
v;i/c11n.; dans l'ensemble { 1 ; 2; 3; ... } = N*.
5
On a par exemple P(X = 2) = :Hi
Espérance ou moyenne
Exemple. Cent viugt. élèves se sont présentés à un examen de 111atl1l>mntiques. Les rô.;ultat.s enregistrés sont les s11ivants :
notes :r,
Toutes les variables aléatoires ne sont pas discrütcs. Si on s'intèresse par
exemple au temps nécessaire pour courir un kilomètre, la variable aléatoire
associée peut. prendre toutes les valeurs réelles positives. On parle alors de
variable ak~atoire continue (voir chapitre suivant).
Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
p.,
l
1
6
2
1
-
6
:3
l
()
1
5
-
()
()
66
f;
()6
-1
5
p;
5
6
6
--
120
n, est appc /'c 1a fJrequence
'
rl e 1a Ilote :r,.
120
l .2
+
10 ' :J
+ :31
.4
+ (j(i ' 5 +
12 . 6
120
Cc tableau peut être v11 comme
6
(i
Hile
loi de probabilit.é puisque
Lf,
= 1
et
1
les fréquences considérées comme des probabilités. On les nolcra p,. 011 a
alors
~'"~
fi
p,
;3
,,
1
4
5
:
G
·----
120
10
31
fiG
120
120
120
12
120
L'exemple ci-dessus induit la définition suivautc.
Soit X une variable alôatoiw discrète prenant les val<·urs :r 1 • :r 2 • ...• :i:,, ...
avec: les probahiliks ]11. JJ2, .... p.;, ...
On appelle moyenne ou espérance mathén1atique de X le uornbre
E(X) défini par
l
1
66
120
I'our calculer cet.le moyenne, on peut. rrrnlt.iplier chaque note pa.r sn fiI·q1wncc et en faire la somme. On a donc /L = Lf,x,.
Si on gagne 5 francs OH q11c 1'on perd w1 franc suivant que 6 apparaisse
011 non, Je tableau de la di.~trilrntion du gain devient
.ri
12
12
120
:n
;31
120
= 4.65
1
-
(i
Hl
120
10
31
fi()
12
120. 2 + 120. :J + 120. 4 + 120. 5 + T.:ffi.
pe11t donner la loi de probabilité
4
5
JO
/I =
On appelle loi de probabilité ou distribution de la variable aléatoire X
l'ensemble de tous les couples (:ri;JJ;).
Xi
4
Oll peut calculcr la moyenne I'· de l'examen de la rnanil)re Sllivant.c :
Soit une variable alôatoirc discrète prenant les valeurs :1;1, :r;2, ... , ~r;, ... .
Les probabilités associées à ces valeurs sont les nombres JJ1, JJ2, ... , p.;, .. .
avec Pi = P(X = :r.;). On a LPi = l.
011
;)
2
no111bre d '(•lèves n,
L e rapport )'1
Exemple. Si on lance une fois un dé,
sous la forme d'un tableau
u11 11wr1·11111·
~(X)~ ~~,-J:;
1
L'espfaance est aussi not (~e Jl.
()7
.,,.--
•
4. Varii1/1l<' i!lhi.toire discrète
Variance cl rrnrl ly p1 ·
Exemple. 011 lance un d(, une fois. La variable aléatoire associée au
1w111/Jrc de points obtenus a pour espérance :
Le calcul de la moyenne de ces écarts donne Cl car les écarts négaU!s
sont exactement compensés par les écarts positifs, ce qui n 'arm!ne 1111c1rn
renseignement sur la dispersion. On choisit de calculer le carré des écarts
2
à la moyenne (X - 11) . On obtient alors les distributions suivantes :
1 2 ·-+3·-+
1
' 1
4 ·-+,)·-+
1
c
1
6 ·1
]'(
oX') =l·-+
6
6
fi
6
6
6
21
7
=-=-=35
6
2
'
- /lX
p;
Remarque
49
lG
9
100
)21121
lG
1
1
100
9
lG
14
100
1
16
25
16
66
100
100
-
(y; -
JlY )
2
1()
-
9
16
36
100
q,
1
lG
53
100
25
lG
11
JO()
Calculons nwintenant la moyenne de ces nouvelles variables aléatoires :
En général, l'espérance ne représente pas la valeur la plus probable lors de la
réalisation de l'épreuve, mais seulement la moyenne probable des résultats
après un grand nombre de réalisations.
4.3
121 . _1_
19 . ~
~. _.!:..±_
_l_. ~
16 100 + lG 100 + 16 100 + 16 100
25
10
+ lG. 100
1004
=
= () 6275
2 _
E X_
[(
µx) ] -
Variance et écart type
lfj()O
Exemple. Considérons les résultats de deux examens donnés par les tableaux suivants :
,~I ~···
1
100
p;
,
4
14
100
9
100
-
fi
y;
10
100
q;
5
66
100
-
-
4
5
6
3G
100
53
100
100
-
f
'
'""""'
~p;:r;
=
=
2·
1 + 3' ·
lOO
9
lQ()
36
/Ly = Lq;y; = 4. 100 +
f).
p;
68
l
100
9
100
14
100
66 10
100 100
y; q;
100
Ces nombres sont une mesure de la dispersion des notes a11to11r de fa
moyenne. On voit que les notes du deuxième examen sont globalcmc11t
plus proches de la moyenne.
Soit X une variable aléatoire discrète de rnoyermc ;1, prena!lt ks vak11rs
x1, 1:2, ... , :r;, ... avec les probabilités P1, P2, .. . , p,, ...
On appelle variance de X le nombre V(X) düfini par
= 4 75
'
53
11
100 + 6. 100 = 4,7G
-2,7·G -1,75 -0,75 0,25 l,2G
Hi
Définitions
Les moyennes des deux examens sont identiques alors que les résultats
sont différents. La moyenne ne donne pas d'information sur la dispersion
des résultats autour de la moyenne. Pour l'estimer, on essaie de quantifier
la manière dont les notes sont réparties autour de la moyenne. On obtient :
j
100
11
l
:ri - 1;x
. 53 + 25 . ~
652
- _
= 0 1075
- 1600
'
14
+ 1 · .100
66
10
+ oc · -100
+ 6. · -100
9 . :~6
_l_
JOO + lG
-
F,[(Y - µy) ] - Hi
On note X la variable aléatoire associl'e aux notes du premier examen et
Y celle associée au deuxième.
Calculons maintenant la moyenne de ces variables aléatoires :
JlX
2
'
JLY
i -0, 75 0,25 1.25
36
100
53 11
100 100
1 V(X)
1
~
R[(X
11)']
~ ~ (1,
H
11.)',;,-
On utilise souvent la formule de Konig 1
1
l
'
.')
V(X) = ~
L p;:1:;2 - /' 2 = lo(.'x..
-)
1
(1','(X))ë
Johann Samuel Kiinig, matli(:r11atici<·11 :tll!'111;1111I, 1712 l 7.ï>7
fi!)
-r·
--.--4. Varin I11<'
;1./{•;i foire
T""
Proprir'·I ,·...,
discn'te
011 app('ll<' ôcart type de X le nombre
rJ
4.4
défini par
l(J=vvMI
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x 1 , J: 2 ,
avec les probabilités p 1 , P2, ... , p;, ... et g une fonction.
L'<Tart t.ypc rJ ('St une mesure de la dispersion plus significative qnc la
variauc<'. En effet, si X est une variable alfaüoinè représentant nnc distance
('Xprimfr e11 rnt'tres, V(X) est c11 m 2 alors que l'{~cart type rJ est bien. lui,
<'xpri111(1
(~11
10
+ (1
+ (Om =
24
(lUm.) · -
10
= 0,1!) m
= 0.41 m
a =
yiV{:X-)
2
4
. 1()
,
13
-m=l.Jm.
10
,
2
m - L3m) ·
2
lO
.
2fi
.
21
+ (-0,3m)
· - + (-l,,)111) · -
10
4.5
1()
=
=
E( (g(X))
propri{~tès
2
)
-
(
E(g(X))
)2
suivantes (dürnonstrations à 1'exercice 9)
Loi de deux variables aléatoires
Il est parfois utile de considôrer simultanément deux variables akatoircs.
= ~ = O.fr10:l m
E(X 2 )
Exemple. Une expérience consiste il tirer simultanérnent trois boules
d'm](' 11rnc qui en contient 2 rouges, 3 vertes et 4 bleues. Notons X le
rwrnbre de boules rouges et Y le nombre de boules vertes obterrncs.
-1?
On note /!iJ = P(X = ·i. Y = j) la probabilit.é que X prenne la valeur i cl
que Y prenne la valeur :j. Calculons tous les PiJ
21
25
21
2
=(2m) ·--+(lm.)
·-+(Om)
·---(1.:Jm)
1()
10
1()
.
.
1
2
1
2
5
2
=4m ·-+lm ·--lfülm
10
10
'
= l.fim
V[g(X)]
2
Avec la fornmle de Kiinig. le calcul est plus simple :
V(X)
l::: g(xi)P;
1) E(k:X)=k·E(X)
10
.
2
LW Ill
=
2) E(X + k) = E(X) + k
3) V(kX) = k 2 · V(X)
4) V(X + k) = V(X)
1
l,:lm) · -
fi
+ o,rnJ Ill 2 . IO
+
E [g(X)]
On a alors les
5
10
:r;, ...
L'espérance et la variance de g(X) sont données par :
Exemple. Un je11 consiste ;l lancer un palet aussi près que possible d'une
ligne situr'c il 10 rn dn lance11r. FJn moyenne, 1m jo11cnr obtient les résultats
(arrondis) suivants : il J;wcc à 2 m de la ligne de référence ·-1 fois sur Hl, il
l m de cette ligne fi fois sur JO et s11r cet.te ligne 1mc fois sur 10. Calculer
la distance moyenne des jets de cc joueur, sa wi.riancc cl :0011 écart type.
') -1
V(X) = (2m - l.:3mY .
... ,
On note g(X) la variable aléatoire <liscrde prenant les valeurs g(x 1 ), g(:1>2 ),
... , g(xi), ... avec les mêmes probabilités p 1 , p2 • ..• , p;, ... que la variable
aléatoire X.
md.rcs.
4
fi
,
1
11=E(X)=2rn·-+lm·-+Orn·
10
10
10
Propriétés
2
=0/!lm
+ O,fi m 2
- 1,G9m
Poo=
2
Pm=
2
(~)
~
G) - 81
C) (~) - ~
-
wG)(i) -
On voit que la variance est exprimée en m 2 , cc qui ne permet pas de
comparer avec les valeurs prises par la variable ali'atoire X. Par coutre,
l'écart type rJ est exprimé en métres, cc qui permet cette comparaison.
[Jo2=w-
84
-
(~)CD
C)
Prn = ~ -
p11
G)
(~)
12
84
2
( ) ('.')
l
:.!
f112 =
0
C) -
--
12
-
84
/1'20 =
21
81
/121
@ (7) w
-
_"1_
81
@C) _ 2
Q-81
(i
8-1
G) _ _1__
Pen = (~) -
811
___________________________
71
70
......__
--·~--~---------------------
f
~
4. Varia/ile aléatoire discrète
Loi de deux variables alra.t.oir<'.'-'
Variables aléatoires indépendantes
()('llX
i d j.
Fonction de deux variables aléatoires
variables alôatoires X et Y sont indépendantes si, quels que soient
Oil a
p; 1
= P(X =:ri, Y= Y7) = P(X =:ri)· P(Y = Y1) =Pi· P:i
Exemple 1. 011 lance deux fois de suite deux pièces de monnaie, l'une
de 1 franc et l'autre de 2 francs. On note X le nombre de pile obtenu sur
/a pièce de zm franc et Y le nombre de pile obtenu sur la pièce de 2 francs.
011 obtient la loi COI\juinte suivante :
On considère X et Y deux variables aléatoires discrètes de loi conjointe
/lij =
P(X =X;, Y= Y:i).
Si g est une fonction, on note g(X, Y) la variable aléatoire discn~te prenant les valeurs g(x 1 ,yi), g(.T 2,y1 ), ... , g(xi,!J:i), ... avec les probabilitôs
correspondantes JJ11, P21, ... , p;1 , ... .
Par analogie avec le cas à une variable aléatoire, l'espfaance de g(X, Y) est
donn(~c par :
E(g(X, Y))= LPiJ g(:ri,J}J)
7,j
.~
1
0
-
l
P10
=
16
2
,1
l
1
1
16
4
2
1
2
-
-
-
16
lG
l
2
16
](j
]()
1
4
1
2
1
4
-
Somme de la colonne
P(Y = j)
2
Hi
-
Somme de la ligne
P(X = i)
2
2
l(j
Hi
2
On voit qu'un a p 1.)
1
0
= I'(X = 'i) · l'(r· = .i)
= I'(X = 1) · P(Y = 0) =
En particulier :
!1
E(X +Y) = LPi:i (x.;
+ YJ)
1
I'
il
i,J
1
E(XY) = LPi1 (:r;JJy)
'i,j
1
4
Exemple. Reprenons l'exemple des deux dés, page 73. On a :
E(X +Y)
= (1
+ 2)
+
1
·36
(:~
+
.
2
1
+ (2 + 3)
· - + (2 + 4) · -
:36
2
4). -
36
36
+ ... + (6 + 12) . -
l
36
413
= -. ~
:36
11,fi
pour tous les /iii· Par exemple
l
2
·
E(XY) = 1 · 2 · -
l
4
1
36
2
+2·3 · - +2·4 · -
+ ...
Les deux variables sont. i11dèpenda11tes coHmw on pouvait. s'y attendre.
1
36
36
, ,
l
1232
+ (J . 12 . - = - - = -::ms
36
36
9
~
.
.)4
1
Exemple 2. On lance deux fois de suite deux pièces de monnaie, l'une
de 1 franc et l'autre de 2 francs. On note X le nombre de pile obtecm
sur la pièce de 1 franc et Y le nombre de pile obtenu sur les deux pi<;ces
ensemble. On a alors par exemple :
Propriétés
111
1
1) E(X +Y)= E(X) + E(Y)
2) Si X et Y sont indépendantes, E(XY) = E(X) · E(Y)
:~) Si X et Y sont indépendantes, V(X +Y)= V(X) + V(Y)
/110 = 0
I'(X
= 1) · P(Y = 0) =
1 l
2 · 16 #
0
Les deux variables ne sont pas indépendant.es.
Démonstrations
1)
E(X+Y)
11
i
=LJJiJ(.r;+YJ)='Z,(11,J.r, t /1; 1
i..j
=
2:. 71;, :r;
i ..J
74
.tJ1 )
l,.J
t
2= i1,, .11,
/•,'( . \ )
1
/<,'() )
L.J
7G
..111
1l:1
-r·
...
4. Variable aléatoire cliscrdte
2)
E(XY)
L'J>l'l'I/ 1 ,. I • ., .. ,, '
4.6
=°L,p;j(:r:;JJj)=°L,P(X=:r;,Y=yj)(:r;yj)
i,j
'i,j
= L, P(X =.ri)· P(Y = y1 )
·
:r; ·
Yj
Exemple. On lance une pièce de monnaie 100 fois de s11il.n.
combien de fois obtient-on face?
i,j
=
L,( P(Y =
yj) ·Y]· (L,P(X
J
=
X;) . :r:; . L P(Y
Yj) . Yj
=
j
E(S) = E(X1
= E(X) · E(Y)
3) V(X +Y)
=
LPij (x;
+ Y]) 2
-
!•:11 1111111·11111·.
On note X; la variable aléatoire prenant la valeur 1 si la pù)ce 11w11t 11• /:1,.1·
au ·i-ème lancer et 0 sinon et S la variable aléatoire qui don11l' /;i s111111111·
des X; : S = X1 + X2 + ... + X100- On a:
:r:;) · x;))
i
L P(X
=
=
Épreuve répétée
µ2x+Y
+ X2 + ... + X100)
+ E(X2) + ... + E(X100)
=
E(X1)
=
100 · E (X 1 )
=
100 ·
1
2 = 50
Z,J
=
LPij (.rf + 2x;yj +
yJ) -
(E(X
+ Y))
2
1,)}
= LPii xf + 2°L,p;7 X;Yj + LPij YI - (E(X) + E(Y))
i,J
1.,.J
i,J
= LPi · Pj xf + 2°L,p; · Pj :r:;yj
i,j
i,j
~
+~Pi
i,j
2
Considérons l'expfaience consistant à répéter n fois une m('JIH' t·pr'<'lll'I' 1·1
associons la variable aléatoire X; à lai-ème épreuve. Supposons q1w l1>11l1·:.
les épreuves sont indépendantes, qu'elles ont une même espfaa11<·1· 11 o•I 111/1'
même variance V.
· Pj Yj2 - (µx + /Ly )2
= LPi xf · LPi + 22:,p; :r:; · LPi Yj
j
j
+ LPi YI· LPi - (tL°i + 2µx/Ly + µ~)
i
j
La variable aléatoire S
vantes
/ E(S)
=
X1
+ X 2 + ... + Xn
propri1·l1·:•
:.i11
V(S) = nV /
et
rl/L
possède les
Exemple. On lance un dé 10 fois de suite et on calcule la so1111111· d1·"
points. Quelle somme obtiendra-t-on en moyenne? Et quel Sl'l'il /'1 n11 t
type?
On a (voir pages 68 et 70) :
E(S)
= LPi :r:r + 2p.x ·µy+ LP1 YI
i
=
= nµ =
10 · 3,5
= 35
J
cr =
-µ2x - 2/Lxµ.y - /L~
JV(S) = v;v =
C35
Viu
· l2
;:::o
5,4
~
2
2
~
2
2
=~p;X; -/Lx+~P]Yj-µY
j
i
=
V(X)
+ V(Y)
4.7
4. 7 .1
Quelques lois discrètes
Loi binomiale
Exemple. On lance un dé 8 fois de suite. Calculer la probabiliti' r/'o/11t-11ir
exactement 5 fois un six.
76
77
~
-----
-.4. Variable aléatoire discrète
Quel<jlll'.'i lui.•;
On note X le nombre de six obtenus. On cherche alors P(X = 5).
On a calculé en page 49 que
Il
Vérifions qu'il s'agit d'une loi de probabilité, à savoir _L P( X
k=O
On a, en utilisant le binôme de Newton
I'(X = 5) =
(8)5 · (61) · 65)
5
(
3
t (~)ak
t (~)pk
~ 0,0042
1
1/1 ..,, 11'11
"1
bn-k =(a+ b)"
k=O
c
On observe que (j est la probabilité d'une réussite (obtenir 6) et ~ celle
=}
d'un échec (obtenir un autre nombre).
(l - p)"-k = (p
+ (1 -
p))" = l
h:=O
On réalise une expérience dont les résultats seront interprétés comme une
réussite ou un échec. On note X la variable aléatoire prenant la valeur 1 si
l'épreuve est une réussite et 0 sinon. On a :
L'utilisation du binôme de Newton justifie le nom de cette loi. La loi hi110
miale B(n; p) possède les propriétfa; suivantes :
Moyenne :
P(X=l)=p
P(X = 0) = 1- p
Variance :
11
CJ
= np
2
= np(l - p)
où p est la probabilité d'une réussite.
Une telle variable aléatoire est appelée variable aléatoire de Bernoulli 2
elle est de moyenne p et de variance p( 1 - p).
;
Exemple. On lance un dé 180 fois de suite. Calculer le nombre mov<'n
Supposons maintenant qu'on cxfa:ute n {~preuves identiques et imfopendantes. On dit que la variable aléatoire X, qui compte le nombre de succès
parmi les n épreuves, suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée
B(n ;p), et on a
P(X = k) =
G>/(1 -
4.7.2
p)n-k
La variable aléatoire X est la somme de n variables de Bernoulli où p est
la probabilité d'une réussite.
Exemple. On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie. Calculer la
probabilité d'obtenir exactement 4 fois face.
On note X le nombre de faces obtenu. On cherche alors P(X
On obtient
P(X
2
78
(1)4 · (1)6
- = 210 · -1- =
= 1) = ( 10) · 4
2
2
.Jacques Bernoulli, mat.hémat.icieu suisse, Hi54-· 1705
1024
-10.5 ~
512
</,.
six et son écart type.
/L
= np = 180 · â = :HJ
Œ
=
Jnp(l - p)
=
/180 ·
~ · f;
=
5
Loi hypergéométrique
Exemple. On tire 7 cartes d'un jeu dt'
d'obtenir exactement 3 piques'!
:rn cartes.
Que/Je est la prol>iiliilit ,·,
On note X la variable aléatoire associée au nombre de piques o/J/1•1111. Il
faut choisir ;3 piques parmi les 9 piques à disposition et encore ·1 rnrl1·s
parmi /es 27 autres cari.es. 011 a donc :
= 1).
I'(X = :3) =
(!J) ("7)
4
:i ,.;,"
~ 0,1766
0,20Sl
On note N le nombre d'objets à disposition dont Hont une carac11··ri.·,1 i'lll<'
C donnôe. On tire n objets, sans remise, parmi ces N objets. La \';11i;il>I··
aléatoire X indique k nombr<' d'objd.s t.ir{•s qui ont. la caracU'risl iq1w <'
,.,,
If
,.
•
4. Varin/JI<' alf>atoire discrète
Quelques luis 1/i.·;i·11•f, .. ,
On dit. que X suit une loi hypergéométrique de paramètres N, R et n, notée
H(N: H;n), et on a:
P(X
= k) =
(~)
(:= :)
1
(~)
n
La vôrification de l'égalité
L
k)
P(X
1 dépasse le cadre de cet ou-
Exemple. Une urne compte 9 boules noires et 7 boules vertes. On tire 6
houles de cette urne. Calc11ler la probabilité d'obtenir exactement 4 boules
vertes.
On note X la variable aléatoire associée au nombre de boules vertes obtenues. On obtient
P(x = 4) =
(10-7)
(7)
4
6-4
(166)
Variance
4.7.3
(1(~)
k:)
= p (1- p)k-1
la k
1<'1111·
1
Exemple. Une urne compte 11 boules noires et 5 boules vert.es. 011 <'Il
tire une, on regarde sa couleur et on la remet dans l'urne. On s'arrfü<· d1"s
qu'on a une boule verte. Calculer la probabilité de devoir tirer exact.e111<•11I
4 boules.
(J
-
nH
N
= 4) =
.5
Hi
~ 0,1015
(11)3
16
OO
Vôrifions qu'il s'agit d'une loi de probabilité, à savoir
P(X
,,. )
1.
CXJ
k=l
J=O
L'utilisation de la série g(~ométrique justifie le nom d<' cette loi.
La loi géométrique possède les propriétés suivantes
Loi géométrique
(5)4
1
·6
OO
1
1
=p·
=p·-=1
1-(1-p)
p
(1 -~)(~=~)
---5 5 5 5 1
P(X = .5) = P(T TT TT) = - · - · - · - · - =
66666
L
k=l
k=l
µ=rvnR
2 -
P(X
=
2.)1 - p)k-1 p =p. 2=(1 - p)k-l =p. 2=(1 - p)j
' ,) '
Exemple. On lance un dé jusqu'à l'apparition d'un trois (T). Calculer
la probabilité que le premier trois n'apparaisse qu'au cinq11ième lancer.
On note X la variable aléatoire associée all nombre de lancers à effectuer.
On a:
/1
Variance
(J2
~
=
p
=
1 - Ji
')
Exemple. On lance llll déjusqll'à l'apparil.ion d'1111 fi. ( .';ilc11ler Je nombre
moyen de lancers auquel on peul. s'atl.c11</r«, ni11.-.;i 'I'"' ·'"Il r'cart type.
~ 0 0804
6'
On effectue une suite d'épreuves indépendantes ayant chacune une probabilité p de réussite jusqu'à obtenir le premier succès. On note X le nombre
d'épreuves nécessaires à l'apparition de ce premier succès. On dit que X
suit une loi géométrique de paramètre p, notée Ç(p).
Moyenne:
li~
1
fL=p=
80
=
On a:
(7) (9)
= ~ ~ 0 F7'3
La loi hypergéométrique possède les propriétés suivantes :
Moyenne:
P(X
<pt<'
On note X la variable aléatoire associée all nombre de tirages à effi'dlH'r.
On oblient
k=O
vrage.
Il faut que les k-1 premières épreuves soient des échecs, alors
doit être une réussite. On a :
u =
t
-1:_ =
6
fi~;,, 17
yi-5=J·v(',
r:--1
('
1
ü
Hl
-r
.....
4. Vnrial>fo aléat.oire discrète
4.7.4
Quelques lois disert"/' ·s
Loi de Poisson
Approximation de la loi binomiale par la loi de Poissou
Excrnple. Des mesures sur Ja qualité de l'eau d'un réservoir onl permis
d'établir q11e cette eau contient en moyenne 3 bacti'ries par litre. On préMve 2 lil.res de ceUe eau. Quelle est Ja probabilité d'y trouver 5 bactéries?
Part.ageons ce volume de 2 litres en un très grand uombre de volumes
élémenlaircs de la taille d'llne bactérie et examinons si chacun de ces
volumes contient une bactérie (succès) 011 non (échec). On a ainsi n essais
(n très grand et inconnu) 011 chaque essai consiste à observer !ln volume
élémentaire pour y trouver une bacléric avec une probabilité p de S!lccès
(p très petit et. inconnu).
Soit alors X le nombre de succès. De la variable aléatoire X, on ne connaît
que l'espérance
Exemple. On choisit 100 nombres au hasard compris entre 1 et 1OO.
Calculer Ja probabilité de tirer exactement 4 foi:-; le 12.
Calculer ensuite la probabilité d'obtenir cc nombre exactement 0, 1, 2,
... , 6 fois.
Faire ens11ite les mêmes calcllls en utilisant la loi de Poisson.
On pose X la variable aléatoire qlli donne fo nombre de fois que 12 apparnft. X suit. une loi binomiale B( 100; 1~o). On a :
P(X = 4) = (
1~0) ( l~JO) l~~i) ~ 0,0149
4 (
!JG
On procôde de même pour fos aut.res valeurs de k:.
/L
= np =
(3 bactéries /litre) · 2 litres= 6 bactéries
Par contre n et p sont inconnus, de même que les va.le!lrs prises par X.
On ne peut donc pas utiliser la forrrmle de Ja loi binomiale. En revanche,
fa loi de Poisson va nous permettre de résomlrc le problème.
Pour la loi de Poisson, cm a .\
=
/L
1P(X = /..:)
À).,'l
=-<.
k'
l
100 · - 100
=
1.
(' - 114
P(X
= 4) = - !4
~ 0,0153
011 résume toutes les proba/Jilités
Soit À un nornhre réel positif. U lie variable alôatoirn X pouvant prendre les
valeurs entières 0, 1, 2, ... suit une loi de Poisson:l de paramètre À, not{~e
P(>.), si
= np =
n.
=
P(X = k:) dans le tablea.11 suivant:
k:
0
1
2
3
4
5
6
Pk avec B
o,:rn6
0,:370
0.185
0,0610
0,0149
0,0029
0.0000
Pk avec P
0,368
o,:'lfi8
0,184
0,0613
0.015:)
O,OO:-ll
0,0000
--
On voit que les valeurs obtemws sont proches. Dans C<' cas, 011 peut. donc
calc11lcr une approximation de fa loi binomiale par la loi de l'oisson.
On vérifie qu'il s'agit d'une loi de probabilit<~. En effet
= e->.>,k
>.
= >,k
>.
2=
~ = c- . 2= JJ = ('- . c
k=O
De nombreuses applications de la loi de Poisson tietllH'11t a11 fait q11<', sous
certaines conditions, cette dernière est une excellent<! apprnxilllatio11 d1· la
loi binomiale. Supposons donc que X est une variabk iil<\doin· lii11ornial<'
B(n; p). Eu posaut À = np, on a :
À
=
i
k=O
La loi de Poisson possède les propriétés suivant.es
Moyenne :
Variance :
11
2
o
=
À
=
À
P(X
= k:) =
(n)p' ·(! - p)"-' = _(n __ri_!_
---
k)' /, 1
k:
n(n-l)···(n-k:+I) >.'
----·
Il k
k:!
(1
(>.)'(1 À) Il
,\)Il
/1
-k
11
Il
~ )'
,\)Il
(1
(1 ,\)
(1
Comme le paramètre À est ègal à E(X), les observations sur X permettent
d'en donner une estimation.
:;Siméon Denis Poisson, mathématicien et physicien français, 1781 1840
82
n(n - 1) · · · (11 k t 1)
----,,_!.
____ -
>.'·
,,. 1
Il
/,
Il
8:l
f
.....
-----
4. Varial>le aléatoire discrète
( 1 + :!'..) n, on utilise maintenant les approximations
lim
Sachant que e'"
Quelques lois <lisnd.r·s
n
n------++cx;
sui van tes :
À)n ~ e-,\ pour n grand et p = ~ petit.
(
1- -
n
P(X
n(n - 1) ··· (n - k+ 1)
n
nk
n
= (1 - Pl~
On conclut alors que P(X
_!_) . (• -
(1 -
n
3-)
... (1 n
k-
n
_!_) ~ 1
1 puisque p petit
= k)
~
c
0,2
0,2
0,1
0,1
8
Processus de poisson
2
4
~
6
8 X;
V
0,4
/,
o,:31
À=5
À= 10
~x.0.1'I
0, 1
4
6
8
i
2
4
-=<Lflx
6
8
i
On constate que l'approximation est bonne pour les valeurs de À plus petites
que 10. Au-delà, la courbe s'éloigne de la représentation de la loi binomiale.
Autrement dit, lors de la réalisation de n épreuves successives indépcnclantes ayant une probabilité de succès égale à p, le nombre de succès peut
être approch(? par une loi de Poisson de paramütre À = np. En pratique, on
considôre cette approximation valable dans les conditions suivantes :
n
84
2:: 50
D'une mamere plus générale, lorsqu'un phénomène permet de supposer
qu'un seul événement arrive à la fois, que le nombre d'événements se produisant pendant un intervalle de temps de durée t ne dépend que de la
durée de cette période et que les événements sont indépendants, on dit
que ce phénornünc suit un processus de Poisson. Si le nombre moyen d'événements par unité de temps est égal à À, on démontre que la probabilitl~
d'obtenir k événements pendant un temps t est
P(X
0
2
.
= 0,0.309
On obtiendrait Je rnème résult.at dans 11 'irnporte quel intervalle de quatre
minutes, par exemple entre 9 h 30 et 9 h 34.
~
xi
P;
0,4
0,3
1.95
Cl
0,3
À=l
6
c;--1,9
d.
pi
4
.5!
La loi de Poisson permet d'approcher des variables aléatoires dont on
connaît la moyenne.
P(X = .i) ~
0,4
Î\
0,3
= 0,1606
.
-
Àk
e-"' -k!
pi
0,2
. 55
~ e- 6
Exemple. On a constaté que le nombre moyen d'arrivées de clients à un
guichet est de 1,9 en quatre minutes. Quelle est la probabilité d'observer
5 arrivées entre 10 h OO et 10 h 04?
Regardons la forme de la distribution en fonction de À :
2
= 5)
n
À k
( 1 - ;:;:)
0,4 ~
Nous pouvons maintenant répondre à la question de l'exemple page H2
concernant le nombre de bactéries :
=
J.:)
~ e-Àt
(Àt)k
k!
Dans ces conditions, le nombre de réalisations d'un événement est une variable aléatoire de Poisson de paramètre Àt.
Voici quelques exemples d'utilisation de la loi de Poisson :
le nombre de faux appels téléphoniques composés en une journée;
le nombre de clients entrant dans une banque en un jour ;
le nombre de particules a émises par un matériau radioactif pendant un
certain laps de temps.
et np <::: 10
85
l
._.-
f
4. Varia/Jle alratoirc dii-wn!tc
4.8
~
1.
2.
i
3.
{ 4.
(
Exercices
Une pil'ce est truquée de sorte que P( F) = ~. On la lance trois fois et
on note X la variable aléatoire désignant le nombre de faces. Trouver
la loi de probabilité de X, ainsi que sa moyenne et son écart type.
On jette deux clés. Soit alors X la variable aléatoire associ('e à la somme
des points obtenus. Écrire la distribution de X, puis calculer E(X),
V(X) et Œ.
On lance une pil~cc de monnaie jusqu'à cc qu'on obtienne face. Si on
arrive au cinquième lancer, on s'arrète quelle qu'en soit l'issue. Calculer
le nombre de lancers auquel on peut s'attendre.
Un joueur lance deux pièces. Il gagne 1.- s'il obtient une fois face et
2.- s'il obtient deux fois face. Sinon il perd 5.-. Le jeu est-il favorable
au joueur'?
5.
Pour pouvoir lancer deux pH'ces, un joueur doit payer une certaine
somme. Il gagrw 5.- s'il obtient deux fois face, 2.- sïl obtient une fois
face et 1.- sinon. Calculer la sornml' qu'il doit payer pour que le jeu
soit équitable.
.( 6.
Un professeur de mathématiques propose ù ses élèves le jeu suivant :
on jette 20 fois de suite une pi('cc de momia.ic. Si pile n'apparaît pas, le
professeur s'engage à verser 2 millions de francs à l'élève. Sinon l"élève
paie un franc au professeur. Serie:.1-vous d'accord d'y jouer?
7.
Un laboratoire doit armlyscr 50 frhant.illons de sang pour y dNecter la
présence (~ventuelle d \m virus. Or une personne sur cent est porteuse
de cc virus. Dans le but d'économiser, le responsable décide de proc(~dcr
comme suit : au lieu de rfadiser GO analySt!s, il pr(~k've d'abord un peu
de sang de chaque échantillon, môlang<~ le tout d analyse le môlange.
Si le virus n'est pas détecté, les 50 C'chantillons en sont exempts et
une seule analyse a suffi ! Sinon chaque échantillon doit être analysé'
individuellement. Combien d'analyses le responsable peut-il s'attendre
à devoir faire ?
8.
A cc jeu de fléchette, un joueur moyen a um~ chance sur dix d'atteindre
le centre de la cible et de marquer 100 points, une chance sur trois
d'atteindre la zone intermédiaire pour :30 points et une chance sur
deux d'atteindre le bord de la cible et de ne marquer que 10 points.
Sinon le joueur perd 150 points. Donner la loi de la variable alôatoire
associée aux points marqués, puis calculer la moyenne, la variance et
l"fa:art type de cette variable albüoire.
86
"-·
-,,.,-~-"'"~·~=.,,_,..,,.~=
Exercices
9.
Démontrer les propriétés du paragraphe 4.4, page 71.
10. Montrer que E(X - p.) =O.
11. Soit Y
X - p.
(}
E(X) et
avec 11·
Œ
2
V(X). Calculer E(Y) et
V(Y).
12. Soit une variable alôatoire X ayant la loi de probabilité suivante :
:r.;
p;
1
2
3
2
<1
1
4
a) Calculer E(X), E(X 2 ), E(3X), E(2X
+ 5),
E(X - 2). /~'(X: 1 )
b) En déduire V(X), V(2X), V(X - 2)
13. Une urne contient deux houles noires et trois bouks blanc!H's. On tire
sans remise des houles de cette urne, une à UIH\ jnsqu'ù ("(' qw· l'on obtienne une boule noire. Soit X la variable al(!atoirc associ{!<! au nmnbrc
de tirages effectués. }~crire la distribution de! X d udntl<·r /~'(X).
14. Quelqu'un dispose d'un trousseau den cl(~s dont. 11nc s<·ul<', 111ais il ne
sait pas laquelle, permet d'ouvrir la porte devant. laq1wlk il s<' trouve.
Il essaie donc au hasard les différentes cl(!s, ('Il <·li111i11;111t <·<'ll<'s dé'.iù
essayées, jusqu'à cc que la porte s'ouvre. Exprin1<·r <'Il fo11ct.ion d<' n le
nombre moyen de clés que cette personne (kvra <'ss;1y<·r <'I J'{·cart t.yp('
associé? à cette variable aléatoire.
15. Isidoro et Pietro jouent au jeu suivant : clmc1111 {·nit :-;11r 1111 papi(•r m1
nombre choisi au hasard parmi les nombres 1, 2, :1, 1 <'I ;, . Si la sot11n1c
des deux nombres choisis est impaire, c'est Isidor<> q11i gagll<'. si11on
c'est Pietro qui gagne.
a) Calculer, pour chacun des joueurs, la proli;iliilit•'· d1· 1~;1g1H'r.
h) Lorsque les deux amis jouent ''ù l'arg<·11t'', 1·1·l11i q11i JH'rd v<·rs<' ;111
gagnant un nombre de francs {!gal;\ la dilk·r1·11c1· (1·11 \;il1·11r ;il1:-;ol11<·)
des deux nombres choisis. Soit X la vari;i]i],. ak·;it."in· ;1ssrn·i<·<· ;111
"gain" d'lsidoro lorsque les amis j011<·11t 1111<' l'oi:-; (<·•· ".t•,:1i11" <'SI 11{•g;il il"
quand Isidoro perd). Dé~ten11i1wr si I<· .i<·11 <·:-;t <··<111it;1lil1· 1·11 calrnla11t
la moyenne de X.
K7
--
r
If'
4. Variable aléatoire discrète
/•\f"/I /l
16. On lance six fois de suite une piécc de monnaie. Elle est truquée de
sorte que la probabilité de montrer face soit ~.
Calculer la probabilité
0
a)
d'obtt~nir
exactement 4 fois face;
b) d'obtenir plus de faces que de piles.
17. a) Soit X une variable aléatoire de Bernoulli. Montrer que E(X)
et V(X) = p(l - p)
=
p
b) En dôduire que la moyenne de la variable alfaüoire binomiale B(n; p)
est np et sa variance np( l - p)
18. On tire une carte d'un jeu de poker, on la regarde et on la remet dans
le paquet. On répétc ce tirage 10 fois.
a) Calculer la probabilité d'avoir tiré exactement 4 as.
f",
25. Admettons que le nombre de fautes de frapp<' par i''il'« · :;i 111,. 1111 .. \,"
de Poisson de moyenne 0,75. On choisit 1111« pag« ;1u li:1:«11c\ c\1111· '•
livre. Calculer la probabilitô qu'il y ait a11 111oi11s 1111« 1':11111· c\ .. 11111•!"
sur cette page.
26. Le nombre de tremblements de terre par semai111• :-;ur l:i ""I" 11111·:.1 1111w
ricaine suit une loi de Poisson de rnoyemw 2. q11t'll« «.·,I 111 11111\,,,\,il111
qu'il y ait 4 secousses pendant les 2 prochairn·s s«111:1i111·:,"
27. Le nmnbre moyen de chiens abandonnf~s chaq11<' :-;1•111:1i111· :<111 11· \ .. q,\
d'une route cantonale au mois de juillet est 2/l.
a) Calculer la probabilitl~ qu'aucun chien ne soil ;i\i:1ucl1111111' 1·11111· I•· ,
et le 14 juillet.
b) Quelle est la probabilité que plus de S d1i1•11s ,-;11i«1il 1il11111c\11111w
entre le 14 et le 21 juillet?
b) Calculer la probabilité d'avoir tiré au moins un as.
c) Combien de tirages faut-il dfoctucr au minimum pour que la probabilité d'avoir tiré au moins un as soit plus grande que 0,95?
19. Combien de fois faut-il lancer un d(o pour que la probabilité d'obtenir
au moins un six soit plus grande que 0,99 '!
20. On sait que les vis fabriquées par ime certaine société ont un cli:>faut
avec une probabilité de 0,01. L 'ètat d'une vis est indépendant de celui
des pr(~côdentes ou des suivantes. La socid(~ accepte de rembourser les
paquets de 10 vis qu'elle ve11d si plus d'une vis présente un cldaut.
Quelle proportion de paquets vendus la société peut-elle s'atternlre à
rembourser '?
28. En moyenne, 5 clients par heure entrent dam; 1111 111:11•«1:;111 L11 1«11c\1·11»1·
ferme la boutique pendant 5 minutes. Quelle <'si la p111li:il1il11c- •111•· 1.\11»
d'un client trouve porte close?
29. Une personne souffre en moyenne de 5 rhum«s :111 '"'"''' ,1·111w ,111111·1·
Un nouveau vaccin vient d'apparaître, mais il 11'"·"' «llic "'"•\Ill'' 111'1
75% des individus (le nombre moyen de rh1111H'S p:1:;,·;c· c\ .. ~. 11 :\) ( 'lw1
les 2S% restant, il n'est d'aucune cfficacitL Arllilll' :;c· 1:111 11111111"1 Il
attrape 2 rhumes. Quelle est la probabilit<~ q1lt' le· 1·:11T111 :.1111 1·\\11:111·
dans son cas ?
21. Soit X une variable aléatoire Ç(p). Utiliser un développement en sôrie
1
pour montrer que E(X) = Ji
22. Un joueur mise un franc sur un numéro de 1 à 6. Il lance ensuite
trois dés. Si le nombre choisi par le joueur apparaît k fois, il gagne k
francs. Si le nombre choisi n'apparaît pas, il perd sa mise. Ce jeu est-il
à l'avantage du joueur'!
23. a) Calculer le nombre moyen de garçons dans une famille de huit enfants.
b) Quelle est la probabilité pour que cette famille ait un nombre de
garçons égal à ce nombre rnoJ'.cn '?
24. Soit X une variable aléatoire P(>.). Montrer que E(X)
u~w-
~~
>. et que
V(X) = >..
88
.,._,,,_"""...,,.~~~~~~~~~~~~~~.....................................................1111!!!!1!!!!!!!!1!!111!!1!!111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~~~~~~~~~~
89
--· -~-~
~
......4. Varial>l<' a}(>atoirc discrde
4.9
1.
a)
R.éponscs aux excrcic<'s 1/11d1npil11· I
Réponses aux exercices du chapitre 4
;,TI
1
64
Pi
12 1:1
15. a) - ; 25 25
1
2
3
b) :r;
9
64
27
64
27
64
Pi
2
25
Le jeu est
b) 2,25; 0,75
2.
3.
= 7; V(X) = 5,8:{3; a= 2,415
E(X)
:n
16
-4
-2
()
1
3
6
25
5
25
8
25
4
25
(~quitable.
16. a) 0, 1:)82
h) 0,1792
18. a) 0,0045
b) 0.5509
c)
:rn
19. 26
4.
non
5.
2,50
6.
7.
L'ôlève a théoriquement intérêt à y jouer car son espérance de gain est
de 0,907:3
.\
20,75
8.
a)
20. OA %
22. Non, car E(X)
23. a) 4
= -0,5
b) 0,:27:34
25. 0,5276
26. 0,1954
Xi
1
100
;)(}
1
1
10
3
Pi
-150
10
1
15
-
2
b) 15; 2625; 51,2:35
27. a) 0,08208
b) 0,04202
28. 0,06608
29. 0,8886
11. 0; 1
12. a) 2;
b)
9
2
; 6;
!) ;
0; 11
! . 2. !
2'
13. a) :ri
Pi
' 2
1
2
2
5
10
3
-
;{
4
l
-
5
10
b) 2
n+l
14. -·
2 '
90
~
-12
Dl