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:r 1'm/1;1/iilit1"1·111Hiitiowwlle
8. ll11 cl<'· c·st pip(: de telle sorte que la probabilité d'obtenir un nombre
c·st proportiormcllc à cc 11ombre (par exemple la probabilité d'obtenir
li vaut. G fois la probabilité d'obtenir 1). On le jette une fois. Quelle est
la probabilité d'obtenir
9.
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12.
a) im 5, sachant que le nombre obtenu est impair'?
b) un nombre pair, sachant que le nombre obtenu est plus grand ou
égal à :3 '?
c) un 3, sachant que ni le 1 ni le 2 n'ont été obtenus'?
On jette un dé une fois. Les évh1cmcnts "obtenir un nombre pair'' et
"obtenir un nombre strictement supérieur à quatre" sont-ils indépen-
dants si le dé
a) n'est pas pipé?
b) est pipé de telle sorte que la probabilité d'obtenir un nombre est
proportionnelle à ce nombre ?
Dans une région où il pleut en moyenne un jour sur 5, le Club de Rugby
des Montagnes gagne 7 fois sur 10 par temps sec et 4 fois sur 10 sous
la pluie. Quelle est la probabilité qu'il ait plu un jour où cette équipe
a gagné?
Une personne qui a été attaquée de nuit dans la rue dit que sou agres-
seur était noir. Or il est établi que dans de telles circonstances la vic-
time détermine correctement la couleur de son agresseur 8 fois sur 10.
De plus la région contient 90 % de blancs et 10 % de noirs et le taux
de criminalité est le même quelle que soit la couleur de la peau. Quelle
est la probabilitè qiie_t'agresseur soit dTect.ivement une personne de
couleur ? ~' • ~I .--
. lf11·lfit f. ~ •• ~ . . .
Une urne contient 6 t)oules, (font une nmre. On tire successivement et
sans remise des boules de cette urne dans le but d'obtenir la boule
noire. Si elle sort, on gagne et le jeu s'arrête. La règle du jeu interdit
d'effectuer plus cle 4 tirages.
a) Quelle est la probabilité de gagner?
b) Si on gagne, quelle est la probabilité qu ïl ait fallu procéder aux 4
tirages?
c) Mêmes questions si l'on procède avec remise.
l Î
Exe!'«Î<'t ·:-;
13. a) Montrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors A
et B le sont aussi.
b)
Montrer que si deux événements non vides sont incompatibles, alors
ils sont dépendants.
14. On choisit au hasard une famille de n enfants et on considère les évé-
nements suivants A : "il y a au plus une fille" et B : "il y a des enfants
des deux sexes". Étudier si ces évfarnments sont indépendants dans les
cas suivants :
a) n = 2
c) n = 4 b) n = 3
d) 71 quelconque
15. Dans une ville, 40 % de la population a les cheveux bruns, 25 % les
yeux marron et 15 % ces deux caractéristiques simultanément. On y
choisit.
une perso11ne au hasard.
a) Cette personne a les yeux marron. Calculer la probabilité que ses
cheveux ne soient pas bruns.
b) Calculer la probabilit(~ qu'elle n'ait ni les yeux marron ni les cheveux
bruns.
16. Un type de missile atteint sa cible avec une probabilité de 0, 75. Com-
bien faut-il en lancer pour avoir une probabilité supérieure à 0,999
d'atteindre la cible au moins une fois?
X 17. Dans un village de 150 habitants. 100 ont (~t(> vaccinés contre la grippe.
Lors d'une épidémie, on constate que 10 personnes ont été malades
alors qu'elles avaient été vaccinées et que 10 autres out aussi Nô ma-
lades alors qu'elles n'avaient pas été vaccinées.
a)
Calculer la probabilité qu'une personne vaccinée attrapp<~ la grippe.
b) Calculer la probabilité qu'un habitant de ce village al.trappe la
grippe.
c) Calculer la probabilité qu'une personne ait été vaccinfr si clic a la
grippe.
18. Trois machines A, B et C produisent respcct.iverne11t. 50 (;;,, :m % et
20 % des pièces d'une usine. Chacune de ces rnachi1l<'s f'abriq1w I«'S-
pectivement 3 %, 4 % et 5 % de pièces dNect1wns<'S. 011 tin· au hasard
une pÎ<~ce fabriquée par cette usine : cil<' <~st dd<'dm•nsc·. (~a](']ti<·r la
probabilit(~ que cette pièce ait ét(~ produit<' par la 111ad1i11c· Il.
19. Dans une école, 4 % des garçons d 1 % des fillc:s 11ws11n•11t. plus de
175 cm. Il y a 60% de filles dans ('d.tc- frol<'. 011 y d1oisit 1111 (:l<'vc au
hasard: il mesure 178 cnt. Cal(']ii<·r la prol>:1l>i!it{· q1w «<'soit. une fille.
56 1 57

....,,
3. Pmli:1/1ilil<"• co11ditionnC'lll'
20. a) 011 .id k 1111 d<~ (j fois cle suite. Quelle est la probahiliU' d'obtc~nir au
111oi11s Jill six?
h) Cornbien de fois faut-il jeter un dé pour avoir plus de 9 chances sur
1 () d'obtenir au moins un six?
21. Lors d'un contrôle de routine, lP sang de Ouin-Ouin a été analysé.
LP laboratoire lui apprend que le rÉ's11ltat du test, fiable à 99 %, s'est
r(~v(~)(~ positif. Il a pens(~ qu'il avait probablement contracté une maladie
rare qui ne frappe qu'un individu sur mille. Ouin-Ouin rentre à la
maison dhnoralis('. Lorsqu'il raconte l'histoire à 1\1. MilliqucL celui-ci
le rassure en prütendant que ce n'est pas si grave, puisque, d'apn's ses
calculs,
Ouin-Ouin aurait en réalité moins d'une chance sur dix d 'f,tre
effectivement atteint par la maladie.
M. Milliquet a-t-il raison?
22. On jette un dé 8 fois. Quelle est la probabilitl' d'obtenir
a) exacU:mnit 2 fois le nombre G?
b) exactement 4 nombres pairs?
c) moins de ;3 fois le nombre 6?
23. a) Chez un marchand de fruits, un avocat sur 10 en moyenne est pourri.
Une cliente en achète 10.
1) Calculer la probabilité qu'elle ait au moins un avocat pourri.
2) Calculer la probabilité qu'elle ait exactement un avocat pourri.
b) 1) S'il y a en moyenne un avocat pourri sur net qu'elle en achète n,
calculer la prohahiliU: qu'elle ait exactement un avocat pourri.
2) Calculer la limite quand n tend vers l'infini de cette probabilité.
c) Les avocats de ce marchand proviennent de trois pays A, B et C
à raison de respectivement 50 %, :m % et 20 %. Il constate que 1 %
des avocats fournis par le pays A sont pourris, 5 % pour D et 10 %
pour C. Une cliente achète un avocat.
1) Calculer la prohahilit(~ qu'il soit pourri.
2) Il est pourri. Calculer la probabilité qu'il provienne du pays A.
24. Lors d'un test d'adresse, on dispose de 3 fléchettes que l'on doit lancer
en direction d'une cible. On réussit le test (et on arrête dt~ lancer) dès
qu'une fiéchette a atteint le centre de la cible ou que deux fiéchettes
ont atteint la cible. Une personne se pr(~sentc au test. Pour celle-ci, on
estime la probabilité d'atteindre le centre de la cible avec une fléchette
à 0,25 alors que la probabilité d'atteindre la cible ailleurs qu'au centre
!)8
1f
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1
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l~Xl'/'t'Îr·r'."
est estimée à 0,50 (la probabilité de rater la cible est donc estirnc'·1· ;'1
0,25).
a) Quelle est la probabilité de rfa1ssir le test?
h) Si cette personne réussit le test, quelle est la probabilité qu'une
seule fléchette ait atteint la cible'?
c)
Trois personnes pour lesquelles on estime les probabilités comme
pour celle ci-dessus se présentent au test. Quelle est la probabilité
1) qu'aucune d'entre clics ne le réussisse?
2) qu'au moins l'une d'entre elles ne le réussisse pas'?
25. Un inspecteur chargé d'une enquC~te criminelle est convaincu à fî0% de
la culpabilité d'un suspect. A cc stade de l'enquête, ou découvre que
le criminel cherché est gaucher. Le suspect l'est aussi, comme 20 % d('
la population. Cela renforcc-t-il sensiblement la conviction de l'inspec-
teur?
lndication : on admet que la probabilité qu'un individu soit gaucher si
on sait qu'il est non coupable est également de 20 %.
26. On considère trois cartes. Les deux faces de la première ont ôt(~ coloriées
en noir, les deux faces de la deuxifane en rouge et la troisième a une
face noire et une rouge. On rnflange ces trois cartes dans un chapeau
et on en tire une qu'on pose sur la table. La face apparente est rouge.
Calculer la probabilité que l'autre face soit noire.
27. Le jeu de la boule noire se joue à deux. Avant chaque partie, 011 place
dans une urne 5 boules blanches et deux boules noires. Les journ1rs
tirent alors alternativement une boule de l'urne, jusqu'à cc qu(' l'un des
deux tire une houle noire. Ce joueur perd la partie et le jeu s'arrf~t.<'.
Une partie peut se jouer avec ou sans remise.
Paul et Jeanne décident de jouer au jeu de la boule noire. Paul dl«·duc
le premier tirage.
a) On suppose qu'ils jouent sans remise.
1) Quelle probabilité chaque jouc~ur a-t-il de gagn('r la part.il' ·1
2) Si Paul perd, quelle est la probabilitî' que cc soit. <l so11 t roisi(·11w
tirage?
b) On suppose qu'ils jouent avec remise.
Trouver la plus petite valeur d(' 11 pom laq1l<'ll1· J;i prohahilit<" d<·
voir la partie se terminer <'Il /1 t.irag<'S 011 111oi11s <'st pl11s gra11d<' q11l'
0,99.
.')!)

.....,,.
3. l'ml in 11i I i 1 (• l'o11di Uonnelle
28. 1 )a11s 111t<· urne, il y a des boules blanches et des boules noires :· 10 au
t.otal. Combien y a-t-il de boules blanches si l'on sait que, lorsqu'on
tin• successivement 3 boules de cette urne, la probabilitü d'obtenir au
moins une boule blanche vaut
a) 0,657 et que l'on tire avec remise
b)
5
6
et que l'on tire sans remise
29. Réaliser l'arbre des possibilités du jeu des trois coffrets (voir page 52).
60
1f
1
·4
...!
Réponses aux exercices <111 d1n.pit ,.,. .ï
3.5
Réponses aux exercices du chapitre 3
1.
a) ~
,)
1
b) 6
2
c) TT
102
:î25
2.
3.
2
a) 5
b) 1~
1
c) TT
d) ~
14
5G
4.
5. 0,95
6.
2
a) 5
2
b) 3
c) ?o
7. 2
~
5, :3
8.
a) S
b) "
[)
c) t
9. a) oui
b) non
10. k
11. 1:3
12. a) ~
b) i
) 671 . 125
c 1297 ' 671
14. a) d(~pendants b) indépendants c) d(~pPrnlant s
d) dépendants sauf pour n = ;3
2
15. a) 5
61

..,,,
3. Pm/1n/1ifili'• nm<iitiomwllc
li) '..!
m. r,
1
17. a) Til
2
1,) "'
1
c:) 2
18. 41 %
3
19. îî
20. a) 0,665
b) 1:)
21. Milliquet, car la probahilitô d'être malade sachant que le test est positif
vaut 0,0902
22. a) 0,260
b)
0,27:3
c) 0,865
23. 1) a) O,fi51 b) 0,387
2)
a)(l-_l_)n-1
n
b) ~
:~) a) 0,04 b)
~
24. a) ~~
b) l~J
c) 0,0013; 0,2935
25. oui, la probabilité augmente à 88 %
1
26. 3
27. a) 1) ~; ~ 2) t
b) 14
28. a) 3
b) 4
62
L\ ~
' - ::
_,..-
Réponses aux exercices <111 d1n11il ,.,, .ï
29. L'arbre est le suivant
1 1
- -
:~ 1 ;)
3
Le cadca u est e11
1 A 1 l B 1 1 c 1
~
~
YIN
.3
,)
3
Le joueur choisit
A B
(}
A B
c,
A B c
~/\~
li
11 li
~/\~
li 11
li
11\~
L'animateur ouvre
B c c B c A c A
I3 A A B
1 I il i I
il il il
il il
il il il
i I
Le jommr ouvre
c B A A
lJ C' A B c c B A
il il il il
il il
il 11
il 11
il 11
Gain ou perte
® ® © © © ® ® © © © ® ®
On observe qu'il y a le même nombre de configurations perdant.es que
de configurations gagnantes. Cependant, en calculant les prohabilitüs
de chaque branche. on obtient :
. , ( 1 1 2
p(gam) = 6 - · - · 1 · 1 · i) = -
3 3 3'
tandis que
(1 l 1 ) 1
p(perte) = 6 3 · 3 · 2 · 1 · 1 = 3.
fi:~
~

...,,.---
1lf
64
-'
4. Variable aléatoire
discrète
4.1
Définitions et exemples
Il arrive souvent qu'à propos d'une épreuve, ou soit amené à attribuer des
valeurs numériques à ses issues.
Considérons uu univers U associé à une épreuve. Une variable aléatoire
est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue.
Si
l'ensemble des valeurs de cette fonction est fini ou dénombrable, ou dit
que cette variable aléatoire est discrète.
On note X une variable aléatoire discrète et x1, :c
2,
... , :z:;, ... les valeurs
qu'elle prend.
Exemple 1. Lors du jet d'un dé, on associe souvent les nombres 1, 2, 3,
4, .5, 6 a11x issues correspondantes de l'épre11ve.
l'\1ais ce n'est pas le seul choix possible. S11pposons que, lors d11 jet de ce
dé,
on gagne 5 francs lorsque 6 apparaît et q11 'on perde un franc dans
tous les autres cas. Il est alors naturel d'associer la valeur -1 aux iss11cs
"obtenir l", "obtenir 2'', "obtenir 3", "obtenir 4" et "obtenir 5" et la valc11r
5 à l'issue "obtenir 6". La question ''Q11clle est la probabilité de perdre
un franc?" peut alors étrc remplacée par "Quelle est la probabilité que fa
variable aléatoire X prenne la valeur -1 ?"
On peut ainsi écrire P(perdrc un franc) = P(X = -1) = ~
Exemple 2. On lance une pièce de monrn1ic trois fois de suite d 011
s'intéresse au nombre de fois que "pile" appar;iJt. J,a varia/il<' a/(•;üoirc
X, qui décrit le nombre de fois que pile apparaît,, pr<'11d s<'s v11/<'11rs da11s
;)
l'ensemble {O; 1; 2; :3} et 011 a P(X = 1) = - .
8
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