Topologie : Quelques précisions.

Topologie :
Quelques précisions.
Jean-Baptiste Campesato
8 septembre 2009
Pour plus
d’informations
(définitions et
explications des
définitions) sur
l’intersection et la
réunion voir
I Théorie des ensembles
(E, II, p22/23) de N.
Bourbaki
Il s’agit de préciser la note en marge du document sur la caractérisation des topologies par
leurs voisinages.
En effet on définit souvent une structure topologique (ou topologie) comme un ensemble O de
parties d’un ensemble E vérifiant :
• ∅ ∈ O et E ∈ O.
• Toute réunion d’ensembles de O appartient aussi à O.
• Toute intersection finie d’ensembles de O appartient à O.
Cependant seuls les deux derniers points sont nécéssaires, en effet ils impliquent le premier,
c’est que nous allons éclaircir ici.
[
D’après la définition si on se donne (Xi )i∈I une famille de O avec I fini alors
Xi ∈ O et
i∈I
\
Xi ∈ O.
i∈I
Rappellons que
[
Xi = {x \ (∃i)(i ∈ I et x ∈ Xi )}
i∈I
et que
\
Xi = {x \ x ∈ E et (∀i)((i ∈ I) ⇒ (x ∈ Xi ))} (la condition x ∈ E permet d’avoir
i∈I
une relation collectivisante lorsque I = ∅).
[
Ainsi, si I = ∅ la relation (∃i)(i ∈ I et x ∈ Xi ) est toujours fausse et donc
Xi = ∅ et donc
i∈I
∅
\∈ O. Et toujours si I = ∅ la relation (∀i)((i ∈ I) ⇒ (x ∈ Xi )) est toujours vraie et donc
Xi = E et donc E ∈ O.
i∈I
On a donc retrouvé le premier point à partir des deux derniers.
Montrons cependant une autre subtilité :
(
∀O1 , O2 ∈ O, O1 ∩ O2 ∈ O
Toute intersection finie d’ensembles de O appartient à O ⇔
E∈O
Il ne faut pas oublier le second point dans cette équivalence, en effet :
.
⇒ : le premier point est immédiat, le second a été montré ci dessus.
⇐ : tout le problème réside dans le fait qu’il ne faut pas oublier de traiter du cas de
l’intersection vide.
Soit (Xi )i∈I une \
famille de O avec I fini.
• Si I = ∅ alors
Xi = E ∈ O d’après la seconde hypothèse.
i∈I
\
• Sinon si I 6= ∅ on montre par récurrence sur n = card (I) que
Xi ∈ O grâce à
i∈I
la première hypothèse.
Il faut retenir que
( pour montrer le troisième point de la définition d’une topologie il faut et il
∀O1 , O2 ∈ O, O1 ∩ O2 ∈ O
suffit de vérifier
.
E∈O
Si l’hypothèse ∅ ∈ O et E ∈ O est rajoutée dans les cours c’est donc pour penser à traiter ce
point (prendre en compte le cas particulier I = ∅), bien que ce soit inutile si les deux derniers
points sont traités rigoureusement.