Devoir 1
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MAT-145 H-2014 Devoir 1 Geneviève Savard ÉTS 1 Devoir 1 • Équipe # • Nom 1 : • Nom 2 : • Nom 3 : • Ce devoir compte pour 7 % de la note finale. Les solutions seront présentées en classe après la remise. Conservez une photocopie de votre travail. • À faire en équipe de 3 étudiants. Cela ne signifie pas que le travail doit être divisé en 3 puis broché 5 minutes avant la remise ! Les membres de l’équipe doivent lire, comprendre et vérifier chacune des réponses. • À remettre au plus tard le mercredi 12 février à 13h30 dans la chute à devoirs du SEG ou en classe. • Présentez des solutions commentées : je ne veux pas seulement voir vos calculs, je veux voir des phrases ou des sous-titres décrivant les principales étapes de votre raisonnement. Identifiez bien les variables et les unités utilisées. • Indiquez clairement la ou les mesures prises pour valider ou vérifier votre réponse : graphes, calculs, analyse du phénomène, outils informatiques... • Des points seront accordés pour la clarté de la rédaction et pour la vérification. • Attention à l’orthographe. Dix pour cent des points pourraient disparaître. Question 1 (30 points) Le trapèze DEFG est inscrit dans un cercle de rayon 5 cm. Ses sommets F et G sont fixes tandis que D et cm (fixe mais différente E peuvent glisser sur le cercle. Il a une base b = FG fixe qui mesure pour chaque équipe) et une base B = DE variable. Quelle est la longueur de la base B qui maximise l’aire du trapèze ? Quelle est cette valeur maximale de l’aire ? Et quelle est alors la valeur de l’angle α ? F IGURE 1 Exemple d’un trapèze inscrit dans un cercle de rayon de 5 cm dont la base b mesure 4,8 cm. • Indiquez vos réponses numériques dans l’espace ci-dessous. Gardez une grande précision dans vos calculs ; arrondissez les réponses finales à la sixième décimale. • Sur des feuilles supplémentaire, expliquez très clairement votre démarche en l’accompagnant des graphiques pertinents. • Présentez le calcul des dérivées au long (à la main). Sauf si mention explicite, vous pouvez utiliser la TI ou un logiciel pour effectuer les opérations menant aux solutions : résolution d’équation, graphes, etc. Cependant, indiquez clairement votre démarche mathématique. Longueur de la base B qui maximise l’aire du trapèze : Aire maximale : Valeur de l’angle α : Mesure du segment GD : MAT-145 H-2014 Devoir 1 Geneviève Savard ÉTS 2 Question 2 (30 points) Un réservoir de forme trapézoïdale est rempli avec un débit de 4 m3 /min. Une coupe transversale du réservoir est illustrée à la figure 2. La petite base du trapèze mesure 4 m, la grande base mesure 8 m et la hauteur mesure 4 m. La hauteur du liquide est notée h et mesurée en mètres. La profondeur du réservoir n’apparaît pas sur cette figure ; elle est de 2 m. F IGURE 2 Coupe transversale du réservoir. (a) Calculez le temps requis pour remplir le réservoir s’il est initialement vide. (b) Calculez la vitesse moyenne d’élévation de la hauteur durant le remplissage. (c) Calculez la vitesse à laquelle la hauteur du liquide s’élève au moment où h = 1 m et au moment où h = 3 m. (d) À l’instant où la hauteur est de 1 m, sa vitesse d’élévation augmente-elle ou diminue-t-elle ? À quel taux ? (e) Déterminez quelle sera la hauteur du liquide au moment où h s’élèvera au taux de 3 4 m/min. • Indiquez vos réponses numériques dans les espaces ci-dessus. Gardez une grande précision dans vos calculs. • Sur des feuilles supplémentaire, expliquez très clairement votre démarche en l’accompagnant des graphiques pertinents. • présentez tous les calculs au long (à la main). MAT-145 H-2014 Devoir 1 Geneviève Savard ÉTS 3 Question 3 (15 points) Un objet de masse m est tiré à vitesse constante sur une surface horizontale par l’intermédiaire d’une corde sur laquelle est exercée une force. Si la corde fait un angle θ avec le plan, alors l’intensité de la force (en Newtons) est donnée par F(θ ) = µ mg µ sin(θ ) + cos(θ ) où µ est une constante appelée coefficient de frottement cinétique (qui dépend des surfaces en contact) et g est la constante 9,81 m/s2. (a) Calculez le taux de variation mesure. dF dθ en présentant les détails des calculs. Donnez aussi ses unités de (b) Évaluez le taux obtenu en (a) lorsque m = 8 kg , θ = π4 et µ = 0,4. De plus, expliquez à quelqu’un qui ne connaît pas le calcul différentiel ce à quoi correspond le signe de cette valeur dans le contexte. (c) Considérez le cas particulier d’un objet de 8 kg se déplaçant sur une surface horizontale dont le coefficient de frottement est de 0,4 et où la corde peut être ajustée pour former un angle θ entre 0 à 70 degrés. Quelle valeur doit-on donner à l’angle θ (valeur exacte et valeur arrondie) si l’on souhaite que l’intensité de la force requise pour tirer l’objet soit minimale ? Quelle sera alors l’intensité de la forcer equise pour tirer l’objet ? Quelle valeur doit-on donner à l’angle θ (valeur exacte et valeur arrondie) si l’on souhaite que l’intensité de la force requise pour tirer l’objet soit maximale ? Quelle sera alors l’intensité de la force requise pour tirer l’objet ? Présentez votre démarche sur une feuille supplémentaire. Validez votre résultat en imprimant le graphique approprié. Identifiez bien les axes. MAT-145 H-2014 Devoir 1 Geneviève Savard ÉTS 4 Répondez aux 2 dernières questions sur des feuilles supplémentaires que vous brocherez à ce questionnaire. Tous les calculs doivent être effectuésà la main. Question 4 (10 points) Reprenons le contexte de l’exercice précédent mais en considérant cette fois le coefficient de frottement comme la variable étudiée. Autrement dit, l’on s’intresse à l’influence de µ sur la force dans le cas où l’angle θ demeure fixé à une valeur supérieure à zéro et inférieure à π2 radians. Bien sûr, le coefficient µ demeure toujours strictement positif. F(µ ) = µ mg µ sin(θ ) + cos(θ ) (a) Calculez le taux de variation dF d µ en présentant les détails des calculs. De plus, expliquez à quelqu’un qui ne connaît pas le calcul différentiel ce à quoi correspond le signe de cette valeur dans le contexte. (b) Si le coefficient de frottement µ pouvait devenir très très grand (surface de plus en plus rugueuse), la force requise pour tirer l’objet deviendrait-elle elle aussi énorme ou resterait-t-elle inférieure à une certaine borne ? Justifiez à l’aide d’arguments mathématiques. Validez votre résultat en imprimant le graphique approprié. Identifiez bien les axes. Question 5 (15 points) Le livre «Les pesticides dans le sol, Conséquences agronomiques et environnementales» de Raoul Calvet présente, à la page 191, une formule décrivant la quantité absorbée par unité de masse d’absorbant (qae ) en fontion de trois variables : Kl , Ce et qm . qae = qm KLCe 1 + KLCe Il ne s’agira pas ici de comprendre la chimie derrière, mais de s’exercer avec les outils du calcul différentiel pour vérifier certains résultats que l’on retrouve dans le livre. ae (a) Calculez le taux de variation dq dCe en présentant les détails des calculs. Vérifiez ainsi la dérivée que l’on retrouve en haut de la page 192. (b) Toujours à la page 192, l’auteur calcule la limite de qae lorsque Ce tend vers l’infini. Vérifiez le résultat en présentant le détail du calcul de cette limite. (c) À la page 201, l’auteur présente une approximation de qae valide lorsque KL et Ce sont très petits (formule 15). Pour vérifier cette formule, procédez de la façon suivante : •remplacez KLCe par la lettre x dans la formule de qae •dérivez qae par rapport à x en traitant qm comme une constante •donnez l’équation de la droite tangente à la courbe y = qae (x) en x = 0 •remplacez x par KLCe . Le livre est à l’adresse raccourcie suivante : http://goo.gl/66phwy ou encore http://books.google.ca/books?id=YaSjZm4E0EwC&pg=PA201& lpg=PA201&dq=approximation+lin%C3%A9aire&source=bl&ots=mGcZESTob5& sig=mnVeqEvq8gHtVcUmhFBqF9qIQwY&hl=fr&sa=X&ei=TnDdUtufAe2G2wWNl4G4Aw& ved=0CDwQ6AEwAjgU#v=onepage&q&f=false Attention • Une travail noté (3 %) aura lieu lors du cours 7. Il sera fait en équipe, portera sur la dérivation implicite et nécessitera l’utilisation de la calculatrice. • Le mini-test d’une heure aura lieu tel que prévu au cours 8. Il portera sur les pages 1 à 80 des notes de cours. La calculatrice sera interdite. • L’examen intra aura lieu lors du cours 14 (et non le cours 13 tel qu’indiqué sur le plan de cours). L’examen porte sur les chapitres 1 à 3, soit toute la matière du cahier de notes de cours. Il dure 3 heures et comporte une première partie sans aucune calculatrice suivie d’une seconde partie avec calculatrice TI Nspire. Tout comme au mini-test, vous aurez droit à un résumé personnel de 2 feuilles recto-verso ainsi qu’à la table des dérivées.
