Cours ordre et opérations

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ORDRE ET OPERATIONS
I) Définition :
1) Symboles :
a < b signifie que a est strictement inférieur à b
a > b signifie que a est strictement supérieur à b
a ≤ b signifie que a est inférieur ou égal à b
a ≥ b signifie que a est supérieur ou égal à b
On dit que les symboles > , < , ≤ et ≥ caractérisent une relation d’ordre.
Exemples :
a) 5 < 8 −3 > −7
x ≥ 2 signifie que x est supérieur ou égal à 2.
x ≤ −1 signifie que x est inférieur ou égal à −1.
b) Les relations suivantes sont-elles vraies ?
7 ≥ 6 −1 ≤ −5 3 ≤ 3 −4 > −4
c) Que signifient les relations suivantes ?
x < 0
x > 0
x ≥ 0
x ≤ 0

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Remarque :
a < b signifie que a est strictement inférieur à b mais aussi que b est
strictement supérieur à a.
2) Définition :
Une inégalité compare deux nombres à l’aide d’un des symboles : > , < , ≤
et ≥ .
Les expressions ou les nombres situés de part et d’autres d’un symbole sont
appelés les membres de l’inégalité.
L’expression ou le nombre situé à gauche du symbole est appelé le premier
membre.
L’expression ou le nombre situé à droite du symbole est appelé le second
membre.
Exemples :
x – 8 ≤ 5 est une inégalité.
x – 8 est le premier membre et 5 est le second membre.
Application :
a) Comparer les fractions suivantes
2
5 et
4
9.
b) Comparer les nombres suivants
3
10
23
× et
4
10
5
× .
c)
Conclusion.

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II) Signe d’une différence :
1) Propriété :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a > b alors a – b > 0
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a > b alors a = b + c où c est un nombre relatif strictement
positif
a – b = c or c > 0
donc a – b > 0
Exemple :
5 > −3 donc 5 – (−3) > 0
x ≥ 2 donc x – 2 ≥ 0
2) Propriété :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a – b > 0 alors a > b
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a et b deux nombres relatifs
Si a – b > 0 alors a – b = c où c est un nombre relatif strictement
positif
a = b + c or c > 0
donc a > b
Exemple :
7 – 4 ≥ 0 donc 7 ≥ 4
x – 5 < 0 donc x < 5

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Exercice :
x est un nombre relatif tel que x + 9 ≤ 0.
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
III) Ordre et opérations :
1) Ordre et addition :
a) Propriété :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les
nombres a et b.
Si a > b alors a + c > b + c
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si a > b alors a – b > 0
a – b + c – c > 0
a + c – b – c > 0
a + c – ( b + c ) > 0
a + c > b + c
Exemple :
x – 15 < 3
x – 15 + 15 < 3 + 15
x < 18

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2) Ordre et soustraction :
a) Propriété :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Les nombres a – c et b – c sont rangés dans le même ordre que les
nombres a et b.
Si a > b alors a – c > b – c
Cette propriété reste vraie avec les trois symboles < , ≤ et ≥ .
Justification :
Soit a, b et c trois nombres relatifs
Si a > b alors a – b > 0
a – b + c – c > 0
a – c – b + c > 0
a – c – ( b – c ) > 0
a – c > b – c
Exemple :
x + 21 ≥ 16
x + 21 – 21 ≥ 16 – 21
x ≥ − 5
3) Exemples :
a) Soit x un nombre relatif tel que x – 3 < 8
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.
Soit x un nombre relatif tel que x + 4 > 5
En déduire une inégalité dont x est le premier membre.