Compléments d'algèbre linéaire I Bases I.A I.B I.C I.D I.E I.F I.G I.H I.I Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou une famille) Partie génératrice d'un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . Familles nies libres, familles nies liées . . . . . . . . . . . . Familles innies libres, familles innies liées . . . . . . . . . . Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimension nie : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application linéaire dénie par une base et son image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . . . . . II.A Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.B Somme directe ; sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . II.C Cas particulier où E est de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIIFormule du rang III.A Noyau, image d'une application linéaire . III.B Rang d'une application linéaire . . . . . . III.C Formule du rang . . . . . . . . . . . . . . III.D Une conséquence importante de la formule . . . . . . du . . . . . . . . . rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 6 6 7 9 . 9 . 11 . 11 . 12 IV Exemples d'endomorphismes d'un espace vectoriel 12 V Changement de base 15 VI Trace d'une matrice carrée 17 IV.A Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.B Projecteurs (ou projections vectorielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.C Automorphismes involutifs (ou symétries vectorielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 V.A Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 V.B Eet d'un changement de base sur la matrice-colonne d'un vecteur . . . . . . . . . . . 16 V.C Eet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . 16 VI.A Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VI.B Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VI.C Trace d'un produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VI.D Trace d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel sur K = R ou C. Les vecteurs seront en général notés par des lettres latines x, y, a, u etc., éventuellement coiées d'une èche : ⃗x, ⃗y , ⃗a, ⃗u, et les scalaires seront représentés par des lettres grecques : α, β, λ, µ etc... I Bases I.A Combinaisons linéaires Dénition 1. Soit A une partie nie ou innie de E . Soit ⃗x ∈ E . → → →) de vecteurs ⃗x est dit combinaison linéaire d'éléments de A s'il existe une famille nie (− a1 , − a2 , . . . , − a k de A, et k scalaires α1 , α2 , . . . , αk tels que : → − → ⃗x = α1 − a1 + α2 → a2 + · · · + α k − a k 1 Exercice 1 1 E = M2 (K), M = 1 α 0 0 1 0 1 0 , I2 = 0 1 1 1 0 0 0 0 . 1 M 2 est-il combinaison linéaire de I2 et de M ? Montrer que M 3 est combinaison linéaire de I2 et M . [cal201] Exercice 2 E = RR (espace vectoriel des applications de R dans R), A est la famille (fa )a∈R , où fa : x 7→ eax . Les fonctions suivantes sont-elles combinaisons linéaires d'éléments de A : g1 : x 7→ 2 ch x, g2 : x 7→ sh2 x + ch2 x, g3 : x 7→ |x| [cal203] I.B Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou une famille) Dénition 2. On appelle Vect A l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A. Remarque 1. {− →} Par convention, Vect ∅ = 0E . Théorème 1. Vect A est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient A. Démonstration. Il s'agit de démontrer que Vect A est un sous-espace vectoriel de E , que Vect A contient A, et que tout sous-espace vectoriel qui contient A contient Vect A. Vect A est un sous-espace vectoriel de E : − → − → → Vect A est non vide car 0E ∈ Vect A. En eet, si − x est un vecteur quelconque de A, le vecteur 0E peut s'écrire − → 0 x , et apparaît donc comme combinaison linéaire de vecteurs de A. La somme de deux éléments de Vect A, c'est-à-dire la somme de deux combinaisons linéaires de vecteurs de A, est aussi une combinaison linéaire de vecteurs de A, donc c'est un élément de Vect A. → → Enn, si − x ∈ Vect A, et si λ ∈ K, alors λ− x est combinaison linéaire d'éléments de A, donc appartient à Vect A. → → → Vect A contient A : en eet, quel que soit − x ∈ A, on a − x = 1− x ∈ Vect A. → Tout sous-espace vectoriel F qui contient A, contient Vect A : en eet, un élément − x de Vect A peut s'écrire − → x = n ∑ → → → αi − ai , où les αi sont des scalaires de K, et les − ai sont des vecteurs de A. Mais comme A ⊂ F , les − ai i=1 ∑ → → sont aussi des vecteurs de F . Et − x = αi − ai appartient donc à F , car F , en tant que sous-espace vectoriel de n i=1 E , est stable pour l'addition et pour la loi externe, donc stable par combinaison linéaire. Il est ainsi prouvé que Vect A ⊂ F . I.C Partie génératrice d'un sous-espace vectoriel Dénition 3. Si F est un sous-espace vectoriel de E et si A est une partie de F telle que F = Vect A, on dit que A engendre F , ou que A est une partie génératrice de F . → On parle aussi de famille génératrice (− ai )i∈I . La diérence fondamentale est que dans une famille, il peut y avoir répétition de vecteurs. 2 I.D Familles nies libres, familles nies liées Dénition 4. →, − → − → Une famille nie (− x 1 x2 , . . . , xn ) est dite libre si : ∀α1 , α2 , . . . , αn ∈ K, [ − ] → →+α − → − → − α1 x 1 2 x2 + · · · + αn xn = 0E =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0 →, − → − → La famille nie (− x 1 x2 , . . . , xn ) est dite liée dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe α1 , α2 , . . . , αn ∈ → →+α − → − → − K, n on tous nuls, tels que α1 − x 1 2 x2 + · · · + αn xn = 0E Les vecteurs sont dits linéairement indépendants dans le cas d'une famille libre, et linéairement dépendants (ou liés), dans le cas d'une famille liée. Pour deux vecteurs liés, on dit aussi qu'ils sont colinéaires. I.E Familles innies libres, familles innies liées Dénition 5. → La famille innie (− xi )i∈I est dite libre si par dénition toute sous-famille nie est libre ; elle est dite liée dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe une sous-famille nie qui est liée. Remarque 1. En particulier, une famille qui contient le vecteur nul est liée de même qu'une famille qui contient deux vecteurs égaux. En eet, dans chacun des deux cas, il existe une sous-famille nie de deux vecteurs qui est liée. Exercice 3 E = RR ; on considère la famille (fa )a∈R , où fa : x 7→ ax . Montrer qu'il s'agit d'une famille libre. [cal206] Exercice 4 Même exercice avec fa : x 7→ |x − a|. [cal207] Théorème 2. →, − → − → − → − → −−−→ − → Si la famille (− x 1 x2 , . . . , xn ) est liée, tandis que la famille (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) est libre, alors xn est − → − → − − − → combinaison linéaire de x1 , x2 , . . . , xn−1 . →, x − →, . . . , x − →) est liée, donc il existe α , α , . . . , α ∈ K, non tous nuls, tels que : Démonstration. La famille (x− n n 1 2 1 2 → →+α − → − → − α1 − x 1 2 x2 + · · · + αn xn = 0E Si αn était nul, on aurait : → →+α − → −−−→ − α1 − x 1 2 x2 + · · · + αn−1 xn−1 = 0E l'un au moins des nombres α1 , α2 , . . . , αn−1 étant non nul, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse : la famille →, − → −−−→ (− x 1 x2 , . . . , xn−1 ) est libre. On a donc nécessairement αn ̸= 0. − → comme combinaison linéaire de x − →, x − →, . . . , x −−−→ : Maintenant on revient à la première équation, qui nous permet d'exprimer x n − x→ n = n−1 ∑ ( i=1 − 1 2 αi )− → xi αn − → − → → Pour deux vecteurs, ce dernier théorème s'énonce : si → x et − y sont liés, et − x = ̸ 0, − → − → alors il existe λ ∈ K tel que y = λ x . Remarque 2. 3 n−1 I.F Bases Dénition 6. − Soient E un K-espace vectoriel, et E = (→ ei )i∈I une famille de vecteurs de E : E est une base de E ⇐⇒ déf E est libre et génératrice. Théorème 3. − Soient E un K-espace vectoriel, et E = (→ ei )i∈I une famille de vecteurs de E : → tout vecteur − x de E s'exprime de manière unique E est une base de E ⇐⇒ comme combinaison linéaire des vecteurs de E Les coecients qui interviennent dans cette combinaison linéaire s'appellent les coordonnées, ou les → composantes, de − x dans la base E . Remarque 3. La combinaison linéaire est nie en ce sens que seulement un nombre ni de vecteurs de E interviennent avec un coecient non nul. Pour tous les autres vecteurs de E , la coordonnée → correspondante de − x est nulle. Démonstration. Ce théorème a été démontré en Sup pour une famille nie. Pour une famille innie, il est un peu pénible, et on l'admet ! I.G Dimension nie : rappels On donne ici un rappel rapide, sans démonstration, de notions importantes vues en Sup. Dénition 7. E est dit de dimension nie s'il possède une partie génératrice nie. Théorème 4 (et dénition de la dimension). Si E est de dimension nie, alors E possède des bases, qui ont toutes le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé la dimension de E . Remarque 4. → − Par convention, dim{ 0 } = 0. Théorème 5 (de la base incomplète). Si E est de dimension nie, toute partie libre peut être complétée pour obtenir une base. Théorème 6 (Isomorphisme entre E et Kn , lorsque E est de dimension n). Si E est de dimension n, E est isomorphe à Kn (via une base). − − − → Précisons : soit E = (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ x de E s'écrit de manière n ) une base de E . Tout vecteur x1 n x2 ∑ − → − unique sous la forme → x = xi − ei . Et l'application φ : → x 7→ . est un isomorphisme de .. i=1 xn E dans Kn . Cela signie que chaque vecteur est représenté par une unique matrice-colonne (φ est une application), qu'inversement une matrice-colonne dénit un vecteur unique (l'application φ est 4 → bijective), et que si φ(− x)= x1 x2 .. . → y)= et φ(− y1 y2 .. . → → x +− y ) = λ , alors φ(λ− x1 x2 .. . + y1 y2 .. . xn yn xn yn (φ est linéaire). Lorsqu'on choisit de travailler avec les coordonnées, c'est-à-dire au fond d'utiliser cet isomorphisme (non intrinsèque 1 ), il ne faut pas oublier de préciser la base. Et on peut écrire : x1 x2 − → x : . .. xn → Le signe " = " à la place de " : " serait abusif. En eet, − x est représenté par cette matrice-colonne, n mais ne lui est pas égal (on n'a pas E = K , mais E isomorphe à Kn ). Théorème 7. Si dim E = n, toute famille libre a au plus n éléments, et si elle en a n, c'est une base. Toute famille génératrice a au moins n éléments, et si elle en a n, c'est une base. Théorème 8. Si dim E = n, alors tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension nie 6 n. Et si dim F = n, alors F = E . Remarque 5. Ce théorème s'applique souvent pour des sous-espaces vectoriels : si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de E , de dimensions nies, alors : } F1 ⊂ F2 =⇒ F1 = F2 dim F1 = dim F2 Exercice 5 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n > 1, f un endomorphisme nilpotent non nul de E et p le plus petit entier tel que f p = 0. ( ) 1. Montrer qu'il existe x ∈ E tel que la famille x, f (x), f 2 (x), . . . , f p−1 (x) soit libre. 2. En déduire f n = 0. [cal207ter] I.H Exemples de bases Les exemples suivants doivent être connus ; il est quasi-immédiat 1 0 Base canonique de Kn : constituée par les vecteurs 0 , .. . 0 que ce sont des bases. 0 0 0 0 0 1 0 , 1 ,..., 0 .. .. .. . . . 0 0 1 . Base canonique de Mpq (K) (matrices à p lignes, q colonnes, à coecients dans K) : constituée par les matrices Eij dont tous les coecients sont nuls, sauf celui de la ligne i et de la colonne j , qui est égal à 1. Mpq (K) est donc de dimension p × q . 1. c'est-à-dire qu'il dépend de la base 5 Base canonique de K[X] : c'est la famille (X k )k∈N . C'est bien sûr une base innie, mais tout polynôme est combinaison linéaire nie des éléments de cette base. Remarque 6. Retenir que toute famille de polynômes de degrés deux à deux diérents est libre. Base canonique de Kn [X] (sous-espace vectoriel de K[X] constitué par les polynômes de degré 6 n) : c'est la famille (X k )06k6n . Exercice 6 ( 2) Soit A une matrice carrée de taille n. Montrer que In , A, A2 , . . . , An est liée et en déduire qu'il existe un polynôme non identiquement nul qui annule A. [cal208bis] I.I Application linéaire dénie par une base et son image Théorème 9. → → Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit U = (− ui )i∈I une base de E , et soit V = (− vi )i∈I une famille de vecteurs de F . Il existe une et une seule application linéaire f : E → F , telle que : → → ∀i ∈ I, f (− u )=− v i i En clair : une application linéaire est connue dès qu'on connaît les images des vecteurs d'une base. → simpliée. Soit − x ∈ E∑ . Il existe une unique sous-famille nie J de I et une unique famille de coecients non nuls − → − → (αi )i∈J tels que : x = αi ui . On a alors nécessairement (à cause de la linéarité) : i∈J → f (− x)= ∑ → αi − vi i∈J Il sut de vérier que f , ainsi dénie, est linéaire. II Sous-espaces vectoriels supplémentaires II.A Somme de deux sous-espaces vectoriels Dénition 8. { } → →+− → / − →∈F , − →∈F F1 + F2 = − x =− x x x x 1 2 1 1 2 2 → C'est donc l'ensemble des vecteurs − x de E qui sont sommes d'un vecteur de F1 et d'un vecteur de F2 . Exercice 7 Montrer que : F1 + F2 = Vect(F1 ∪ F2 ) (i.e. F1 + F2 est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient F1 ∪ F2 ). [cal209] II.B Somme directe ; sous-espaces vectoriels supplémentaires Dénition 9. Soient F, F1 , F2 des sous-espaces vectoriels de E . On dit que F est somme directe de F1 et F2 , et on note F = F1 ⊕ F2 si : − → F = F1 + F2 et F1 ∩ F2 = {0E } Si E lui-même est somme directe de F1 et F2 , alors F1 et F2 sont appelés sous-espaces vectoriels supplémentaires. 6 Théorème 10. E = F1 ⊕ F2 tout vecteur de E s'écrit, de manière unique, comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de F . 1 2 ⇐⇒ Démonstration. L'équivalence à établir peut se détailler ainsi : (a) E = F1 + F2 {− →} (b) F1 ∩ F2 = 0E ⇐⇒ (1) ∀− → → ∈ F , ∃− → − → − → − → x ∈ E, ∃− x 1 1 x2 ∈ F2 / x = x1 + x2 (2) cette décomposition est unique (=⇒) Comme (a) et (1) signient la même chose, seul (2) → est à établir : supposons qu'on ait deux écritures de − x comme somme d'un vecteur de F1 et d'un vecteur de F2 : − → →+− →=− → → x =− x x y1 + − y2 1 2 Alors on a : F2 ⃗ x ⃗ x2 − →−− → → → x y1 = − y2 − − x 1 2 et ce vecteur apparaît comme un vecteur de F1 (à gauche du signe "=") et comme un vecteur de F2 (à droite du signe "="). C'est donc un élément de F1 ∩ F2 , et il est nul d'après →=− → →=− → (b). Donc − x y1 et − x y2 , et l'unicité est établie. 1 2 ⃗ x1 F1 − → → (⇐=) Seul (b) est à établir. Supposons que F1 ∩ F2 ait un élément − x ̸= 0E . Alors on peut écrire : − → − → → − → → x =− x + 0E = 0E + − x en contradiction avec (2) ! Remarque 7. Dans les situations faisant intervenir une somme directe, il est souvent utile de faire un schéma, comme ci-dessus. Mais bien entendu, ce schéma se fait en dimension 2, ou 3 avec perspective, alors que les espaces vectoriels qu'on représente sont de dimensions quelconques, éventuellement innies. Exercice 8 { } { } E = Mn (R), S = A ∈ E / tA = A (matrices symétriques), A = A ∈ E / tA = −A (matrices antisymétriques). 1. Montrer que Mn (R) = S ⊕ A. 2. Quelles sont les dimensions de Mn (R), S, A ? [cal212] Exercice 9 E = R[X]. Soit B ∈ E , tel que deg B = n > 1. On pose : { } F = BQ, Q ∈ R[X] et G = Rn−1 [X]. 1. Vérier que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E . 2. Montrer que E = F ⊕ G. [cal213] II.C Cas particulier où E est de dimension nie Dans tout ce paragraphe II.C, E est de dimension nie égale à n. Lemme 1 (partition d'une base). → → Soit E = (− e1 , − e2 , . . . , − e→ n ) une base de E . { } − → −→, . . . , − ∀p ∈ 1, . . . , n − 1 , on a : E = Vect(→ e1 , . . . , − ep ) ⊕ Vect(− ep+1 e→ n) 7 → → −→, . . . , − − → Démonstration. Posons F1 = Vect(− e1 , . . . , − ep ), F2 = Vect(− ep+1 e→ n ). Soit x ∈ E . Dans la base E : − → x = n ∑ → αi − ei = i=1 p ∑ → αi − ei + i=1 n ∑ → αi − ei i=p+1 → et − x apparaît comme somme d'un vecteur de F1 et d'un vecteur de F2 . D'où : E = F1 + F2 . → Soit − x ∈ F1 ∩ F2 . On a : ∑ → → → λi − ei parce que − x appartient à F1 , − x = p → − x = i=1 n ∑ → → µi − ei parce que − x appartient à F2 . i=p+1 Par diérence, on obtient : → → → −→ + · · · + (−µ )− → − λ1 − e 1 + · · · + λp − ep + (−µp+1 )− ep+1 n en = 0 → L'indépendance linéaire des vecteurs − e1 , . . . , − e→ n montre que tous les coecients de cette combinaison linéaire sont nuls, {− − → →} → et par suite que − x = 0 . On a donc F1 ∩ F2 = 0 . On conclut : E = F1 ⊕ F2 Théorème 11 (existence de supplémentaires). Si E est de dimension nie, tout sous-espace vectoriel de E admet des supplémentaires. Démonstration. Soit F un sous-espace vectoriel de E . F est lui-même de dimension nie, inférieure ou égale à la dimension de E . On introduit une base U de F ; U est une famille libre de E , qu'on complète par une famille V pour obtenir une base de E . Vect V est un sous-espace vectoriel supplémentaire de F d'après le lemme précédent. Remarque 8. Ce résultat se généralise à la dimension quelconque. Lemme 2 (base adaptée à une décomposition en somme directe). Si E est de dimension nie et est somme directe de deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 , alors la concaténation d'une base de F1 et d'une base de F2 donne une base de E . Il en résulte : dim E = dim F1 + dim F2 →, . . . , − →) une base de F , et V = (− → → Démonstration. Soient U = (− u u v1 , . . . , − vq ) une base de F2 . p 1 1 On concatène (i.e. on met bout à bout) les bases U et V : →, . . . , − →, − → − → E = (− u u p v1 , . . . , vq ) = U &V 1 Montrons que E est une base de E : → → → de F et d'un vecteur − → de F ; − → Soit − x ∈ E. − x est somme d'un vecteur − x x 1 1 2 2 x1 est combinaison linéaire des → est combinaison linéaire des vecteurs de V , et par conséquent − → vecteurs de U , − x x est combinaison linéaire des 2 vecteurs de E . E est donc génératrice. Considérons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de E : → − → + ··· + α u − → − → − → − α1 u p p + β1 v1 + · · · + βq vq = 0 1 On a alors : ( − → + ··· + α − → → − →) α1 − u p up = − β1 v1 + · · · + βq vq 1 {− →} A gauche, on a un vecteur de F1 , et à droite un vecteur de F2 ; et ils sont égaux, donc nuls car F1 ∩ F2 = 0 . L'indépendance linéaire de U montre alors que α1 = · · · = αp = 0, et l'indépendance linéaire de V montre que β1 = · · · = βq = 0. Finalement, on a établi : → → + ··· + α − → − → − → − α1 − u p up + β1 v1 + · · · + βq vq = 0 1 =⇒ α1 = · · · = αp = β1 = · · · = βq = 0 ce qui est l'indépendance linéaire de E . Finalement E est une base de E , et par suite : dim E = p + q = dim F1 + dim F2 . 8 Théorème 12 (dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels). On a, en dimension nie : dim(F1 + F2 ) = dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2 ) Démonstration. Posons F = F1 + F2 , et introduisons un supplémentaire G de F1 ∩ F2 dans F2 : F2 = (F1 ∩ F2 ) ⊕ G Montrons alors que F = F1 ⊕ G : → → • F = F1 + G : en eet , pour tout vecteur − x de F , il existe − y ∈ F1 → → → → → → et − z ∈ F2 tels que − x =− y +− z . Mais pour − z , il existe − z1 ∈ F1 ∩ F2 et − → → → → z2 ∈ G tels que − z =− z1 + − z2 . On a alors : (→ − ) → − → → → → x =− y +− z1 + − z2 = − z2 y +→ z1 + − F2 G → d'où − x ∈ F1 + G . {− →} • F1 ∩ G = 0 : on a G ⊂ F2 , d'où F1 ∩ G ⊂ F1 ∩ F2 ; on a aussi F1 ∩ G ⊂ G ; d'où F1 ∩ G ⊂ (F1 ∩ F2 ) ∩ G, et ce dernier sous-espace vec{− →} toriel est réduit à 0 . F1 ∩ F2 F1 On a donc : dim F = dim F1 +dim G. Mais on a aussi dim F2 = dim(F1 ∩ F2 ) + dim G, d'après la dénition de G. On conclut : dim F = dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2 ) Théorème 13 (caractérisation des sommes directes en dimension nie). Soit E un espace vectoriel de dimension nie, et soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E : E = F1 ⊕ F2 ] E = F1 + F2 et dim E = dim F1 + dim F2 [ ] {− →} ⇐⇒ F1 ∩ F2 = 0 et dim E = dim F1 + dim F2 ⇐⇒ [ Exercice 10 Démontrer ce théorème. [cal214] Exercice 11 { } ( ) E = R3 , F1 = (x1 , x2 , x3 ) / x1 − 2x2 + 3x3 = 0 , F2 = Vect (2, 1, 1) . Montrer que E = F1 ⊕ F2 . [cal210] III Formule du rang III.A Noyau, image d'une application linéaire Dénition 10. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). Par dénition : {− {− − →} →} − x ∈ E / f (→ x ) = 0F = f −1 ( 0F ) Ker f = → } {→ → − → y ∈ F / ∃− x ∈ E, f (→ x)=− y = f (E) Im f = − Ker f , noyau de f , est donc l'ensemble des éléments de E dont l'image par f est nulle, et Im f , image de f , est l'ensemble des éléments de F qui ont un antécédent par f . Remarque 2. 9 On rappelle que Ker f est un sous-espace vectoriel de E , et que Im f est un sous-espace vectoriel de F (résultats vus en Sup). Exercice 12 Soient E un K-e.v, et des applications linéaires f et g ∈ L(E). Montrer que : ( ) f Ker(g ◦ f ) = Ker g ∩ Im f [cal215bis] Il est clair que l'application linéaire f est surjective si et seulement si Im f = F . Une caractérisation des applications linéaires injectives est donnée par le théorème suivant : Théorème 14. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ) : f est injective ⇐⇒ {− →} Ker f = ( 0E ) Démonstration. → (=⇒) : Soit − x ∈ Ker f . On a : − → ( − →) → f (− x ) = f (0E ) = 0F − → → donc − x = 0E parce que f est injective. 2 − → →, − → − → − → − → − → − → − → (⇐=) : soient − x 1 x2 ∈ E tels que f (x1 ) = f (x2 ). On a f (x1 − x2 ) = 0F , donc x1 − x2 ∈ Kerf , et par conséquent − → − → − → − → − → x1 − x2 = 0E . On a donc x1 = x2 . L'implication que nous avons établie est : − →) = f (x − →) =⇒ x − →=x − → f (x 1 2 1 2 ce qui prouve que f est injective. Exercice 13 Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). On suppose que E est de dimension nie n. ( ) − − → → 1. Soit (→ e ,→ e ,...,− e→) une base de E . Montrer que f (− e ), f (− e ), . . . , f (− e→) est une famille gé1 2 n 1 2 n nératrice de Im f . 2. En déduire que : dim Im f 6 dim E . ( ) → → 3. Montrer que si f est injective, alors f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (− e→ n ) est une base de Im f . 4. Montrer que si f est un isomorphisme, alors E et F ont la même dimension (ce résultat est très important !). [cal216] Exercice 14 E = F([0, 2], R) = R[0,2] . On considère dans E l'ensemble F des fonctions continues, anes sur [0, 1] et sur [1, 2]. 1. Vérier que F est un sous-espace vectoriel de E . 2. Quelle est la dimension de F ? [cal217] Lemme 3. Soient E et F deux K-espaces vectoriels (E de dimension nie), et f ∈ L(E, F ). Im f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f {− →} 2. Cela ne prouve en fait que Ker f ⊂ 0E . Mais l'inclusion dans l'autre sens est évidente. 10 Démonstration. Soit V un sous-espace vectoriel de E , supplémentaire de Ker f . Autrement dit, on a : E = Ker f ⊕ V On introduit l'application g de V dans Im f dénie par : → → → ∀− x ∈ V, g(− x ) = f (− x) g est linéaire : c'est évident. {→ {− − →} →} → Ker g = − x ∈ V / g(− x ) = 0F = V ∩ Ker f = 0E . (1) → → → g est donc injective (pour l'égalité (1), remarquer que pour − x ∈ V, g(− x ) = f (− x )) On a bien sûr Im g ⊂ Im f . Montrons l'inclusion dans l'autre sens : → → → → → − →+x − → avec Soit − y ∈ Im f . Par dénition de Im f , il existe − x ∈ E tel que f (− x) = − y . Mais − x peut s'écrire x 1 2 − → ∈ Ker f et − → ∈ V . On a alors : x x 1 2 − → → →+− →) = f (− →) + f (− →) = f (− →). y = f (− x ) = f (− x x x x x 1 2 1 2 2 → ∈ V tel que f (− →) = − → →) = − → → On a ainsi exhibé − x x y , c'est-à-dire g(− x y . Et donc − y ∈ Im g . 2 2 2 Finalement Im g = Im f , et g est surjective. g est donc bien un isomorphisme entre V et Im f . III.B Rang d'une application linéaire Dénition 11. Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension nie, et f ∈ L(E, F ). Par dénition : rg f = dim Im f Remarque 9. Cette dénition a un sens, comme on l'a vu dans l'exercice 13.2) : l'image de f est eectivement de dimension nie, inférieure ou égale à la dimension de E . III.C Formule du rang Théorème 15 (fondamental !). Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension nie, et f ∈ L(E, F ). On a : rg f + dim Ker f = dim E Démonstration. On sait que Im f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f , et on a vu dans l'exercice 13 que si deux espaces vectoriels sont isomorphes, ils ont la même dimension. La formule du rang s'ensuit. Exercice 15 Il s'agit de démontrer que pour tout polynôme Q de degré n − 1, il existe au moins un polynôme P de degré n tel que : Q(X) = P (X + 1) − P (X) (c'est une question extrêmement classique dans les concours). { Rn [X] → Rn [X] On considère l'application : φ : P (X) 7→ P (X + 1) − P (X) 1. Vérier que φ est un endomorphisme de l'espace vectoriel Rn [X]. 2. Montrer que Im φ ⊂ Rn−1 [X]. 3. Déterminer Ker φ. 4. Conclure à l'aide de la formule du rang. [cal218] 11 III.D Une conséquence importante de la formule du rang Théorème 16. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension nie. Les sept phrases suivantes sont équivalentes : (1) f est injective. (2) f est surjective. (3) f est bijective. (4) rg f = dim E . {− →} (5) Ker f = 0E . (6) Il existe une base de E dont l'image par f est une base de E . (7) L'image par f de toute base de E est une base de E . Démonstration. Sans aucune diculté ! Remarque 10. IV Ce théorème est valable si f ∈ L(E, F ), avec dim E = dim F . Exemples d'endomorphismes d'un espace vectoriel IV.A Homothéties → → Pour λ ̸= 0, on appelle homothétie de rapport λ l'endomorphisme hλ : − x → 7 λ− x. Exercice 16 On note GL(E) (groupe linéaire de E ) le groupe, pour la composition, des automorphismes de l'espace vectoriel E , c'est-à-dire des applications linéaires bijectives de E dans E . Montrer que les homothéties de E forment un groupe pour la composition (sous-groupe de GL(E)), isomorphe au groupe multiplicatif (K∗ , ×). [cal219] Exercice 17 → → − Soit f ∈ L(E), non nul, tel que : ∀− x ∈ E, − x et f (→ x ) sont liés. Montrer que f est une homothétie. [cal220] IV.B Projecteurs (ou projections vectorielles) Dénition 12. Si E = F1 ⊕ F2 , on appelle projection vectorielle sur F1 parallèlement à F2 (ou selon F2 ) l'application → → qui intervient dans la décomposition de − → p qui à tout vecteur − x de E , associe le vecteur − x x sous la 1 forme : − → →+− →, avec − → ∈ F et − →∈F . x =− x x x x 1 2 1 1 2 2 Les résultats de l'exercice suivant doivent être connus : Exercice 18 On suppose E = F1 ⊕ F2 et on désigne par p le projecteur sur F1 selon F2 . {− {− →} →} 1. Que dire de p si F1 = 0E (et donc F2 = E ), ou si F1 = E (et donc F2 = 0E ) ? 2. On revient à F1 quelconque. Montrer que p ∈ L(E) (p est un endomorphisme de E ). 3. Montrer que Ker p = F2 et Im p = F1 . 4. Montrer que p ◦ p = p. 12 5. Montrer que F1 est également l'ensemble des vecteurs invariants par p, c'est-à-dire qu'on a : {→ } → → F1 = − x ∈ E / p(− x) = − x = Ker(p − IdE ) [cal221] Théorème 17. Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = f . On a E = Im f ⊕ Ker f , et f est la projection vectorielle sur Im f parallèlement à Ker f . Démonstration. {− →} Montrons d'abord que Im f ∩ Ker f = 0E : → → → → → Soit − y ∈ Im f ∩ Ker f ; comme − y ∈ Im f , il existe − x ∈ E tel que − y = f (− x ). Alors : − → → → f (→ y ) = f ◦ f (− x ) = f (− x)=− y. − → − → − → − → − → Mais f ( y ) = 0E , parce que y ∈ Ker f . Donc 0)E . (→ y = → → → → → Soit − x ∈ E . On a bien sûr − x = f (− x)+ − x − f (− x ) , ce qui fait apparaître − x comme somme d'un vecteur de − → → → Im f et d'un vecteur de Ker f : en eet, f ( x ) appartient (visiblement !) à Im f , et − x − f (− x ) appartient à Ker f (→ ) − → → → → car f − x − f (− x ) = f (− x ) − f ◦ f (− x ) = 0E . On a donc : E = Im f + Ker f , et nalement : E = Im f ⊕ Ker f → Soit p le projecteur sur Im f , parallèlement à Ker f . Tout vecteur − x de E s'écrit de manière unique sous → → → → → → la forme − x =(− x1 + − x 2 , )avec − x 1 ∈ Im f et − x 2 ∈ Ker f . Et p(− x ) est précisément x1 . Mais on a vu que − → → → → → → → → → x = f (− x) + − x − f (− x ) , et que f (− x ) ∈ Im f et − x − f (− x ) ∈ Ker f . L'unicité montre que f (− x) = − x 1, − → → c'est-à-dire f (→ x ) = p(− x ), et cela quel que soit − x . Donc f = p. Il est ainsi établi que : f ◦ f = f =⇒ f est la projection vectorielle sur Im f parallèlement à Ker f . Exercice 19 → → → Soit E un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à une base E = (− e1 , − e2 , − e3 ). Former la matrice A de la projection f sur F1 parallèlement à F2 dans les cas suivants (vérier d'abord que F1 et F2 sont supplémentaires) : → → → 1. F = Vect(− e ,− e ), F = Vect(− e ). 1 1 2 2 2. F1 : x1 − x2 + x3 = 0 ; 3 → → → F2 = Vect(2− e1 + − e2 + 2 − e3 ) . Calculer A2 . [cal222] Exercice 20 → → → Soit E un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à une base E = (− e1 , − e2 , − e3 ) . On donne f ∈ L(E), de matrice : 8 −2 −2 1 5 −4 . A= −2 9 − 2 −4 5 Montrer que f est un projecteur et déterminer ses éléments. Exercice 21 Soient p et q deux projecteurs d'un espace vectoriel E tels que : q ◦ p = p et p ◦ q = p 1. Montrer que ces conditions équivalent respectivement à : Im p ⊂ Im q et Ker q ⊂ Ker p 13 [cal223] 2. Donner un exemple en dimension 3. 3. Montrer que q − p est un projecteur. 4. Déterminer l'image et le noyau de q − p. [cal224] Exercice 22 Centre de l'anneau L(E) C'est l'ensemble C des endomorphismes f de E tels que : ∀g ∈ L(E), f ◦ g = g ◦ f Il est clair que l'endomorphisme nul convient. Mettons ce cas de côté. → Soit f ∈ C et soit − x ∈ E , non nul. En envisageant un projecteur sur la droite vectorielle D engendrée → − → → par x , montrer que − x et f (− x ) sont liés. Conclure avec l'exercice 17. [cal225] IV.C Automorphismes involutifs (ou symétries vectorielles) Dénition 13. Si E = F1 ⊕ F2 , on appelle symétrie vectorielle par rapport F1 , parallèlement à F2 , l'application s dénie de la manière suivante : → → → →+− →, avec − → ∈ F et − →∈F . Si − x ∈ E , on décompose − x sous la forme : − x =− x x x x 1 2 1 1 2 2 Et on pose alors : − →−− → s(→ x)=− x x 1 2 Exercice 23 On suppose E = F1 ⊕ F2 et on désigne par s la symétrie par rapport à F1 parallèlement à F2 . {− {− →} →} 1. Que dire de s si F1 = 0E (et donc F2 = E ), ou si F1 = E (et donc F2 = 0E ) ? 2. On revient à F1 quelconque. Montrer que s ∈ L(E) (s est un endomorphisme de E ). 3. Montrer que s ◦ s = IdE (s est un automorphisme involutif 3 de E ). 4. Montrer que F1 est l'ensemble des vecteurs invariants par s, c'est-à-dire qu'on a : {→ } → → F1 = − x ∈ E / s(− x) = − x = Ker(s − IdE ) et que F2 est l'ensemble des vecteurs transformés en leur opposé par s, c'est-à-dire qu'on a : {→ } − − F2 = − x ∈ E / s(→ x ) = −→ x = Ker(s + IdE ) [cal226] F2 ⃗ x ⃗ x2 ⃗ x1 F1 −⃗ x2 s(⃗ x) 3. Dans un groupe, un élément involutif est un élément qui est son propre inverse 14 Théorème 18. Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = IdE . Posons : F1 = Ker(f − IdE ) et F2 = Ker(f + IdE ). On a : E = F1 ⊕ F2 , et f est la symétrie par rapport à F1 parallèlement à F2 . Exercice 24 {− →} Démontrer ce théorème en prouvant (d'abord que F1 (∩ F2 = 0E) , puis en remarquant que tout ) → − → − → − vecteur − x de E peut s'écrire : → x = 21 − [cal227] x + f (→ x ) + 12 − x − f (→ x) . Exercice 25 Soit E = R2 . On dénit u1 = (1, 1) et u2 = (2, 3). 1. Vérier que F = Vect(u1 ) et G = Vect(u2 ) sont des s.e.v supplémentaires dans E . 2. Calculer l'expression du projecteur p sur F parallèlement à G. 3. Calculer l'expression de la symétrie s par rapport à F parallèlement à G. [cal222bis] V Changement de base V.A Matrice de passage Soient E un espace vectoriel de dimension n, et deux bases de E : → → B = (− e1 , − e2 , . . . , − e→ n) − → − → − → B ′ = ( e′1 , e′2 , . . . , e′n ) (ancienne base) (nouvelle base) Dénition 14. La matrice de passage P de la base B à la base B ′ est la matrice carrée n × n dont les colonnes sont constituées par les coordonnées des vecteurs de la base B ′ dans la base B. P = P ass(B, B′ ) = p1,1 p2,1 .. . p1,2 p2,2 .. . ... ... .. . p1,n p2,n .. . pn,1 ↑ e⃗′ 1 pn,2 ↑ e⃗′ 2 ... pn,n ↑ e⃗′ n ... ← ⃗e1 ← ⃗e2 .. . ← ⃗en On remarque que P n'est rien d'autre que la matrice de IdE , de (E, B ′ ) dans (E, B). Il en résulte que P est une matrice inversible, et que P −1 est la matrice de IdE , de (E, B) dans (E, B ′ ). Donc P −1 est la matrice de passage de B ′ à B : P ′ = P ass(B′ , B) = p′1,1 p′2,1 .. . p′n,1 ↑ ⃗e1 15 p′1,2 p′2,2 .. . ... ... .. . p′n,2 . . . ↑ ⃗e2 . . . p′1,n p′2,n .. . p′n,n ↑ ⃗en ← e⃗′ 1 ← e⃗′ 2 .. . ← e⃗′ n V.B Eet d'un changement de base sur la matrice-colonne d'un vecteur Théorème 19. − Soient → x un vecteur de E , X sa matrice dans la base B , X ′ sa matrice dans la base B ′ . On a : X ′ = P −1 X Démonstration. si on note (articiellement !) φ, l'identité de (E, B) dans (E, B′ ), la relation X ′ = P −1 X est la → → traduction matricielle de − x = φ(− x) - φ=IdE (E, B) P −1 (E, B′ ) − → → x = φ(− x) − → x X X ′ = P −1 X V.C Eet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme Théorème 20. Soit f ∈ L(E), dont la matrice dans la base B est M . La matrice de f dans la base B ′ est : M ′ = P −1 M P Démonstration. Notons φ l'identité de (E, B) dans (E, B′ ), ψ l'identité de (E, B′ ) dans (E, B), f l'endomorphisme donné, dans E muni de la base B, et fˆ le même endomorphisme, mais dans E muni de la base B′ . La relation M ′ = P −1 M P est la traduction matricielle de : fˆ = φ ◦ f ◦ ψ . (E, B) ψ=IdE f M - 6 P −1 P (E, B′ ) (E, B) M′ - fˆ φ=IdE ? (E, B′ ) Remarque 11. Soient A, B ∈ Mn (K). On dit que A et B sont des matrices semblables s'il existe P ∈ GLn (K) telle que B = P −1 AP . Par ailleurs, A et B sont semblables si et seulement si, considérant un K-espace vectoriel E de dimension n, A et B représentent le même endomorphisme f de E dans deux bases diérentes. Exercice 26 Eet d'un changement de base sur les coecients d'une forme linéaire Soit f une forme linéaire sur E , c'est-à-dire une application linéaire de E dans K. ( ) → → a1 a2 · · · an la matrice de 1. E étant muni d'une base B = (− e1 , − e2 , . . . , − e→ n ), on note A = n ∑ → − → f . Soit − x = xi → ei un vecteur de E . Calculer f (− x ). i=1 2. Soient B ′ une autre base de E , et P = P ass(B, B ′ ). Déterminer, à l'aide du diagramme suivant, la matrice de f relativement à la base B′ : f (E, B) 6 ψ=IdE P (E, B ′ ) 16 - K A A′ f [cal228] Exercice 27 Eet de deux changements de base sur la matrice d'une application linéaire Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et q . Soit f ∈ L(E, F ). On dénit dans E deux bases E et E ′ , et dans F deux bases F et F ′ . On note P = P ass(E, E ′ ) et Q = P ass(F, F ′ ). On note M la matrice de f relativement aux bases E et F , et M ′ la matrice de f relativement aux bases E ′ et F ′ . Montrer que : M ′ = Q−1 M P [cal229] VI Trace d'une matrice carrée VI.A Dénition Dénition 15. Soit A ∈ Mn (K). On appelle trace de A, et on note tr A, la somme des termes diagonaux de A. Autrement dit, si on note aij le terme de la ième ligne, j ème colonne de la matrice A, on a : tr A = n ∑ aii i=1 VI.B Linéarité Théorème 21. L'application tr est une forme linéaire sur Mn (K). Démonstration. Il s'agit tout simplement de vérier que tr est une application de Mn (K) dans K, et qu'elle est linéaire, c'est-à-dire que la trace de A + B est égale à tr A + tr B , et que la trace de λA est égale à λtrA. C'est évident. VI.C Trace d'un produit de matrices Théorème 22. Soient A, B ∈ Mn (K). On a : tr AB = tr BA Démonstration. Posons C = AB et D = BA, et notons aij , bij , cij , dij les termes des matrices A, B , C , D, situés sur la ième ligne, j ème colonne. On a : tr C = n ∑ cii = i=1 n (∑ n ∑ i=1 k=1 n (∑ n n (∑ n n ) ∑ ) ∑ ) ∑ dkk = tr D aik bki = bki aik = aik bki = k=1 i=1 k=1 i=1 k=1 ce qu'il fallait démontrer. Exercice 28 Trouver dans M2 (R) deux matrices A, B telles que tr(AB) ̸= tr(A) tr(B). [cal231] Exercice 29 1. Existe-t-il des matrices A, B ∈ Mn (K) vériant AB − BA = In ? 2. Soient A, B des matrices de Mn (K) vériant AB − BA = A. Calculer tr(Ap ) pour p ∈ N∗ . 17 [cal230bis] Corollaire 1. Si deux matrices A et B de Mn (K) sont semblables, leurs traces sont égales. Démonstration. En eet, il existe P ∈ Mn (K), inversible, telle que : B = P −1 AP On a alors : tr B = tr(P −1 AP ) = tr[(P −1 A)P ] = tr[P (P −1 A)] = tr[(P P −1 )A] = tr A Exercice 30 Trouver dans M2 (R) trois matrices A, B, C telles que tr(ACB) ̸= tr(ABC). [cal231] VI.D Trace d'un endomorphisme Dénition 16. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et soit f ∈ L(E). On appelle trace de f , et on note tr f , la trace de la matrice de f dans une base quelconque de E . Remarque 12 (1). Cette dénition est eectivement indépendante de la base qui intervient, car les matrices de f dans deux bases diérentes sont semblables, et ont donc la même trace. Remarque 13 (2). Exercice 31 L'application tr est une forme linéaire sur L(E). Soit E un espace vectoriel de dimension nie n > 1. Soit f ∈ L(E) une application linéaire de rang 1. 1. Justier qu'il existe une base B de E dans laquelle la matrice de f est de la forme : 0 ··· 0 λ1 .. .. .. . . . A= . . .. λ .. n−1 0 ··· 0 λn 2. Justier que f est de trace 1 si et seulement si f est un projecteur. 3. Application : déterminer toutes les matrices de M2 (C) qui représentent un projecteur. [cal231bis] 18