Compléments d`algèbre linéaire I Bases

E
EK=R C
x, y, a, u
⃗x, ⃗y, ⃗a, ⃗u α, β, λ, µ
A E ⃗x ∈E
⃗x A (−→ a1,−→ a2, . . . , −→ ak)
A k α1, α2, . . . , αk
⃗x =α1−→ a1+α2−→ a2+···+αk−→ ak

E=M2(K), M =
1 0 0
1 1 0
α1 1
, I2=
100
010
001
M2I2M M3I2M
E=RRR R A(fa)a∈Rfa:x7→ ax
A
g1:x7→ 2 ch x, g2:x7→ sh2x+ ch2x, g3:x7→ |x|
Vect A A
Vect ∅=−→ 0E
Vect A E A
Vect A E Vect A A
AVect A
Vect A E
Vect A−→ 0E∈Vect A−→ x A −→ 0E
0−→ x A
Vect A A
AVect A
−→
x∈Vect A λ ∈Kλ−→ x A Vect A
Vect A A −→ x∈A−→ x= 1−→ x∈Vect A
F A Vect A−→ xVect A
−→
x=
n
i=1
αi−→ aiαiK−→ aiA A ⊂F−→ ai
F−→ x=
n
i=1
αi−→ aiF F
E
Vect A⊂F
F E A F F = Vect A
A F A F
(−→ ai)i∈I

(−→ x1,−→ x2, . . . , −→ xn)
∀α1, α2, . . . , αn∈K,α1−→ x1+α2−→ x2+· · · +αn−→ xn=−→ 0E=⇒α1=α2=· · · =αn= 0
(−→ x1,−→ x2, . . . , −→ xn)α1, α2, . . . , αn∈
Kα1−→ x1+α2−→ x2+· · · +αn−→ xn=−→ 0E
(−→ xi)i∈I
E=RR(fa)a∈Rfa:x7→ ax
fa:x7→ |x−a|
(−→ x1,−→ x2, . . . , −→ xn) (−→ x1,−→ x2, . . . , −−−→ xn−1)−→ xn
−→
x1,−→ x2, . . . , −−−→ xn−1
(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)α1, α2,...,αn∈K
α1−→ x1+α2−→ x2+· · · +αn−→ xn=−→ 0E
αn
α1−→ x1+α2−→ x2+···+αn−1−−−→ xn−1=−→ 0E
α1, α2,...,αn−1
(−→ x1,−→ x2,...,−−−→ xn−1)αn̸= 0
−→
xn−→ x1,−→ x2,...,−−−→ xn−1
−→
xn=
n−1
i=1 −αi
αn−→
xi
−→
x−→ y−→ x̸=−→ 0
λ∈K−→ y=λ−→ x

EKE= (−→ ei)i∈IE
EE⇐⇒ E
EKE= (−→ ei)i∈IE
EE⇐⇒ 
−→
x E
E
−→
xE
E E
−→
x
E
E E
E
dim{−→ 0}= 0
E
EKnE n
E n E Kn
E= (−→ e1,−→ e2, . . . , −→ en)E−→ x E
−→
x=
n
i=1
xi−→ eiφ:−→ x7→ 
x1
x2
xn
EKnφ
φ

φ(−→ x) = 
x1
x2
xn
φ(−→ y) = 
y1
y2
yn
φ(λ−→ x+−→ y) = λ
x1
x2
xn
+
y1
y2
yn
φ
−→
x:
x1
x2
xn
−→
x
E=KnEKn
dim E=n n n
n n
dim E=n F E 6ndim F=n
F=E
F1F2
E
F1⊂F2
dim F1= dim F2=⇒F1=F2
EKn>1f E p
fp= 0
x∈Ex, f(x), f2(x), . . . , fp−1(x)
fn= 0
Kn
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
, . . . ,
0
0
0
1
Mpq(K)p q K
Eij i
jMpq(K)p×q