Terminale STAE 2004-2005

Exercices de probabilités
Fiche méthode
Exercice résolu 1
Un bassin contient 30 poissons : 5 carpes, 10 tanches et 15 gardons. On pêche 4 poissons par
un heureux coup de filet. Si l'on admet que chaque poisson a la même probabilité d'être pris
dans le filet, calculer la probabilité des événements suivants :
A : « aucun des 4 poissons n'est un gardon »
B : « Il y a au moins un gardon dans le filet »
C : « le filet contient une carpe, une tanche et 2 gardons »
L'expérience consiste à pêcher « en vrac », simultanément 4 poissons parmi 30. L'univers Ω
est donc l'ensemble des combinaisons de 4 poissons pris parmi 30. Card Ω =
4
30
L'événement A est réalisé si et seulement si les 4 poissons sont des carpes ou des tanches.
Cela revient à choisir 4 poissons parmi les 15 poissons qui ne sont pas des gardons. Nous
sommes sous l'hypothèse d'équiprobabilité, donc :
Card A =
4
15
. D’où
( )
=
4
30
4
15
Ap
.
L’événement B est l’événement contraire de l’événement A. On en déduit que
( ) ( )
ApBp −= 1
, soit
( )
−=
4
30
4
15
1Bp
.
L’événement C consiste à choisir 1 carpe parmi les 5 du bassin et 1 tanche parmi les 10 et 2
gardons parmi les 15, ce qui se fait de
××
2
15
105
façons. On en déduit que
( )
××
=
4
30
2
15
105
Cp
.

Exercice résolu 2
Une urne contient 12 boules blanches et 8 boules noires indiscernables au toucher. On
effectue des tirages dans cette urne, chacune des 20 boules ayant la même probabilité d’être
tirée.
1. On tire simultanément 5 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir :
•3 boules blanches et 2 boules noires ?
L’expérience consiste à prélever simultanément 5 boules parmi 20. L'univers Ω est donc
l'ensemble des combinaisons de 5 boules prises parmi 20. Card Ω =
5
20
.
Appelons A l’événement « obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires ». On choisit les 3
boules blanches parmi les 12 de l’urne et les 2 boules noires parmi les 8 de l’urne, ce qui se
fait de
2
8
3
12
façons. D’où
( )
=
5
20
2
8
3
12
Ap
. (l’hypothèse d’équiprobabilité est vérifiée)
•Des boules de couleur différentes ?
Appelons B l’événement « obtenir des boules de couleurs différentes ».
B est réalisé si l’on obtient : (1 boule blanche et 4 boules noires) ou (2 boules blanches et 3
boules noires) ou (3 boules blanches et 2 boules noires) ou (4 boules blanches et 1 boule
noire). Il semble donc plus raisonnable de considérer l’événement contraire de B.
B
= « obtenir des boules de même couleur ».
B
peut s’écrire comme la réunion disjointe des 2 événements suivants :
C = « n’obtenir que des boules blanches »
D = « n’obtenir que des boules noires »
( ) ( ) ( )
DpCpBp +=
=
+
5
20
5
8
5
12
.
D’où
( )
−= 1Bp
+
5
20
5
8
5
12
, soit
( )
969
916
= Bp
.

2. On tire successivement 5 boules, la boule tirée étant remise dans l’urne après chaque
tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir :
•3 boules blanches et 2 boules noires dans cet ordre ?
Appelons A l’événement « obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires dans cet ordre ».
La probabilité d’amener la première boule blanche est de
20
12
. Le tirage s’effectuant
successivement et sans remise, la probabilité d’amener la seconde boule blanche est de
19
11
, et
la probabilité d’amener la 3ème boule blanche est de
18
10
. Il ne reste plus que 17 boules dans
l’urne à ce moment. La probabilité d’amener la 1ère boule noire est donc de
17
8
et celle
d’amener la seconde boule noire de
16
7
.
On en déduit que
( )
16
7
17
8
18
10
19
11
20
12
××××= Ap
, soit
( )
1938
77
= Ap
.
•3 boules blanches et 2 boules noires dans un ordre quelconque ?
Appelons B l’événement « obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires ».
La probabilité d’obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires dans un ordre fixé est de
1938
77
(exo). Il y a
!2!3
!5
échantillons distincts composés de 3 boules blanches et 2 boules noires
(revoir le cours sur le dénombrement). On en déduit que la probabilité de l’événement B est
égale à
!2!3
!5
1938
77
, soit
( )
1938
385
= Bp
.