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ENDOMORPHISMES SYMETRIQUES POSITIFS
3 décembre 2012
1 Matrices symétriques, endomorphismes symétriques
on rappelle que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable.
Soit Aune matrice symétrique de taille net λ1, ..., λnses valeurs propres. Si toutes les valeurs
propres de Asont positives on dit que Aest une matrice symétrique positive. Si tous les λi
sont strictement positifs, on dit que la matrice Aest définie positive.On rappelle qu’il existe
une matrice orthogonale Ωtel que : A= ΩDtΩavec D=diag(λ1, ..., λn).
Si Aest positive alors pour tout X∈ Mn1(R),ona:
tXAX =tXΩDtΩX=tY DY
avec Y=tΩX
Il en résulte que si on pose Y=
y1
.
.
.
yn
alors : tXAX =
n
X
k=1
λkyk2et alors :
∀X∈ Mn1(R)tXAX ≥0
Réciproquement si Aest une matrice symétrique vérifiant la condition :
(1) ∀X∈ Mn1(R)tXAX ≥0
alors si λest une valeur propre de Ail existe X06=Otel que AX0=λX0. On a alors
tX0AX0=λtX0X0=λ||X0||2
et d’après (1) il en résulte que λ≥0
Conclusion :
Proposition-Definition :
Soit Aune matrice réelle symétrique de taille n. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Toutes les valeurs propres de Asont positives
(ii) ∀X∈ Mn1(R)tXAX ≥0
Si l’une des assertions est vérifiée , on dit que Aest une matrice symétrique positive
Cela nous conduit donc à définir la notion d’endomorphisme symétrique positif dans un espace
euclidien :
Proposition-Definition :
Soit (E, h,i)un espace euclidien et soit fun endomorphisme symétrique de E. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) Toutes les valeurs propres de fsont positives
(ii) ∀x∈Ehx, f(x)i ≥ 0
Si l’une des assertions est vérifiée , on dit que fest un endomorphisme symétrique positif.
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pour prouver cette proposition il suffit de munir Ed’une base orthonormée et utiliser les
matrices.
2 Exemple fondamental
2.1 Rappel
On rappelle que si (ui)1≤i≤nest une famille de vecteurs d’un espace préhilbertien (E, h,i)alors
on appelle matrice de Gram de cette famille la matrice :
G(u1, ..., un) = (hui, uji)1≤i,j≤n
on a définit aussi le déterminent de Gram de cette famille :
Gram(u1, ..., un) = det(G(u1, ..., un))
Si F=Vect(u1, .., un)et si dim F≥1et si B= (w1, ..., wr)est une base orthonormale de
Fet si Aest la matrice dont les colones sont C1, ..., Cnavec pour tout j∈ {1, ..., n}on a
Cj=
a1j
.
.
.
arj
est la colonne des coordonnées de ujrelativement à la base Balors on a pour
tout k et j de :
hui, uji=
r
X
k=1
akiakj
Or , il est facile de voir que A= (aij )1≤i≤r
1≤j≤n
. Il en résulte que le terme général de la matrice
carrée tAA est : dij )1≤i,j≤rtel que :
dij =
n
X
k=1
akiakj
Ainsi on a :
(∀(i, j)∈ {1, ..., r}2)dij =hui, uji
et en conclusion on a :
Gram(u1, ..., un) = tAA
On peut remarquer facilement que r=rg (u1, ..., un)et on a donc la proposition suivante :
Proposition :
Soit (E, h,i)un espace préhilbertien réel et soit (u1, ..., un)une famille de vecteurs de Ede
rang r. Alors il existe une matrice A∈ Mrn(R)tel que G(u1, ..., un) = tAA
2.2 Les matrices de Gram Sont symétriques positives
Théorème :
toute matrice de Gram est symétrique positive. Si de plus elle est inversible alors elle est
symétrique définie positive
en effet Soit Gla matrice de Gram d’une famille (u1, ..., un)de rang r > 0. On sait que
G=tAA avec A∈ Mrn(R)dés lors on a G∈ Mn(R). On a pour tout X∈ Mn1(R):
tXGX =tXtAAX =t(AX)AX =||AX||2≥0
Si de plus Gest inversible alors les valeurs propres de Gsont non nulles et comme elles sont
déjà positives elles sont strictement positives et Gest définie positive..
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3 Un exercice
Problème
Soit n∈N∗avec n≥2et pour tout (i, j)∈ {1, ..., n}2on pose bij =1
i+j. Démontrer que la
matrice B= (bij )1≤i,j≤nest définie
Une démarche détaillée pour répondre :
Soit C([0,+∞[,R)le R−espace vectoriel des fonctions continues de [0,+∞[vers Ret soit
E=f∈ C([0,+∞[,R)/Z+∞
0
f2(t)dt est convergente
1. Donner des exemples d’éléments de E
2. Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de C([0,+∞[,R)
3. Montrer que si (f, g)∈E2alors l’intégrale Z+∞
0
f(t)g(t)dt est absolument convergente
et que la relation :
hf, gi=Z+∞
0
f(t)g(t)dt
définit un produit scalaire sur E
4. Pour tout k∈ {1, ..., n}, on pose : gk(t) = e−kt.Calculer hgi, gjipour tout (i, j)∈
{1, ..., n}2.
5. Conclure
6. généraliser ce résultat en considérant bij =1
ai+aj
où a1, ..., ansont des nombres réels
strictement positifs deux à deux distincts
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