Biomécanique et analyse du mouvement

Université Paul Sabatier
Année universitaire : 2014 / 2015
F2SMH
Licence 2
U.E.16
Biomécanique et
analyse du mouvement
LAURENS Pascale
Table des matières
Chapitre 1 : Rappels de L1 et compléments..........................................................................5
I - Unités de mesures et dimensions utilisés en sport..................................................................5
A - Unités fondamentales....................................................................................................................... 5
B - Unités secondaires........................................................................................................................... 5
II - Outils mathématiques.............................................................................................................5
A - Trigonométrie.................................................................................................................................... 5
B - Projection d'un vecteur : Produit scalaire.......................................................................................... 6
C - Moment de force, bras de levier : Produit vectoriel...........................................................................6
D - Dérivées et primitives....................................................................................................................... 6
III - Repérage spatial................................................................................................................... 7
A - Vecteur unitaire................................................................................................................................. 7
B - Base orthonormé direct (BOND)....................................................................................................... 7
C - Repère orthonormé direct (ROND)................................................................................................... 7
IV - Mouvement plan sur plan : Vecteur rotation..........................................................................7
A - Exemple :.......................................................................................................................................... 7
B - L'observateur.................................................................................................................................... 7
V - Formule de changement de référentiel...................................................................................8
VI - Cinétique du point matériel....................................................................................................8
A - Système cartésien............................................................................................................................ 8
B - Système cylindrique.......................................................................................................................... 8
C - Système intrinsèque / Base de Frenet..............................................................................................8
Chapitre 2 : Le corps humain, un système poli-articulaire.....................................................9
I - Introduction.............................................................................................................................. 9
II - Modèle idéal : solide rigide.....................................................................................................9
III - Repérage du solide rigide......................................................................................................9
IV - Centre de masse................................................................................................................... 9
Chapitre 3 : Cinétique et cinétique pour un solide...............................................................11
I - Mouvement d'un solide..........................................................................................................11
A - Mouvement complexe..................................................................................................................... 11
B - Translation d'un solide..................................................................................................................... 11
C - Rotation.......................................................................................................................................... 11
D - Vitesse d'un point M d'un solide (s)................................................................................................. 11
II - Cinétique du solide liée à la translation.................................................................................12
A - Quantité de mouvement.................................................................................................................. 12
B - Quantité d'accélération................................................................................................................... 12
III - Cinétique du solide liée à la rotation....................................................................................12
A - Moment cinétique d'un point matériel.............................................................................................. 12
B - Extension au solide......................................................................................................................... 12
C - Théorème des axes parallèles........................................................................................................ 12
D - Rayon de giration (Rg).................................................................................................................... 13
E - Définition du moment d'inertie......................................................................................................... 13
F - Le moment cinétique pour un solide rigide (s)................................................................................13
G - Le moment dynamique................................................................................................................... 13
IV - Mouvement d'un système poli-articulé................................................................................14
A - Chaîne articulé................................................................................................................................ 14
B - Articulation...................................................................................................................................... 14
C - Ensemble du corps humain............................................................................................................ 14
Chapitre 4 : Forces ou effet et point d'application...............................................................15
I - Forces................................................................................................................................... 15
A - Classification................................................................................................................................... 15
B - Propriété d'additivité des forces...................................................................................................... 15
C - Principe d'action réciproque (3ème loi de Newton).........................................................................15
D - Frottement visqueux....................................................................................................................... 15
E - Frottement secs ou lois COULOMB................................................................................................ 16
II - Moment d'une force.............................................................................................................. 16
A - Définition......................................................................................................................................... 16
B - Lien entre les moments d'une force calculé en deux points différents A et B.................................16
C - Exemple d'application..................................................................................................................... 16
Chapitre 5 : Dynamique du solide rigide..............................................................................17
I - Principe fondamental de la statique.......................................................................................17
II - Principe fondamental de la dynamique.................................................................................18
III - Cas des mouvements de rotation autour d'un axe...............................................................19
Chapitre 1 : Rappels de L1 et compléments
I - Unités de mesures et dimensions utilisés en sport
A - Unités fondamentales
•
Longueur : [L] est en m
•
Masse : [M] est en kg
•
Temps : [T] est en s
•
Température : [ϴ] est en degrés kelvin
B - Unités secondaires
•
Vitesse : [L.T-1] en m.s-1
•
Accélération : [L.T-2] en m.s-2
•
Forces : [M.L.T-2] en kg.m.s-2 ou N (Newton)
•
Pression : [M.L-1.T-2] en kg.m-1.s-2 ou P (Pascal)
•
Énergie : [M.L2.T-2] en kg.m2.s-2 ou j (Joule)
II - Outils mathématiques
A - Trigonométrie
1 - Cercle trigonométrique
•
cos (α)=
coté adjacent
hypoténuse
•
sin(α)=
coté opposé
hypoténuse
•
tan (α)=
coté opposé
coté adjacent
2 - Valeurs remarquable
α
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos
1
√3
√2
2
2
1
2
0
sin
0
1
2
√2
√3
2
2
1
▬5
3 - Approximation
Si l'angle α est très petit alors on peut prendre :
{
cos (α)=1
sin (α)=0
B - Projection d'un vecteur : Produit scalaire
1 - Définition
u.⃗
⃗
v = ∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos (α) = x u ×x v + y u ×y v +z u ×z v
Où les coordonnés exprimés dans un même repère.
() ()
xu
xv
⃗
u = y u et v⃗ = y v
zu
zv
2 - Utilisation : Projection
Sur un plan défini par e⃗x et e⃗y orthogonaux et
⃗ ; e⃗x )=α
que ( OM
∥e⃗x∥
⃗ tel
= ∥e⃗y∥ = 1 . Le vecteur OM
⃗ = ∥OM
⃗ ∥⋅(cos(α). e⃗ +sin (α). e⃗ )
OM
x
y
C - Moment de force, bras de levier : Produit vectoriel
Définition
•
⃗ ⋅u⃗ =0 et w
⃗ ⋅v⃗ =0
⃗
⃗ et ⃗
⃗ avec w
u ∧v⃗ =w
v ∧u⃗ =−w
•
∥w
⃗ ∥ correspond à l'aire du parallélogramme définit par O, ⃗
u, ⃗
v et ⃗
u+ ⃗
v
D - Dérivées et primitives
→ dérivé →
a
0
at +b
a
1 2
a t +bt +c
2
at +b
cos (wt )
−w ⋅sin(wt )
sin(wt )
w ⋅cos (wt )
← primitive ←
6▬
III - Repérage spatial
A - Vecteur unitaire
∥e⃗x∥
= 1
B - Base orthonormé direct (BOND)
•
∥e⃗x∥
= ∥e⃗y∥ = ∥e⃗z∥
•
e⃗x⋅e⃗y = e⃗y⋅e⃗z = e⃗z . e⃗x = 0
•
e⃗x∧e⃗y = e⃗z
C - Repère orthonormé direct (ROND)
z
On rajoute une origine fixe au repère, O en (0 ; 0 ; 0) de
coordonnés exprimé dans le système cartésien (x ; y ; z)
e⃗z
e⃗x
O
e⃗y
y
x
Le système de coordonnés cylindrique :
⃗ ∥ avec H le projeté orthogonal de
ρ = ∥OH
⃗ = ρ ⋅e⃗φ +Z ⋅e⃗z
( e⃗x ; e⃗y ) donc OM
⃗ ∥
∥OM
sur le plan
IV - Mouvement plan sur plan : Vecteur rotation
A - Exemple :
•
•
Mouvement d'une nacelle de la grande roue (mouvement de translation)
Mouvement de rotation des avant bras autour du coude (contrainte physique)
B - L'observateur
Si on a une rotation, il faut repérer ce mouvement (axe de rotation et un angle)
On utilise la vitesse angulaire :
⃗ / Robs ) = α̇ ⋅e⃗z (c'est la dérivé de l'angle selon l'axe qui permet la rotation)
Ω(R
▬7
V - Formule de changement de référentiel
Soit un vecteur ⃗
u quelconque, et soient les référentiels R et R1
d u⃗
dt
∣
R
=
d u⃗ ⃗
+ Ω (R1 / R) ∧⃗
u
dt
VI - Cinétique du point matériel
A - Système cartésien
Soit le référentiel d'observation R associé au système cartésien (x ; y ; z) de repère
orthonormé direct (0 ; e⃗x ; e⃗y ; e⃗z ) , et R est fixe.
•
⃗ =x (t) . e⃗ + y (t ). e⃗ +z (t ). e⃗
Vecteur position : OM
(t )
x
y
z
•
Vecteur vitesse : v⃗(t )= ẋ ⋅e⃗x + ẏ ⋅e⃗y + ż ⋅e⃗z
•
Vecteur accélération : a⃗(t )= ẍ ⋅e⃗x + ÿ ⋅e⃗y + z̈ ⋅e⃗z
B - Système cylindrique
•
⃗ (t )=ρ ⋅e⃗ρ + z ⋅e⃗z
Vecteur position : OM
•
vecteur vitesse : v⃗(t )=
•
Vecteur accélération : a⃗(t )=
⃗
d OM
(t )
=ρ̇ ⋅e⃗ρ +ρ ⋅φ̇ ⋅e⃗φ + ż ⋅e⃗z
dt
d v⃗(t )
=( ρ̈−ρ ⋅φ˙2 )⋅e⃗ρ +(2 ρ̇ ⋅φ̇+ρ ⋅φ̈ ) ⋅e⃗φ + z̈ ⋅e⃗z
dt
C - Système intrinsèque / Base de Frenet
Soit e⃗t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire où e⃗t =
2
d⃗
v ⃗ v
⃗
a =
⋅e t +
⋅e⃗x
dt
Rc
8▬
⃗
v
∥⃗v ∥
Chapitre 2 : Le corps humain, un système poliarticulaire
I - Introduction
hypothèses :
•
Le corps humain est un ensemble de tiges reliés entre elles.
•
Un morceau du corps est une tige. Ces tiges sont homogènes au cours du
mouvement.
Cependant la tiges est rigide, mais l'os de la cuisse a une faible flexibilité.
II - Modèle idéal : solide rigide
Ce modèle donne de bons résultats.
Pour deux points d'un solide, la distance entre ces deux points ne changent pas au cours
du mouvement ou du temps.
III - Repérage du solide rigide
On utilise une origine, c'est à dire le centre de masse du solide et une base orthonormé
directe (BOND), soit trois axes caractéristique du solide liées aux symétries du solide.
IV - Centre de masse
Pour un solide décomposé en x éléments simples, et une masse associé à chaque
éléments.
x
x
i=1
i=1
m t .⃗
OG=∑ (m i .⃗
OM i ) ou ⃗
0 =∑ (m i .⃗
GM i )
Ex :
⃗ 1+ m 2 . OM
⃗ 2
m t .⃗
OG=m 1 . OM
M1
M2
▬9
Chapitre 3 : Cinétique et cinétique pour un solide
I - Mouvement d'un solide
A - Mouvement complexe
Principe :
Décomposer en mouvements simples (ou élémentaires). Ces éléments simples sont
soumis à 1 translation et 3 rotations.
B - Translation d'un solide
Tous les points du solide auront la même vitesse.
C - Rotation
Ce qui est commun à tous les points d'un solide : vitesse de rotation autour d'un axe ou
vitesse angulaire.
Si on tourne d'un angle α( t) autour d'un axe (Δ) de vecteur unitaire e⃗α alors
⃗ = α . e⃗α
Ω
S'il y a plusieurs mouvement de rotation on les additionnes.
Remarque :
⃗ est toujours perpendiculaire à l'avancement de l'objet.
Le vecteur rotation Ω
•
L'axe instantané de rotation (A.I.R.) est l'axe où tous les points de cet axe ont leur
⃗.
vitesse parallèle à Ω
•
Le centre instantané de rotation est le point qui appartient à l'axe instantané de
rotation tel que sa vitesse est nulle.
D - Vitesse d'un point M d'un solide (s)
Relation d'anti-symétrie :
⃗ (B∈s /R) = V
⃗ ( A∈s /R)+⃗
V
BA ∧Ω (s /R) (pour tous points A et B du solide (s) )
Ex :
M appartient au solide pour lequel on connaît la vitesse V⃗G
⃗
V⃗M = V⃗G +⃗
MG ∧Ω
▬ 11
II - Cinétique du solide liée à la translation
A - Quantité de mouvement
1 - Pour un point matériel
⃗ (M / R) = m×V
⃗ (M /R)
P
2 - Pour un solide rigide
⃗ (s /R) = m s ×V
⃗ (G/R) avec G le centre de masse du solide.
P
B - Quantité d'accélération
1 - Pour un point matériel
⃗
D(M
/R) = m× ⃗
a (M /R)
2 - Pour un solide rigide
⃗
D(M
/ R) = m s ×⃗
a (G /R)
⃗
⃗ = dP
Remarque : si la masse est constante alors D
dt
∣
R
III - Cinétique du solide liée à la rotation
A - Moment cinétique d'un point matériel
⃗ ∧m. ⃗
L⃗A (M /R) = AM
v (G/R)
B - Extension au solide
Notion de répartition géométrique / spatiale de la masse.
Caractérisé par les moments d'inertie selon les axes de rotation possibles. Ces moments
caractérisent la résistance de l'objet étudié à la rotation.
Des table d'anthropophagie donnent les moments principaux pour un corps humain autour
des trois axes passant par le centre de masse G.
(Δ G)
C - Théorème des axes parallèles
d
Soient I Δ G le moment d'inertie parallèle à l'axe (Δ G) qui passe par le
centre de masse G et I Δ A le moment d'inertie parallèle à l'axe (Δ A )
qui passe par le point A.
I Δ A =I Δ G +m s . d
G
A
2
(Δ A)
12 ▬
D - Rayon de giration (Rg)
C'est le rayon d'un cylindre creux ayant même axe de rotation Δ, même masse m et même
moment d'inertie que le solide étudié avec Rg tel que :
Rg =
√
IΔ
m
E - Définition du moment d'inertie
⃗
⃗
AM∧m.
v (M /R obs ) = L⃗A (M /R obs )
L⃗A
Plan
⃗v
⃗
AM
A
⃗v
M
d
F - Le moment cinétique pour un solide rigide (s)
⃗ ou Ω est la vitesse de rotation autours de l'axe (Δ A )
L⃗A (s / R obs ) = I Δ A . Ω
G - Le moment dynamique
d L⃗A
K⃗A (S/R obs ) =
dt
∣
Robs
= IΔ A .
⃗
dΩ
dt
∣
Robs
Remarque : Le moment dynamique pour un point matériel ou pour un solide est dérivé
du moment cinétique sachant que le point A est un point fixe du Robs .
À retenir :
• (Δ A ) : axe fixe autour duquel on a la rotation. On l'appelle A.I.R.
• Théorème des axes parallèles.
⃗
• L⃗A (s /R obs ) = I Δ A . Ω
⃗
dΩ
• K⃗A (s / Robs ) = I Δ A .
dt
• Dimension d'un mouvement d'inertie [ (I Δ) ] = M.L2 → kg.m²
• E k (s / R obs ) =
1
1
m+ V 2g + . I Δ A . Ω2
2
2
▬ 13
IV - Mouvement d'un système poli-articulé
A - Chaîne articulé
Ensemble de solide rigides reliées par des articulation (= liaison)
B - Articulation
Degrés de liberté (DDL) : 3 maximum
C - Ensemble du corps humain
On aura a effectuer des sommes :
∑ L⃗A( segment )
14 ▬
et de même pour le moment dynamique ⃗
k.
Chapitre 4 : Forces ou effet et point d'application
I - Forces
Une force est défini par un vecteur avec :
• une intensité
• une direction
• un sens
A - Classification
1 - Forces volumiques / surfaciques
Ex :
poids
réaction
2 - Forces connues / inconnues
3 - Forces extérieures / intérieures
Celles-ci dépendent de la définition du solide étudié.
B - Propriété d'additivité des forces
Si sur un solide (s) s'exerce un ensemble de forces F⃗1, F⃗2, ... alors cela revient à exercer
⃗ tel que F
⃗ =
sur (s) une force F
max
∑ F⃗i .
i =1
C - Principe d'action réciproque (3ème loi de Newton)
F⃗1 /2 = −F⃗2 /1
D - Frottement visqueux
⃗ la vitesse de l'objet étudié .
Soit V
⃗ <180 km/h : F⃗ = −α . V
⃗ avec α =coefficient de frottement
Si V
f
(
)
⃗
1
v
2
Si 180 km/h < V⃗ < 700km/h : F⃗f = − . ρ. v . S.C x .
2
∥v⃗ ∥
ρ = masse volumique
S = surface en contact du solide
C x = coefficient de pénétrabilité dans le fluide
▬ 15
E - Frottement secs ou lois COULOMB
∥R⃗T∥ = f.∥R⃗n∥
∥R⃗T∥ = f.∥R⃗n∥
•
Objet en mouvement :
•
Objet immobile :
avec f, le coefficient de frottement
R⃗T Toujours opposé à la vitesse (frein)
II - Moment d'une force
A - Définition
Le moment d'une force qui s'exerce en M, en un autre point A est définit par :
⃗
ΜA ( F⃗M )=⃗
AM∧F⃗m
Remarque :
•
⃗
Μ A ( F⃗M )=L⃗A=⃗
AM∧F⃗m
•
Il y a une équivalence sur le schéma de L⃗A
⃗ calculé en deux
B - Lien entre les moments d'une force R
points différents A et B
⃗
⃗
Μ B =⃗
M A+⃗
BA∧R
C - Exemple d'application
Le module ci contre est en équilibre.
R⃗n
R⃗O+ F⃗A + P⃗G = ⃗
0
⃗
⇔ M⃗O (RO )+ M⃗O ( F⃗A)+ M⃗O (R G ) = 0
⃗ ∧F⃗A + OG
⃗ ∧PG
⃗ = ⃗
⇔⃗
0 + OA
0
⇔FA =
⇔FA =
16 ▬
a
b
G
⃗ ∧PG
⃗ ∥
∥OG
OA
b
mg
a
⃗
P
F⃗A
Chapitre 5 : Dynamique du solide rigide
I - Principe fondamental de la statique
{
∑ F⃗ =⃗0
⃗ )=⃗0
ΜO (F
∑⃗
D'où le théorème des actions réciproques (action / réaction) :
⃗
F 1→ 2= −⃗
F 2→1
pour un solide :
⃗
Μ A (⃗
F 1 →2)= −⃗
ΜA (⃗
F 2 →1)
Application directe :
Mesure d'un centre de masse avec la planche.
x
d
1,7 m
m
1,7
F⃗1
y
G
A
⃗
R
O
⃗
P = m. ⃗g
• F⃗1 tel que la planche reste
horizontale
• ∥F⃗1∥=310N
• M g =65 kg
• ∥g⃗∥=10 m.s−1
L=2m
⃗ R
⃗ =⃗
0
∑ F⃗ = F⃗1+ P+
⃗
(310 −650+R O ) . e⃗x = 0
∥R⃗ ∥ = 340N
∑ M⃗O (F⃗ )
=
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
M O (F 1 )+ M O ( P)+ M O ( R) =
2 e⃗y ∧310 e⃗x +d. e⃗y ∧(−650) e⃗x =
(620−650d) e⃗y ∧e⃗x =
620
d=
=
650
⃗
0
⃗
⃗ ⃗
0 avec R=
0
⃗
0
⃗
0
0,95 m
▬ 17
II - Principe fondamental de la dynamique
{
∑ F⃗ (s / Robs )=ms . ⃗a (G/Robs )
⃗ /R obs )= k⃗A (s / Robs )
ΜA (F
∑⃗
Illustration :
La plate forme de force permet l'enregistrement des actions mécaniques, c'est à dire,
les forces et les moments transmises entre le sol et le sujet.
Cet appareil permet :
• la détection de pathologies locomotrices,
• la détection les forces,
• la détection les moments de forces,
• de déterminer les points / les centre de pression (le points ou le moment est nul).
(Δ A)
Cas particulier :
⃗
Ω
un solide en rotation autour d'un axe fixe (Δ A ) .
⃗
dΩ
⃗
⃗ le vectur de rotation autour de ( Δ A )
Μ A ( F⃗(s ) ) = I Δ A .
avec Ω
dt
Remarque : Si on a un ensemble de solides on effectue des sommes
(cas du corps humain)
A
Application :
Déterminer le moment d'inertie (I Δ A ) de l'avant-bras.
F⃗A
(Δ O)
∥F⃗ ∥
O
⃗
dΩ
Donc ⃗
Μ O ( F⃗1) = I Δ 0 .
dt
∥ ∥
⇔d × ∥F⃗1∥ = I Δ 0 .
⇔I Δ 0 =
18 ▬
d.∥F⃗1∥
∥ ∥
⃗
dΩ
dt
⃗
dΩ
dt
∥ ∥
⃗
d .Ω
dt
III - Cas des mouvements de rotation autour d'un axe
⃗
dL
cte .
On a toujours le moment dynamique K⃗A =⃗
0 et K⃗A = A . Donc L⃗A=⃗
dt
Dans le cas d'un mouvements de rotation autour d'un axe (ou d'un points) on a
conservation du moment cinétique :
⃗ = cte. ⃗
L⃗A = I Δ A . Ω
z
Illustration :
Cas du double salto arrière.
Quand il quitte le sol, la vitesse angulaire Ωs = 7 rad.s −1 avec un moment d'inertie
I = 30 kg.m 2 .
Quand il groupe les jambes, il a I = 20 kg.m2 .
Quelle est la vitesse de rotation pendant d'un salto ?
Lavant salto = Lpendant
I s .Ωs = I salto .Ωsalto
⇔Ωsalto =
I s . Ωs 30
21
= ×7= =10.5 rad.s −1
I salto 20
2
Quelle est la duré d'exécution d'un double salto en considérant la vitesse ci-dessus ?
•
La vitesse d'une rotation pour un salto est de 10.5 rad.s-1
•
On sait qu'un tour correspond à 2π
2π
2π
t tour = Ω =
≈0.6 s
10.5
salto
Donc un tour dure 0.6 secondes, et par conséquent deux tours durent 2 x 0.6 = 1.2
secondes.
▬ 19