Équations di érentielles.

1
Chapitre 3
Équations diérentielles.
3.1 Introduction
Les équations diérentielles et plus généralement les systèmes de telles équations (on parle
de systèmes diérentiels) se rencontrent dans toutes les sciences. Dans ce chapitre on n'en
considèrera que quelques familles simples :
• équations diérentielles linéaires du premier ordre ;
• équations diérentielles du premier ordre à variables séparables ;
• équations diérentielles linéaires du second ordre.
La diculté ou la nouveauté essentielle réside ici dans le fait que vous avez l'habitude de
manipuler des équations où les inconnues sont des nombres tandis que pour les équations
diérentielles les inconnues sont des fonctions.
Dans tout ce chapitre, I désignera un intervalle ouvert et non vide de R.
3.2 Equations diérentielles du premier ordre
3.2.1 Dénitions
Dénition 3.1
Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une variable
réelle que nous noterons en général t ou x, une fonction y et la dérivée première y 0 de cette
même fonction. Il s'agira pour nous d'une relation qui peut s'écrire sous la forme
y 0 (x ) = f (x , y (x )) valable pour tout x ∈ I ,
où f une fonction (de deux variables) donnée.
On dit de cette équation qu'elle est du premier ordre car seule la dérivée première de la fonction
cherchée intervient dans la relation.
Convention
Pour alléger un peu l'écriture, il est d'usage d'omettre la variable x dans la relation précédente,
en l'écrivant sous la forme
y 0 = f (x , y ) sur I .
(3.1)
2
Équations diérentielles.
Exemple 3.2.1
1) La relation y 0 = x + y, revient par exemple à choisir f (x , y ) = x + y dans (3.1).
2) Sur I =]0, +∞[, la relation x 2 y 0 = x + y peut se mettre sous la forme y 0 = xx+2y (puisque
x 2 ne s'annule pas sur I ) et revient donc (après transformation) à choisir f (x , y ) = xx+2y dans
(3.1).
Dénition 3.2
Une fonction z est une solution de l'équation différentielle (3.1) sur I si :
1. z est dénie et dérivable sur I ;
2. z vérie pour tout x ∈ I , la relation z 0 (x ) = f (x , z (x )).
Exemple 3.2.2
La fonction z dénie sur R par z (x ) = x 2 + e x est dérivable sur R et elle vérie pour tout
x ∈ R, la relation z 0 (x ) = z (x ) + 2x − x 2 sur I = R, il s'agit donc d'une solution sur R de
l'équation y 0 = y + 2x − x 2 .
Dénition 3.3
Un intervalle I étant donné, résoudre l'équation diérentielle (3.1) c'est en donner toutes
les solutions sur I .
On dit que l'on détermine la solution générale de (3.1) sur I .
Remarque 3.2.1
Attention à la terminologie : "la solution générale" signie "la forme
générale des solutions". Il ne s'agit donc pas d'une solution particulière mais d'une famille
(paramétrée) de fonctions dont chacune est solution.
Illustrons un peu ces notions avec un exemple que vous connaissez déja.
Exemple 3.2.3
Choisissons f (x , y ) = y dans (3.1) avec I = R. On obtient ainsi l'équation diérentielle
y 0 = y sur R.
(3.2)
Alors vous savez que les solutions de cette équation sont les fonctions z telles que z (x ) = αe x
où α ∈ R est un nombre arbitraire : il y en a donc une innité ("autant" que de réel α).
On dira ainsi que z (x ) = αe x où α ∈ R est la solution générale de l'équation.
Puisque la résolution de (3.1) peut fournir une innité de solutions, il peut être interessant
ou nécessaire d'en choisir une parmi les autres. Illustrons cela sur un exemple en revenant à
l'équation (3.2).
Supposons ainsi que (3.2) représente l'évolution au cours du temps x d'une densité de population
et que cette population ait à l'instant x0 = 0 une densité égale à 2. On peut alors écrire que
cette densité vérie z (x ) = αe x avec z (x0 ) = 2, soit z (0) = 2 et donc α = 2. Ainsi, cette
solution est donnée par
z (x ) = 2e x pour tout x ∈ R.
Formalisons cela dans une dénition.
UFR
ST
UFR S ciences et T echniques de B esançon
(3.3)
3
Chapitre 3. Equations diérentielles du premier ordre
Dénition 3.4
Une donnée initiale pour l'équation diérentielle du premier ordre (3.1) est un couple (x0 , a)
tel que x0 ∈ I et a ∈ R.
On dit qu'une solution z de (3.1) vérifie ou satisfait la donnée initiale (x0 , a), si z (x0 ) = a.
On dit aussi dans ce cas que z satisfait la condition initiale z (x0 ) = a.
Exemple 3.2.4
Avec ce vocabulaire, la fonction z donnée par (3.3) est la solution de (3.2) vériant la donnée
initiale (0, 2) à savoir z (0) = 2. On dit aussi que z vérie la condition initiale z (0) = 2. Cette
fonction est ainsi obtenue en résolvant une équation diérentielle d'ordre un avec condition
initiale, à savoir
y 0 = y sur R.
y (0) = 2
Terminons ce premier paragraphe par une dénition.
Remarque 3.2.2
On dira d'une solution de l'équation diérentielle y 0 = f (x , y ) qui vérie la condition initiale
y (x0 ) = a que c'est la solution associée à la condition initiale y (x0 ) = a.
Le problème avec condition initiale sera écrit sous la forme
y 0 = f (x , y ) sur I
y (x0 ) = a
(3.4)
Remarque 3.2.3
Dans ce cours, on supposera toujours que chaque problème considéré admet une solution qui
est unique dès lors que l'on xe une condition initiale.
3.2.2 Equations diérentielles linéaires du premier ordre
Dénition 3.5
On dit qu'une équation diérentielle du premier ordre est
a, b et c dénies et continues sur I telles que
linéaire
s'il existe des fonctions
a(x )y 0 + b(x )y = c (x ) sur I ,
(3.5)
avec a(x ) 6= 0 pour tout x ∈ I .
Les fonctions a et b sont appelées "coecients" de l'équation. Lorsqu'elles sont constantes, on
parle d'équation à coecients constants.
La fonction c est appelée "second membre" de l'équation.
Remarque 3.2.4
Puisque a ne s'annule pas sur I , l'équation (3.5) peut s'écrire y 0 =
à prendre f (x , y ) = −b(xa)(yx+) c (x ) dans (3.1).
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−b (x )y +c (x )
a(x )
, ce qui correspond
UFR
ST
4
Équations diérentielles.
Exemple 3.2.5
√
L'équation diérentielle du premier ordre 2xy 0 − y = x considérée sur I =]0, +∞[ est linéaire.
0
En eet, elle
√ est de la forme a(x )y + b(x )y = c (x ) avec a(x ) = 2x non nul sur I , b(x ) = −1
et c (x ) = x.
Lorsque la fonction c est identiquement nulle dans la dénition précédente on a la terminologie
suivante
Dénition 3.6
Plaçons nous sous les hypothèses et notations de la dénition 3.5.
Alors l'équation
a(x )y 0 + b(x )y = 0 sur I ,
est appelée équation
homogène
(3.6)
associée à (3.5).
Méthode de résolution dans le cas homogène
On considère donc l'équation (3.6) dont on cherche la solution générale.
Quelles sont donc (toutes) ses solutions ?
(a) Il y a la solution 0 (z (x ) = 0 pour tout x ∈ I ) ;
(b) Cherchons alors les solutions ne s'annulant en aucun point de I :
0
0
Dans ce cas, l'équation (3.6) peut s'écrire : yy = − ba((xx )) soit ln|y | = −G 0 (x ) (où G
est une primitive sur I de la fonction continue ba ).
On obtient donc ln|y | = −G (x ) + C soit |y | = e −G (x ) e C , avec C constante réelle
arbitraire.
La fonction y ne s'annulant pas, elle garde par continuité un signe constant et donc en
posant λ = e C ou λ = −e C suivant le signe de y, on trouve y = λ e −G (x ) où λ ∈ R∗ ;
(c ) On peut regrouper (a) et (b) en écrivant que y = λ e −G (x ) où λ ∈ R (le cas λ = 0
redonnant le cas (a)).
• On peut de plus facilement vérier que toute solution de (3.6) est bien de la forme trouvée.
Exercice 1
Montrer ce dernier point. Pour cela, montrer que si z est une solution de (3.6)
alors la fonction x 7→ z (x ) e G (x ) est constante sur I .
Ainsi on obtient le résultat suivant qui permet de déterminer la solution générale de l'équation
homogène.
Théorème 3.1
Soit G une primitive sur I de la fonction ba (elle est donc dérivable sur I de dérivée G 0 (x ) =
∀x ∈ I ).
Alors la solution générale de l'équation linéaire homogène du premier ordre (3.6) est
b(x )
a (x ) ,
y = λe −G (x ) où λ ∈ R
(3.7)
De plus, si on xe la condition initiale y (x0 ) = a cette solution est unique.
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ST
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Chapitre 3. Equations diérentielles du premier ordre
Remarque 3.2.5
1) Puisqu'il y a une unique solution qui vérie y (x0 ) = 0 et que c'est le cas de la solution nulle,
il n'y a pas d'autre solution telle que y (x0 ) = 0. En clair, soit la solution est identiquement
nulle, soit elle ne s'annule pas.
2) La forme de l'équation (3.6) permet de montrer que si z est une solution non nulle de (3.6)
sur I alors toutes les autres solutions lui sont proportionnelles. Une autre façon de formuler
cette propriété est de dire que si z est une solution particulière (non nulle) de (3.6) alors la
solution générale est λz où λ ∈ R.
3) Pour utiliser la terminologie introduite en algèbre, on dit que l'ensemble des solutions de (3.6)
forme un espace vectoriel réel de dimension un engendré par z (solution particulière introduite
en 3)).
Voyons tout de suite comment pratiquer sur un cas explicite.
Exemple 3.2.6
Résoudre l'équation diérentielle (cos x )y 0 + (sin x )y = 0 dans I =] − π2 , π2 [.
(a) Il y a la solution 0.
(b) Cherchons alors les solutions ne s'annulant en aucun point de I :
0
sin x
Dans ce cas, l'équation est équivalente à : yy = − cos
x , soit ln |y | = ln | cos x | + C et donc
C
∗
|y | = e | cos x | ce qui donne y = λ cos x tout λ ∈ R ( λ = ±e C ).
Ainsi regroupant ces deux cas, on obtient que la solution générale est y = λ cos x pour tout
λ ∈ R.
Revenons maintenant au cas linéaire non homogène, c'est-à-dire au cas d'une équation avec
second membre de la forme (3.5).
La méthode de résolution sera basée sur les constatations suivantes.
Remarque 3.2.6
On considère l'équation (3.5) qui rappelons le s'écrit a(x )y 0 + b(x )y = c (x ) sur I . Soit y0 une
solution particulière de cette équation. On remarque alors que :
1. Si z est solution de l'équation homogène associée (3.6) alors z + y0 est solution de
l'équation avec second membre (3.5) ;
2. Inversement si y est solution de l'équation (3.5) alors y − y0 est solution de l'équation
homogène.
Ainsi, la connaissance des solutions de (3.5) se ramène t'elle à celle des solutions de (3.6).
Une conséquence de cette remarque est le résultat fondamentale suivant
Théorème 3.2
Pour trouver la solution générale de l'équation linéaire avec second membre (3.5) :
a(x )y 0 + b(x )y = c (x ) sur I ,
il sut d'ajouter à la solution générale de l'équation homogène (3.6)
a(x )y 0 + b(x )y = 0 sur I ,
une solution particulière de (3.5).
Dès lors, on a une méthode de résolution pour le cas non homogène :
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UFR
ST
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Équations diérentielles.
Méthode de résolution dans le cas avec second membre
On considère l'équation (3.5) dont on cherche la solution générale.
Quelles sont donc (toutes) ses solutions ?
• On cherche la solution générale z de l'équation homogène (3.6) ;
• on cherche une solution particulière y0 de l'équation complète (3.5) ;
• la solution générale de l'équation complète (3.5) est alors donnée par la somme y0 + z.
Illustrons cette méthode par un exemple.
Exemple 3.2.7
Résoudre l'équation (E ) y 0 + 2y = 3 dans R.
On voit que y0 = 23 est une solution particulière de cette équation.
D'autre part, l'équation homogène associée qui s'écrit y 0 = −2y admet comme solution générale
y = λe −2x , λ ∈ R.
On peut alors en déduire que la solution générale de l'équation (E ) est 23 + λe −2x , λ ∈ R.
Dès lors, la question est de savoir comment déterminer une solution particulière de l'équation
avec second membre. Il y a à ce niveau deux méthodes : "l'expérience" et la méthode de
variation de la constante.
Recherche d'une solution particulière.
Dans un certain nombre de cas, on peut deviner (notion vague s'il en est...) la forme d'une
solution particulière. C'est en particulier souvent le cas lorsque le second membre est une constante, ou une fonction polynôme simple. Dans ce cas, on recherche la solution particulière par
identication. C'est ce que nous avons fait dans l'exemple précédent.
Lorsque ce n'est pas possible, et qu'on ne devine pas une solution particulière, on a recours à
la méthode dite de variation de la constante.
Méthode de la variation de la constante.
Cette dénomination peut paraître étrange, mais la description de la méthode l'explique
clairement.
On cherche donc une solution particulière de l'équation linéaire a(x )y 0 + b(x )y = c (x ).
• Supposons pour cela qu'on ait déja résolu l'équation homogène associée qui rappelons le
s'écrit a(x )y 0 + b(x )y = 0. On connait donc la solution générale de cette équation qui, d'après
le théorème 3.1, est de la forme y = λe −G (x ) avec λ constante réelle et G primitive sur I de la
fonction ba .
Notons à ce niveau que la fonction g dénie sur I par g (x ) = e −G (x ) est une solution de
l'équation homogène (celle obtenue en prenant λ = 1) : ag 0 + bg = 0.
• On choisit alors de chercher une solution particulière y0 de l'équation ay 0 + by = c, sous la
forme : y0 = λ(x )e −G (x ) = λ(x )g (x ).
On a donc remplacé la constante λ par une fonction : on fait donc "varier la constante".
Puisque y0 doit être solution de l'équation avec second membre, elle doit satisfaire
ay00 + by0 = c .
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ST
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Chapitre 3. Equations diérentielles du premier ordre
Ainsi, on est amené à trouver une fonction λ telle que y0 (x ) = λ(x )g (x ) avec ay00 + by0 = c.
0
Or, on a a (λg ) + b (λg ) = c ⇐⇒ λ0 ag + λ (ag 0 + bg ) = c ⇐⇒ λ0 = agc = ca e G , et il sut
|
donc que λ soit une primitive de
c
a
eG .
{z
=0
}
Voyons tout cela sur un nouvel exemple.
Exemple 3.2.8
√
Résoudre (E ) 2xy 0 − y = x sur I =]0, +∞[.
• L'équation homogène associée est (H ) 2xy 0 − y = 0 et concernant cette équation :
(a) il y a la solution 0 ;
y0
(b) et les solutions ne s'annulant en aucun point de I qui elles vérient : y = 21x et sont donc
√
données par y = λ x avec λ ∈ R∗ .
√
Ainsi, la solution générale de (H ) est y = λ x avec λ ∈ R.
√
• On cherche√alors une solution particulière de (E ) sous la forme y0 = λ(x ) x = λ(x )g (x )
avec g (x ) = x.
On a donc √
y00 = λ0 (x )g (x ) + λ(x )g 0 (x ) et y0 sera solution de (E ) si et seulement si
2xy00 − y0 = x. En substituant, on trouve ainsi que λ doit vérier
√
√
2x λ0 (x ) x + λ(x ) (2xg 0 (x )) − g (x )) = x ,
|
{z
}
=0
√
à savoir λ0 (x ) = 21x . En particulier, λ(x ) = 12 ln x convient ce qui montre que y0 = λ(x ) x =
√
1
ln
x
x est une solution particulière de (E ).
2
√
√
La solution générale de (E ) est donc y + y0 = 12 x ln x + C x avec C ∈ R.
Remarque 3.2.7
Comme nous l'avons déja dit précédement, puisqu'on cherche une solution particulière, il n'est
pas nécessaire de déterminer toutes les primitives de λ0 , il nous en sut d'une seule.
Venons en maintenant au second type d'équations diérentielles auxquelles nous nous intéresserons dans ce cours.
3.2.3 Equations diérentielles du premier ordre à variables séparables
Pour ce type d'équations, on ne considèrera que des problèmes avec condition initiale.
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UFR
ST
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Équations diérentielles.
Dénition 3.7
Donnons nous un intervalle I ouvert et non vide.
On dit qu'une équation diérentielle du premier ordre est à
peut se mettre sous la forme
variables séparables
v (y )y 0 = w (x ) sur I ,
où v et w sont deux fonctions. Si c'est le cas, on dit de (3.8) qu'elle est à
séparées.
si elle
(3.8)
variables
L'intérêt de ce type d'équation est le suivant :
si V est une primitive de v et W une primitive de w, alors l'équation (3.8) s'écrit
0 0
V (y ) = W (x )
et il sut donc de primitiver cette équation pour trouver la relation V (y ) = W (x ) + C où
C ∈ R est une constante. Le problème est alors de pouvoir "inverser" la fonction V pour en
déduire l'expression de y. Il y a évidement des conditions pour pouvoir eectuer cette inversion
et nous n'énoncerons pas ici de méthode générale. Nous nous contenterons de résoudre certains
problèmes particuliers.
Voyons, plus précisément sur un exemple comment mettre en pratique la remarque qui vient
d'être faite.
Exemple 3.2.9
Trouver la solution de l'équation 2yy 0 − 2x = 0 sur I = R vériant la condition initiale
y (0) = −1.
L'équation se met sous la forme 2yy 0 = 2x et donc unefonction
0 dérivable y = g (x ) est solution
de cette équation si elle vérie 2g (x )g 0 (x ) = 2x, soit g 2 (x ) = (x 2 )0 sur I .
√
On en déduit donc que (g (x ))2 = x 2 + C , à savoir que g (x ) = ± x 2 + C . Il y a donc à ce
niveau plusieurs expressions possibles ! Laquelle choisir ?
C'est la condition initiale qui permet de "faire ce choix".
En eet, puisqu'on veut
√ y (0) = −1, la solution doit être négative en x = 0, ce qui n'est pas
possible si on choisit x 2 + C√.
√
Donc nécessairement y = − x 2 + C . Enn la condition
y
(0)
=
−1
montre
que
C = 1 et
√
donc la solution cherchée a pour expression y = − x 2 + 1.
Remarque 3.2.8
Noter qu'on a procédé en deux étapes pour résoudre le problème de
Cauchy :
- on a commencé par "intégrer" l'équation ;
- on a ensuite déterminé l'expression de la solution grace à la condition initiale.
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Chapitre 3. Equations diérentielles linéaires du second ordre à coecients constants
3.3 Equations diérentielles linéaires du second ordre
à coecients constants
9
Commençons par préciser la forme des équations diérentielles que nous considèrerons dans
cette section.
Dénition 3.8
On appelle
équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
une relation entre une variable réelle x ∈ I intervalle de R, une fonction y, sa
dérivée première y 0 et sa dérivée seconde y 00 qui peut s'écrire sous la forme :
constants
a y 00 (x ) + b y 0 (x ) + cy (x ) = d (x ) valable pour tout x ∈ I ,
où a, b et c sont des
constantes réelles
(3.9)
et d le second membre (fonction donnée).
Pour alléger un peu l'écriture, il est à nouveau d'usage d'omettre la variable x dans la relation
précédente, en l'écrivant sous la forme
a y 00 + b y 0 + cy = d sur I .
(3.10)
Les notions vues dans le cas linéaire d'ordre un s'adaptent directement au cas linéaire d'ordre
deux et on a en particulier les dénitions suivantes.
Dénition 3.9
1) On dit qu'une fonction z est une solution de l'équation diérentielle (3.10) sur I si :
(a) z est dénie et deux fois dérivable sur I ;
(b) z vérie la relation (3.10).
2) Résoudre (3.10) sur I c'est en trouver la solution générale c'est-à-dire en donner toutes
les solutions.
3) Une donnée initiale pour (3.10) est un triplet (x0 , α, β) tel que x0 ∈ I et α, β ∈ R.
On dit qu'une solution z de (3.10) vérifie la donnée initiale (x0 , α, β) si z (x0 ) = α
et z 0 (x0 ) = β . On dit aussi dans ce cas que la solution z est associée à la condition
initiale (x0 , α, β).
4) L'équation sans second membre obtenue pour d = 0 :
a y 00 + b y 0 + cy = 0 sur I ,
est appelée équation
homogène
(3.11)
associée à (3.10).
On peut montrer que pour résoudre une équation diérentielle linéaire d'ordre quelconque, la
méthode que nous avons appliquée dans le cas d'une équation d'ordre un est encore valable,
au sens suivant :
Théorème 3.3
La solution générale d'une équation diérentielle linéaire s'obtient en ajoutant à la solution
générale de l'équation homogène associée, une solution particulière de l'équation avec second
membre.
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UFR
ST
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Équations diérentielles.
Remarque 3.3.9
La diculté pour nous est ici qu'il est beaucoup trop dicile de trouver les solutions de
l'équation homogène dans un cas général. Nous ne saurons le faire de manière systématique,
que lorsque les fonctions a, b, c sont constantes et c'est donc pour cette raison que nous nous
restreindrons à ce cas particulier.
Venons en maintenant au vif du sujet et voyons comment obtenir la solution générale de
l'équation homogène (3.11).
3.3.1 Forme des solutions et résolution de l'équation homogène
Commençons par faire la remarque suivante :
Remarque 3.3.10
Pour les équations linéaires homogènes d'ordre un, on a vu (théorème 3.1 et remarque le suivant)
que la résolution revient à trouver une solution z, les autres étant alors toutes de la forme λz,
λ ∈ R.
Par anologie, on va pratiquer de la même manière dans le cas d'une équation diérentielle
homogène linéaire du second ordre. Il faudra cette fois, l'équation étant d'ordre 2, trouver deux
solutions particulières non proportionnelles f1 et f2 de l'équation ay 00 + by 0 + cy = 0. La solution
générale sera alors donnée par y = λ1 f1 +λ2 f2 où λ1 et λ2 sont deux constantes réels arbitraires.
Pour cela, la méthode pratique consiste à chercher ces solutions sous forme de fonctions
exponentielles :
f : x 7→ e rx ,
où r est un paramètre à déterminer.
Cette fonction sera solution de l'équation (3.11) si elle vérie pour tout x ∈ I ,
af 00 (x ) + bf 0 (x ) + cf (x ) = 0 soit (ar 2 + br + c )e rx = 0 et donc si et seulement si r vérie la condition
ar 2 + br + c = 0.
Dénition 3.10
L'équation (3.12) : ar 2 + br + c = 0 est appelée
l'équation homogène ay 00 + by 0 + cy = 0.
équation caractéristique
(3.12)
associée à
On s'est ramené à la résolution d'une équation numérique du second degré, ce qui est plus
facile. On introduit pour cela le discriminant ∆ = b2 − 4ac de cette équation et il ne reste
plus qu'à étudier les diérents cas possibles suivant le signe de ∆. On montre ainsi le résultat
suivant :
UFR
ST
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Chapitre 3. Equations diérentielles linéaires du second ordre à coecients constants
Théorème 3.4
Soit (H ) ay 00 + by 0 + c = 0 une équation diérentielle du second ordre linéaire homogène à
coecients constants et soit (C ) ar 2 + br + c = 0 son équation caractéristique, de discriminant
∆ = b2 − 4ac.
Si ∆ > 0, les racines de (C ) étant r1 et r2 , alors la solution générale de (H ) est
y = λ1 e r1 x + λ2 e r2 x pour tout λ1 , λ2 ∈ R.
Si ∆ < 0, une racine complexe de (C ) étant α + i ω , alors la solution générale de (H )
est y = e αx (λ1 cos ω x + λ2 sin ω x ) pour tout λ1 , λ2 ∈ R.
Si ∆ = 0, la racine double de (C ) étant r, alors la solution générale de (H ) est
y = (λ1 x + λ2 )e rx pour tout λ1 , λ2 ∈ R.
Voyons un premier exemple de chaque type.
Exemple 3.3.10
1) Résoudre sur R l'équation (H ) y 00 − 3y 0 + 2y = 0.
Son équation caractéristique s'écrit r 2 − 3r + 2 = 0 dont les racines sont r1 = 1 et r2 = 2. La
solution générale de (H ) est donc y = λ1 e x + λ2 e 2x pour tout λ1 , λ2 ∈ R.
2) Résoudre sur R l'équation (H ) y 00 − 2y 0 + 5y = 0.
Son équation caractéristique s'écrit r√2 − 2r + 5 = 0, de discriminant ∆ = −16. Une
racine complexe est donc r1 = 2 + 2i 16 = 1 + 2i. La solution générale de (H ) est ainsi
y = (λ1 cos 2x + λ2 sin 2x )e x pour tout λ1 , λ2 ∈ R.
3) Résoudre sur R l'équation (H ) 4y 00 − 12y 0 + 9y = 0.
Son équation caractéristique s'écrit 4r 2 − 12r + 9 = 0 de discriminant ∆ = 0.3 Il y a donc une
racine double r = 23 . La solution générale de (H ) est donc y = (λ1 x + λ2 )e 2 x pour tout λ1 ,
λ2 ∈ R.
3.3.2 Résolution de l'équation avec second membre
Dans ce cas, il s'agit d'appliquer le théorème 3.3, et donc puisqu'on vient de voir comment
résoudre l'équation homogène, de déterminer une solution particulière de l'équation avec second
membre.
Nous nous contenterons de donner quelques exemples sans chercher à formuler ici de méthode
générale pour trouver cette solution particulière. Disons simplement que la méthode de variation
des constantes peut être adaptée à ce cas mais nous ne le ferons pas dans ce cours. Mentionnons
également que dans bien des cas, l'expression du second membre permet d'intuiter l'expression
d'une solution particulière.
Exemple 3.3.11
Résoudre sur R l'équation (E ) y 00 + 3y 0 − 4y = 8x + 5.
L'équation homogène associée y 00 + 3y 0 − 4y = 0 admet r 2 + 3r − 4 = 0 pour équation
caractéristique. Ses racines sont 1 et −4 et sa solution générale est donc y = λ1 e x + λ2 e −4x .
Le second membre de (E ) étant polynômiale, il semble naturel de chercher une solution
particulière sous forme d'un polynôme. La question est alors de savoir de quel degré. Par
UFR S ciences et T echniques de B esançon
UFR
ST
12
Équations diérentielles.
expérience, on la cherche sous forme d'une fonction ane : f (x ) = ax + b.
On a f 0 (x ) = a et f 00 (x ) = 0 et donc f 00 (x ) + 3f 0 (x ) − 4f (x ) = 8x + 5 ⇐⇒
3a − 4(ax + b) = 8x + 5 ⇐⇒ −4ax + (3a − 4b) = 8x + 5 qui doit être vériée pour
tout x ∈ R. Donc −4a = 8 et 3a − 4b = 5 soit a = −2 et b = − 114 .
On obtient donc y0 = −2x − 114 comme solution particulière et la solution générale de (E ) est
donc
y + y0 = λ1 e x + λ2 e −4x − 2x −
11
pour tout λ1 , λ2 ∈ R.
4
Exemple 3.3.12
Résoudre sur R l'équation (E ) y 00 + 2y 0 + y = e x .
Puisque la fonction exponentielle x 7−→ e x est égale à toutes ses dérivées on peut chercher une
x
solution particulière qui lui est proportionnelle et on voit facilement que f (x ) = e4 convient.
Comme l'équation homogène associée y 00 + 2y 0 + y = 0 a pour équation caractéristique
r 2 + 2r + 1 = 0 qui admet −1 comme racine double, la solution générale de (E ) est
y = (λ1 x + λ2 )e −x +
UFR
ST
ex
4
pour tout λ1 , λ2 ∈ R.
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