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Lyc´ ee Franc¸ois 1er
Maths Sp´ e PC
2016-2017
Devoir maison 4
rendu le vendredi 18 novembre
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http://spepcfr1.pagesperso-orange.fr/spepc/documents/dm4cor.pdf
Probl` eme
Centrale TSI 2011
Notations et rappels
•Dans tout le probl` eme, nd´ esigne un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 et Eun C-espace vectoriel de
dimension n. On notera L(E)le C-espace vectoriel des endomorphismes de Eet GL(E)le sous-ensemble
de L(E)form´ e des automorphismes de E.
•` A tout f∈L(E), on associe sa matrice MatB(f)dans la base Bchoisie de E. On rappelle que
l’application f7→ MatB(f)est un isomorphisme de L(E)sur le C-espace vectoriel, not´ eMn(C),
form´ e des matrices carr´ ees d’ordre n` a coefficients complexes. De la mˆ eme fac¸on, GL(E)s’identifie,
moyennant l’isomorphisme pr´ ec´ edent, ` a l’ensemble GLn(C)des matrices carr´ ees d’ordre nqui sont
inversibles.
•Soit A= (ai j )16i,j6n∈ Mn(C). On dit que Aest triangulaire sup´ erieure si ai j =0 d` es que i>j. On
note Tn(C)le sous-espace vectoriel de Mn(C)form´ e des matrices triangulaires sup´ erieures.
•Soit f∈L(E). On sera amen´ e` a utiliser la propri´ et´ e(T)suivante :
Il existe une base B0de Etelle que MatB0(f)∈ Tn(C).(T)
•On rappelle que par convention, ∀A∈ Mn(C),A0=Imatrice identit´ e.
•Soit f∈L(E), alors fadmet nvaleurs propres, en comptant chacune avec son ordre de multiplicit´ e.
•On rappelle enfin que l’exponentielle d’un nombre complexe z=a+ib,a,b∈Rest le nombre
complexe, not´ eezou exp z,´ egal ` aea×ei b =ea(cos b+isin b). Pour tout nombre complexe z, on a
ez6=0.
I Endomorphismes nilpotents, trace d’un endomorphisme
A. Soit f∈L(E).
ª1)Montrer que fest injectif si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de f.
2)Montrer que f∈GL(E)si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de f.
3)Soit M∈ Mn(C). Montrer que Mest inversible si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de M.
B. Une matrice N∈ Mn(C)sera dite nilpotente s’il existe un entier strictement positif ktel que Nk=0
(matrice nulle). On note k(N)le plus petit entier strictement positif v´ erifiant cette propri´ et´ e et on
l’appelle «indice de nilpotence de N». On note Nn(C)l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn(C).
1)Soit Nla matrice de M3(C)d´ efinie par
N= 012
003
000!
Devoir maison 4 page 1

Montrer que N∈ N3(C)et d´ eterminer k(N).
2)Soient N∈ Nn(C)et Mune matrice semblable ` aN.
ªa)Montrer que pour tout entier naturel p,Npet Mpsont semblables.
b)En d´ eduire que si Nest nilpotente, Ml’est aussi et k(M) = k(N).
3)Soit f∈L(E). On suppose qu’il existe une base Bde Etelle que MatB(f)∈ Nn(C).
Montrer que pour toute base B0de E, MatB0(f)est ´ egalement nilpotente et de mˆ eme indice de
nilpotence que MatB(f).
On dira alors que fest nilpotent et on notera k(f)l’indice de nilpotence de MatB(f)qui sera appel´ e
aussi indice de nilpotence de f.
4)Soient N∈ Tn(C)et ni j son terme g´ en´ eral. On suppose que ∀i∈v1, nw,nii =0.
On note n(k)
i j (qui se lit «nindice i,jd’ordre k»)le terme g´
en´ eral de la matrice Nkavec k∈N.
ªa)Montrer que N2∈ Tn(C)et que n(2)
i j =0 si j6i+1.
b)Montrer, plus g´ en´ eralement, que Nk∈ Tn(C)et que n(k)
i j =0 si j6i+k−1.
c)En d´ eduire que N∈ Nn(C).
ª5)Soient f∈L(E)et N∈ Tn(C)la matrice de fdans une base appropri´ ee Bde Edonn´ ee par la
propri´ et´ e(T)rappel´ ee en pr´ eliminaires.
a)En explicitant le polynˆ ome caract´ eristique de N, d´ eterminer les valeurs propres de fen
fonction des termes diagonaux de N.
b)Montrer que fest nilpotent si et seulement si 0 est sa seule valeur propre.
ªC. Soit A= (ai j )∈ Mn(C). On rappelle que la trace de Aest le nombre complexe tr(A) =
n
X
i=1
aii .
1)Soit f∈L(E). Montrer que le nombre complexe tr(MatB(f)) ne d´ epend pas du choix de la base
Bdans E.
On appelle «trace de l’endomorphisme f»ce nombre complexe, not´ e tr(f). On a ainsi, pour toute
base Bde E, tr(f) = tr(MatB(f)).
2)Soit f∈L(E). On d´ esigne par λ1, . . . , λnles valeurs propres (´ eventuellement ´ egales)de f.
Montrer ` a l’aide de la question B.5.a)que
tr(f) =
n
X
k=1
λk
3)On consid` ere le cas n=2. Soit A∈ M2(C)telle que tr(A) = 0.
Montrer que Aest soit diagonalisable, soit nilpotente.
4)A-t-on le mˆ eme r´ esultat lorsque n=3 ?
page 2 Devoir maison 4

II Exponentielle d’un endomorphisme
Soit f∈L(E).
ªA. On suppose, tout d’abord, que fest diagonalisable et on note Bp={e1, . . . , en}une base de vecteurs
propres de f, associ´ es respectivement aux valeurs propres λ1, . . . , λn. On d´ efinit alors l’endomorphisme
exp fpar l’image des vecteurs de la base Bp, en posant
∀i∈v1, nw,(exp f)(ei) = (exp λi)ei
1)a)Repr´ esenter la matrice de exp fsur la base Bp.
b)Montrer que exp fappartient ` aGL(E).
Cet endomorphisme est appel´ e«exponentielle de l’endomorphisme f». On admet qu’il ne d´ epend
que de fet pas de la base de vecteurs propres utilis´ ee pour le d´ efinir.
Si Dest une matrice diagonale de termes diagonaux µ1, . . . , µn, on note exp Dla matrice diagonale
dont les termes diagonaux sont exp µ1, . . . , exp µn.
2)Soit M∈ Mn(C). On suppose que Mest diagonalisable.
Soient P1et P2deux matrices inversibles et D1et D2deux matrices diagonales telles que
M=P1D1P−1
1=P2D2P−1 2
Montrer que P1(exp D1)P−1
1=P2(exp D2)P−1 2.
On appellera exponentielle de la matrice Mla matrice not´ ee exp M,´ egale ` aP(exp D)P−1o` u(P,D)est
un couple de matrices utilis´ e pour diagonaliser M.
ªB. On suppose maintenant que fest nilpotent d’indice de nilpotence k(f). On consid` ere une base B
de Etelle que M=MatB(f)∈ Tn(C), selon la propri´ et´ e(T). On pose alors
exp f=
k(f)−1
X
p=0
fp
p!o`
uf0=identit´ e de E
exp M=
k(M)−1
X
p=0
Mp
p!
1)D´ eterminer les termes diagonaux de la matrice exp M.
2)En d´ eduire l’ensemble des valeurs propres de exp f, puis montrer que exp f∈GL(E).
L’endomorphisme exp fest encore appel´ e l’exponentielle de fet la matrice exp Ml’exponentielle de M.
C. On suppose enfin que fsatisfait la propri´ et´ e(P)suivante
∃(d,g)∈L(E)2tel que dest diagonalisable, gest nilpotent, d◦g=g◦det f=d+g(P)
On admettra que, si fsatisfait (P), alors le couple (d,g)donn´ e par (P)est unique.
©1)a)Montrer que exp d◦exp g=exp g◦exp d.
On pose alors exp f=exp d◦exp get on l’appelle encore exponentielle de f.
On d´ esigne par Γn(E)le sous-ensemble de L(E)form´ e des endomorphismes fsatisfaisant ` a(P). De
mˆ eme, on d´ esigne par Γn(C)le sous-ensemble de Mn(C)form´ e des matrices Mqui peuvent s’´ ecrire
M=D+Navec Ddiagonalisable, Nnilpotente et DN =ND.
b)Montrer que, pour tout matrice Mde Γn(C), le couple (D,N)associ´ e est unique.
On pose exp M=exp Dexp Net on l’appelle exponentielle de M.
ª2)Soient M∈Γn(C)et P∈GLn(C).
D´ emontrer que PMP−1∈Γn(C)et que exp(PMP−1) = P(exp M)P−1.
On a ainsi d´ efini deux applications exp : Γn(E)→GL(E)et exp : Γn(C)→GLn(C).
Dans la suite du probl` eme, on ´ etudie plus pr´ ecis´ ement ces applications dans les cas n=2 et n=3.
Devoir maison 4 page 3

III Le cas n=2
On suppose dans toute cette partie que Ed´ esigne un C-espace vectoriel de dimension 2.
ªA. Soient f∈L(E),λet µses valeurs propres, Eλle sous-espace propre associ´ e` a la valeur propre λ.
On suppose fnon diagonalisable.
1)Montrer que λ=µet que dim Eλ=1.
Montrer de plus que (f−λIdE)2=0. (On pourra utiliser la question I.B.5.a).
2)Soient v∈Eun vecteur n’appartenant pas ` aEλet u=f(v)−λv.
Montrer que u∈Eλ\ {0}et que B= (u,v)est une base de E. D´ eterminer MatB(f).
B. Pour tout couple (a,b)∈C2, on d´ efinit les matrices suivantes,
D(a,b) = a0
0bet M(a) = a1 0a
On d´ efinit le sous-ensemble suivant de M2(C),
J2(C) = ¦D(a,b),(a,b)∈C2©∪¦M(a),a∈C©
Montrer que tout ´ el´ ement de M2(C)est semblable ` a une matrice de J2(C).
C. Montrer que J2(C)⊂Γ2(C) (d´ efini ` a la question II.C), puis calculer exp D(a,b)et exp M(a)pour
tout couple (a,b)∈C2.
D. Montrer que Γ2(C) = M2(C).
On admettra de mˆ eme que Γ2(E) = L(E). L’application exponentielle est ainsi une application de L(E)
dans GL(E).
E. 1)Soient θun r´ eel non nul et A(θ)la matrice d´ efinie par
A(θ) = 0−θ
θ0
ªD´ eterminer exp A(θ).
2)L’application exp : M2(C)→GL2(C)est-elle injective ?
3)En utilisant la question III.C, montrer que toute matrice de J2(C)∩GL2(C)est semblable ` a
l’image par l’application exponentielle d’un ´ el´ ement de J2(C).
4)En d´ eduire, en utilisant les questions II.C.2, III.B et III.E.3 que l’application exp : M2(C)→
GL2(C)est surjective.
ªF. Montrer que ∀M∈ M2(C), det(exp M) = exp(tr M).
©G. Soient SL2(C) = M∈ M2(C)det M=1et L0(C)le sous-espace vectoriel de M2(C)form´ e des
matrices de trace nulle.
1)Montrer que SL2(C)⊂GL2(C), qu’il est non vide et qu’il est stable par produit matriciel et
inversion. Montrer que
∀M∈L0(C), exp M∈SL2(C)
On consid` ere maintenant la restriction Ą exp : L0(C)→SL2(C).
2)Montrer ` a l’aide de I.C.3 et III.B, que tout ´ el´ ement de L0(C)est semblable ` a une matrice de la
forme
D(a) = a0
0−aavec a∈Cou N=0 1 0 0 
page 4 Devoir maison 4

3)Soit N0la matrice de M2(C)d´ efinie par
N0=−1 1
0−1
Montrer que N0∈SL2(C)et que N0n’appartient pas ` a l’image de l’application Ą exp. En d´ eduire que Ą exp
n’est ni injective, ni surjective.
IV Le cas n=3
Dans toute cette partie, on suppose que Eest un C-espace vectoriel de dimension 3. L’objectif est ici
de montrer que l’on a encore, dans ce cas, les ´ egalit´ es L(E) = Γ3(E)et M3(C) = Γ3(C).
Soient f∈L(E),λ,µet νses valeurs propres.
ªA. On suppose que λ,µet νsont trois valeurs propres distinctes. Montrer que f∈Γ3(C).
ªB. On suppose que λ=µ=ν.
1)Montrer que f−λIdEest nilpotent.
2)Montrer que f∈Γ3(E).
©C. On suppose que λ=µet µ6=ν.
1)Justifier l’existence de trois complexes a,b,cet d’une base (e1,e2,e3)et Etels qu’on ait
f(e1) = λe1
f(e2) = ae1+λe2
f(e3) = be1+ce2+νe3
2)´ Etant donn´ es deux complexes αet β, on pose e0
3=e3+αe1+βe2. Montrer que (e1,e2,e0 3)est
une base de E.
3)Montrer qu’on peut choisir αet βde sorte f(e0
3) = νe0 3.
4)Repr´ esenter la matrice Mde fsur la base (e2,e2,e0
3)ainsi obtenue.
5)Montrer que M∈Γ3(C)et que f∈Γ3(E).
D. Montrer que Γ3(E) = L(E).
On admettra de mˆ eme que Γ3(C) = M3(C). L’application exponentielle est ainsi une application de
L(E)dans GL(E).
E. Soient θun r´ eel non nul et R(θ)∈ M3(C)d´ efinie par
R(θ) = 0−θ0
θ0 0
0 0 0 !
1)Calculer exp R(θ).
2)En d´ eduire que l’application exp : L(E)→GL(E)n’est pas injective.
N.B. : On pourrait montrer, par un proc´ ed´ e analogue ` a celui utilis´ e dans le cas n=2 que exp : L(E)→
GL(E)est encore surjective dans le cas n=3.
– FIN DE L’EPREUVE –
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