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X Maths A MP 2012 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURSD’ADMISSION2012 FILIÈREMP
COMPOSITION DEMATHÉMATIQUES–A–(XLC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Représentationsdedimension finiedel’algèbredeLiedeSU(2,C)
Notations
Lorsquenestun entierpositifnon nul, on noteMn(C)l’algèbredesmatricesànlignesetn
colonnesdontlescoefficients sontdesélémentsdeC.On noteInlamatrice identitédeMn(C).
Onmunitcetespace delanormesubordonnée
|||A||| =sup
X∈Cn\{0}
||AX||2
||X||2
,
où||X||2estlanormehermitiennedeXdansCn, identifiéàl’espace desvecteurscolonnes:si
X=Öx1
.
.
.
xnè,alors||X||2=»|x1|2+···+|xn|2.
PourA∈Mn(C),on notet Alamatrice transposée deA,et¯ Alamatrice dontlescoefficients
sontlesconjuguésdansCdescoefficientsdeA.On noteTr(A)latrace deAetdet(A)le
déterminantdeA.OnrappellequelesmatricesM∈Mn(C)dedéterminantnon nulformentun
groupemultiplicatif,quel’on noteGLn(C).PourA,B∈Mn(C),on note[A,B]=AB−BA.
On noteLl’ensembledesmatricesAdeM2(C)vérifiantt A+¯ A=0etTr(A)=0.
On noteU(2,C)l’ensembledesmatricesAdeM2(C)vérifiantt A¯ A=I2,etSU(2,C)le
sous-ensembledeU(2,C)formédesmatricesdontledéterminantestégalà1.
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X Maths A MP 2012 — Énoncé 2/4
Premièrepartie
1a.Danscettequestion,M2(C)estvucomme espace vectorielsurR.Quelle estsadimension?
MontrerqueLestun sous-espace vectorieldedimension3dontunebase estformée par(E,F,G)
avec
E=Çi0
0−iå,F=Ç0−1
1 0 å,G=Ç0i
i0å.
1b.Calculer[E,F],[F,G]et[G,E]enfonction deE,FetG.
2.PourA∈Mn(C),onrappellequel’exponentielledeAestlamatrice àcoefficientscom-
plexesdonnée parlaformule
exp(A)=
∞
X
k=0
Ak
k!.
2a.Justifierlaconvergence de cettesérie.
2b.MontrerquepourA∈Mn(C)etPmatrice inversibledeMn(C),
exp(P−1AP)=P−1exp(A)P.
2c.MontrerquesiAestunematrice triangulairesupérieuredeMn(C),de coefficientsdiago-
nauxλ1,··· ,λn,alorsexp(A)estunematrice triangulairesupérieuredeMn(C)de coefficients
diagonauxeλ1,··· ,eλn.
2d.MontrerquesiA∈Mn(C),alorsdet(exp(A)) =exp(Tr(A)).
Deuxièmepartie
3.MontrerqueU(2,C)estun sous-groupedeGL2(C),etqueSU(2,C)estun sous-groupede
U(2,C).
4.MontrerquelesélémentsdeSU(2,C)sontlesmatricesdelaformeÇab
−¯ b¯aå,avec a,b∈C
et|a|2+|b|2=1.
5.SoientM∈SU(2,C),X∈C2\ {0}etλ∈CtelsqueMX=λX.
5a.Montrerque|λ|=1.
5b.SoitY∈C2.Montrerquesit XY=0,alorst
XMY=0.
6a.Montrerquetoutematrice deSU(2,C)s’écritsouslaforme
P−1Çeiθ0
0e−iθåP,
avec P∈SU(2,C)etθ∈R.
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X Maths A MP 2012 — Énoncé 3/4
6b.MontrerquesiR,S∈SU(2,C), il yaéquivalence entrelesdeuxpropriétés suivantes:
i)Tr(R)=Tr(S);
ii)il existeP∈SU(2,C)telqueR=P−1SP.
7a.SoitA,B∈M2(C);onsupposeque[A,B]=0.Montrerque
|||
n
X
ℓ=0
1
ℓ!(A+B)ℓ−(
n
X
j=0
1
j!Aj)(
n
X
k=0
1
k!Bk)|||
tend verszéroquand n→+∞.En déduirequeexp(A+B)=exp(A)exp(B).
7b.Montrerquel’imagedeL,parl’applicationexp:A7→ exp(A),estcontenuedans
SU(2,C).
7c.Montrerquel’applicationexp:L→SU(2,C)estsurjective.
7d.L’applicationexp:L→SU(2,C)est-elleinjective?
8.SoitGun sous-groupedeSU(2,C)telquepour toutP∈SU(2,C)et toutg∈G,onait
P−1gP∈G.OnsupposedeplusqueGcontientaumoinsun élémentdifférentdeI2etde−I2.
8a.MontrerqueGcontientaumoinsun élémentdelaformeÇeiθ0
0e−iθåavec θ∈R\ {kπ|
k∈Z}.
8b.LorsqueA∈SU(2,C)estdonnée souslaformeindiquée àlaquestion4.,calculerles
coefficientsdiagonauxdeAÇeiθ0
0e−iθåA−1Çe−iθ0
0eiθåenfonction deθetde|a|.
8c.MontrerqueSg∈G{Tr(g)}contientun intervalledelaforme[2−δ,2]avec δ>0.
9.MontrerqueG=SU(2,C).Onditquele groupeSU(2,C)/{±I2}estsimple.
Troisièmepartie
Onsedonneun espace vectorielEsurCdedimensionfinie,etdesendomorphismesnon nuls
e,f,gdeEtelsque
e◦f−f◦e=−2g;f◦g−g◦f=−2e;g◦e−e◦g=−2f.
On notew=f−igetz=f+ig.
10.Calculer
e◦z−z◦e,e◦w−w◦e,z◦w−w◦z.
11.Soitvun vecteurpropredee,associéàunevaleurpropreλ∈C.Sik∈N,montrerqu’il
existeµk∈Ctelque
eÄzk(v)ä=µkzk(v).
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X Maths A MP 2012 — Énoncé 4/4
12.Montrerqu’il existeun vecteurproprev0dee,associéàunevaleurpropreλ0∈C,et tel
quez(v0)=0.
13.Pourk∈N∗,on notevk=wk(v0).Calculere(vk)enfonction dek,λ0etvk.Calculer
z(vk)enfonction dek,λ0etvk−1.
14a.Montrerqu’il existen∈Ntelquevn+1 soitnuletv0,... ,vnsoientlinéairementindé-
pendants.
14b.Onsupposequen≥1.Montrerquepourk=1,... ,n−1,ona
e(vk)=i(n−2k)vk,z(vk)=−4k(n−k+1)vk−1,w(vk)=vk+1,
etd’autrepart
e(v0)=inv0,z(v0)=0,w(v0)=v1,
e(vn)=−invn,z(vn)=−4nvn−1,w(vn)=0.
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