Arithmétique - Math France

Chapitre 20. Arithmétique
(enseignement de spécialité)
I. Divisibilité dans Z
1) Définition de la divisibilité dans Z
Définition 1. Soient aet bdeux entiers relatifs tels que a≠0.
On dit que adivise bsi et seulement si il existe un entier relatif qtel que b=qa.
Il revient au même de dire adivise bou best divisible par aou best multiple de a.
Quand adivise b, on écrit a∣bet quand ane divise pas b, on écrit ab
Exemples. 2divise 6car 6=3×2avec 3entier relatif. 4divise −4car 4=(−1)×(−4)avec −1entier relatif.
1divise 5car 5=5×1avec 5entier relatif. 1divise 0car 0=0×1avec 0entier relatif.
Remarque 1. Dans la définition 1, on a imposé à ad’être non nul ou encore on n’écrira jamais une phrase du
genre « 0divise ... ». Néanmoins, puisque 0=0×0, on peut se permettre de dire que 0est un multiple de 0(mais
pas que 0est un diviseur de 0).
Remarque 2. Si aest un entier relatif, les multiples de l’entier asont les entiers relatifs de la forme q×aoù
qest un entier relatif. Ce sont donc les nombres
... −3a−2a−a0a2a3a...
Par exemple, les multiples de 3sont les entiers relatifs
... −9−6−3 0 3 6 9 ...
Exercice 1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,34n−1+3est divisible par 5.
Solution. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,34n−1+3est divisible par 5.
•34×1−1+3=33+3=30 =6×5et donc la propriété est vraie quand n=1.
• Soit n⩾1. Supposons que 34n−1+3soit divisible par 5et montrons que 34(n+1)−1+3est divisible par 5.
34(n+1)−1+3=34n−1×34+3=(34n−1+3)×34−3×34+3=(34n−1+3)×34−240.
Par hypothèse de récurrence, il existe un entier relatif ktel que 34n−1+3=5k. On en déduit que
34(n+1)−1+3=5k×34−240 =5k×81 −5×48 =5(81k−48).
Puisque 81k−48 est un entier relatif, on a montré que 34(n+1)−1+3est divisible par 5.
Le résultat est démontré par récurrence.
Commentaire. Un moment important de la solution ci-dessus est le moment où on dit que « 81k−48 est un entier
relatif ». On ne peut pas se contenter d’écrire 34(n+1)−1+3=5(81k−48)sans préciser que 81k−48 est un entier
relatif. Si cette phrase n’est pas écrite, la solution ne vaut rien.
Par exemple, il existe qtel que 3=2qà savoir q=3
2mais en aucune façon l’entier 2ne divise l’entier 3. Le
problème est que q=3
2n’est pas un entier.
Théorème 1.Soit aun entier naturel non nul. Tout diviseur de aest inférieur ou égal à a.
Démonstration. Soient aun entier naturel non nul puis dun entier relatif non nul qui est un diviseur de a.
Si d<0, alors d⩽acar a>0.
Supposons maintenant d>0. Il existe un entier relatif qtel que a=q×d. Puisque q=a
d,qest strictement positif
et donc qest un entier naturel non nul. En particulier, q⩾1. On en déduit que
a=q×d⩾1×d=d.
On a montré que tout diviseur de aest inférieur ou égal à a.
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Remarque. Le résultat est faux si a=0car par exemple 1divise 0, puisque 0=0×1, mais 1>0.
Théorème 2.Soit aun entier relatif.
Les diviseurs de asont les diviseurs de a.
Démonstration. Soit aun entier relatif.
Si a⩾0, alors a=aet il n’y a rien à démontrer.
Supposons maintenant a<0. Alors, a=−a. Soit dun entier relatif non nul.
Si ddivise a, il existe un entier relatif qtel que a=q×d. Mais alors, −a=(−q)×davec −qentier relatif. On en
déduit que ddivise −a.
Si ddivise −a, il existe un entier relatif qtel que −a=q×d. Mais alors, a=(−q)×davec −qentier relatif. On en
déduit que ddivise a.
Finalement, les diviseurs de asont les diviseurs de a.
Commentaire. Ce résultat ramène les problèmes de divisibilité entre entiers relatifs à des problèmes de divisibilité
entre entiers naturels.
2) Propriétés de la divisibilité
Théorème 3.1) Pour tout entier relatif non nul a,adivise 0ou aussi 0est un multiple de a.
2) Pour tout entier relatif a,1divise aou aussi aest un multiple de 1.
Démonstration. 1) Soit aun entier relatif non nul. On a 0=0×aet puisque 0est un entier relatif, on a montré
que adivise 0.
2) Soit aun entier relatif. On a a=a×1et puisque aest un entier relatif, on a montré que 1divise a.
Théorème 4.1) a) Pour tout entier naturel non nul a,adivise aou aussi aest un multiple de a.
b) Pour tout entier relatif non nul a,adivise a,adivise −a,−adivise aet −adivise −a.
2) a) Soient aet bdeux entiers naturels non nuls. adivise bet bdivise asi et seulement si b=a.
b) Soient aet bdeux entiers relatifs non nuls. adivise bet bdivise asi et seulement si b=aou b=−a.
3) Soient a,bet ctrois entiers relatifs tels que a≠0et b≠0. Si adivise bet bdivise calors adivise c.
Démonstration. 1) a) et b) Soit aun entier relatif non nul. On a a=1×aet puisque 1est un entier relatif,
on a montré que adivise a. En appliquant ce résultat à l’entier relatif −aqui n’est pas nul, on a aussi montré
que −adivise −a.
De même, les égalités, −a=(−1)×aet a=(−1)×(−a)montrent respectivement que adivise −aet −adivise a.
2) a) Soient aet bdeux entiers naturels non nuls tels que adivise bet bdivise a.
Alors, il existe un entier relatif q1tel que b=q1aet un entier relatif q2tel que a=q2b.
Puisque q1=b
a,q1est strictement positif et donc q1est un entier naturel non nul. De même, q2est un entier
naturel non nul. On en déduit que q1⩾1et q2⩾1.
Puisque b=q1aet a=q2b, on a a=q2(q1a)=(q1q2)aet puisque an’est pas nul, on en déduit que q1q2=1.
En résumé, q1et q2sont deux entiers supérieurs ou égaux à 1dont le produit q1q2est égal à 1. Si l’un de ces
deux entiers n’est pas égal à 1, alors l’un de ces deux entiers est au moins égal à 2puis le produit q1q2est
au moins égal à 2×1=2. Ceci est faux et donc les deux entiers q1et q2sont égaux à 1. Mais alors b=a.
Réciproquement, si b=a, alors adivise bet bdivise ad’après 1).
On a montré que pour tous entiers naturels non nuls aet b,adivise bet bdivise asi et seulement si b=a.
b) Soient aet bdeux entiers relatifs non nuls tels que adivise bet bdivise a.
Il existe donc un entier relatif q1tel que b=q1aet un entier relatif q2tel que a=q2b. Mais alors b=q1×aet
a=q2×b. Ainsi, aet bsont deux entiers naturels non nuls tels que adivise bet bdivise a. D’après 2)a),
on a nécessairement b=apuis b=aou b=−a.
Réciproquement, si b=aou b=−a, alors adivise bet bdivise ad’après 1).
On a montré que pour tous entiers relatifs non nuls aet b,adivise bet bdivise asi et seulement si b=a
ou b=−a.
3) Soient a,bet ctrois entiers relatifs tels que a≠0,b≠0,adivise bet bdivise c.
Il existe un entier relatif q1et un entier relatif q2tels que b=q1aet c=q2b. Mais alors c=q2(q1a)=(q1q2)a.
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Puisque q1q2est un entier relatif, on en déduit que adivise c.
Théorème 5.Soient aet bdeux entiers relatifs et dun entier relatif non nul.
1) Si ddivise aet b,ddivise a+bet a−b.
2) Si ddivise aet ddivise b, alors pour tous entiers relatifs uet v,ddivise u×a+v×b.
Démonstration. Le 1) est un cas particulier du 2), énoncé explicitement (ce sont les cas u=v=1et u=−v=1).
Montrons donc 2).
Soient aet bdeux entiers relatifs et dun entier relatif non nul tels que ddivise aet ddivise b.
Il existe un entier relatif q1tel que a=q1×det il existe un entier relatif q2tel que b=q2×d.
Soient uet vdeux entiers relatifs. Alors,
u×a+v×b=u×q1×d+v×q2×d=(u×q1+v×q2)d.
Puisque u×q1+v×q2est un entier relatif, on a montré que ddivise u×a+v×b.
Exercice 2. Trouver tous les entiers relatifs ntels que n+2divise 2n+7.
Solution. Soit nun entier naturel tel que n+2divise 2n+7.
Alors, comme n+2divise n+2,n+2divise aussi (2n+7)−2(n+2)=3et donc n+2∈{−3; −1; 1; 3}puis
n∈{−5; −3; −1,1}.
Réciproquement,
• si n=−5,n+2=−3et 2n+7=−3. Dans ce cas, n+3divise 2n+7.
• si n=−3,n+2=−1et 2n+7=1. Dans ce cas, n+3divise 2n+7.
• si n=−1,n+2=1et 2n+7=5. Dans ce cas, n+3divise 2n+7.
• si n=1,n+2=3et 2n+7=9. Dans ce cas, n+3divise 2n+7.
Les entiers relatifs ntels que n+2divise 2n+7sont −5,−3,−1et 1.
Théorème 6.Soient aun entier relatif et dun entier relatif non nul.
Si ddivise a, alors pour tout entier relatif b,ddivise a×bou encore si ddivise a, alors ddivise tout multiple
de a.
Démonstration. Soient aun entier relatif et dun entier relatif non nul tels que ddivise a.
Il existe un entier relatif qtel que a=q×d. Soit alors bun entier relatif. On a ab =(qd)b=(qb)d. Puisque qb
est un entier relatif, ceci montre que ddivise ab.
II. Division euclidienne
Théorème 7 (division euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel non nul).
Soient aun entier naturel et bun entier naturel non nul.
Il existe un couple d’entiers naturels (q, r)et un seul tel que
a=bq +ret 0⩽r<b.
Démonstration. Soient aun entier naturel et bun entier naturel non nul.
Existence. Soit qla partie entière de a
bpuis r=a−bq.qest un entier naturel et rest un entier relatif.
qest le plus grand entier naturel inférieur ou égal à a
bet donc q⩽a b<q+1. En multipliant les trois membres de
cet encadrement par l’entier strictement positif b, on obtient qb ⩽a<qb +bpuis en retranchant le nombre bq
aux trois membres de l’encadrement, on obtient 0⩽a−bq <bou encore 0⩽r<b.
Ainsi, qet rsont deux entiers naturels tels que a=bq +ret 0⩽r<b. Ceci montre l’existence de qet r.
Unicité. Soient q1,q2,r1et r2quatre entiers naturels tels que a=bq1+r1=bq2+r2et 0⩽r1<bet 0⩽r2<b.
On a en particulier bq1+r1=bq2+r2puis b(q1−q2)=r2−r1.
Puisque 0⩽r1<bet 0⩽r2<b, on a encore −b⩽−r1<0et 0⩽r2<bpuis en additionnant membre à membre,
on obtient −b<r2−r1<bou encore r2−r1<b.
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Supposons par l’absurde que q1−q2ne soit pas nul, alors q1−q2⩾1puisque q1−q2est un entier relatif.
Puisque r2−r1=q1−q2×b=q1−q2×b, on en déduit que r2−r1⩾1×b=bce qui est faux.
Par suite, q1−q2=0ou encore q1=q2puis r2−r1=0ou encore r1=r2. Ceci montre l’unicité de qet r.
Par exemple, la division euclidienne de 47 par 4s’écrit
47 =11 ×4+3.
Le quotient de la division euclidienne de 47 par 4est q=11 et le reste est r=3. Cette division euclidienne fournit
la partie entière et la partie décimale de 47
4. En effet, en divisant par 4les deux membres de l’égalité 47 =11 ×4+3,
on obtient
47
4=11 +3 4,
où 11 est un entier et 3
4est un réel de [0,1[. La division euclidienne est la division d’un entier par un autre où
« on ne poursuit pas après la virgule ». Ceci est une division euclidienne
47 4
113
alors que ceci est une division tout court
47 4
11,750
Théorème 8 (division euclidienne d’un entier relatif par un entier naturel non nul).
Soient aun entier relatif et bun entier naturel non nul.
Il existe un couple d’entiers relatifs (q, r)et un seul tel que
a=bq +ret 0⩽r<b.
Démonstration. Soient aun entier relatif et bun entier naturel non nul.
Existence. Le résultat est déjà établi quand a⩾0. Supposons a<0et posons a′=−a.a′est un entier naturel et
on peut appliquer le théorème 5 aux entiers aet b.
Il existe deux entiers naturels q′et r′tel que a′=bq′+r′et 0⩽r′<b. On a encore a=−a′=b(−q′)−r′.
• Si r′=0, on pose q=−q′et r=0.qet rsont des entiers relatifs tels que a=bq +ret 0⩽r<b.
• Sinon, 0<r′<b. On écrit alors
a=b(−q′)−r′=b(−q′−1)+b−r′.
On pose q=−q′−1et r=b−r′.qet rsont des entiers relatifs tels que a=bq +r. De plus,
0<r′<b⇒−b<−r′<0⇒b−b<b−r′<b+0⇒0<r<b⇒0⩽r<b.
Unicité. Elle se démontre exactement de la même façon que dans le théorème 5.
Par exemple, la division euclidienne de −47 par 4s’écrit
−47 =(−12)×4+1.
Le quotient de cette division est q=−12 et le reste est r=1. Cette égalité fournit de nouveau, si besoin est, la
partie
entière et la partie décimale de −47
4:
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−47
4=−12 +1 4.
Exercice 3. Déterminer le nombre de semaines dans une année non bissextile.
Solution. Il y a 365 jours dans une année non bissextile et 7jours dans une semaine. La division euclidienne de
365 par 7s’écrit
365 =52 ×7+1,
car 0⩽1<7. Une année non bissextile est donc constituée de 52 semaines plus 1jour.
On a immédiatement le résultat suivant concernant la divisibilité d’un entier par un autre :
Théorème 9.Soient aet bdeux entiers relatifs tels que b≠0.
bdivise asi et seulement si le reste de la division euclidienne de apar best nul.
III. PGCD.
1) Définition du PGCD
Théorème 10.Soient aet bdeux entiers relatifs tels que a≠0ou b≠0.
L’ensemble des diviseurs communs à aet badmet un plus grand élément qui est un entier naturel.
Démonstration. Soient aet bdeux entiers relatifs tels que a≠0ou b≠0. Supposons par exemple que a≠0.
Soit Dl’ensemble des diviseurs communs à aet bqui sont des entiers naturels non nuls.
Dn’est pas vide car 1est un diviseur commun à aet bqui est de plus un entier naturel non nul.
D’après les théorèmes 1 et 2, pour tout élément dde D, on a 1⩽d⩽a.
Ainsi, Dest un ensemble d’entiers naturels non nuls qui contient un nombre fini d’éléments (au plus a) et donc
Dadmet un plus grand élément ce qu’il fallait démontrer.
Remarque. Si a=b=0, la notion de PGCD de aet bn’a pas de sens car tout entier relatif non nul est un
diviseur commun à aet b.
Définition 2. Soient aet bdeux entiers relatifs tels que a≠0ou b≠0.
Le plus grand des divisieurs communs à aet bs’appelle le PGCD de aet b(« plus grand commun diviseur »)
et se note PGCD(a, b).
Exemple. Le PGCD de −12 et 18 est 6. En effet, les diviseurs de −12 qui sont des entiers naturels non nuls sont
1,2,3,4,6et 12.
Parmi ces diviseurs, seuls 1,2,3et 6divisent aussi 18. Les diviseurs communs à −12 et 18 qui sont des entiers
naturels non nuls sont donc 1,2,3et 6. Le plus grand de ces diviseurs communs est 6.
2) Propriétés du PGCD
Théorème 11.
1) Soient aet bdeux entiers relatifs tels que a≠0ou b≠0.
PGCD(a, b)=PGCD(a,b).
Démonstration. D’après le théorème 2, les diviseurs communs à aet bsont aussi les diviseurs communs à a
et b.
En particulier, le plus grand des diviseurs communs à aet best aussi le plus grand des diviseurs communs à a
et bce qui démontre le résultat.
Commentaire. Ce résultat ramène la recherche du PGCD de deux entiers relatifs à la recherche du PGCD de
deux entiers naturels.
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