L`électron dans l`atome : paramètres fondamentaux e i T = e ev i 2 r

Leçon n°5 PHR 101
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L’électron dans l’atome : paramètres fondamentaux
1. Moment cinétique et moment magnétique d’un électron
Soit un électron de masse m et de vitesse v décrivant une trajectoire circulaire de rayon r et de
centre O. On désigne par M la position de l'électron sur sa trajectoire à un instant donné (figure 1).
Le moment cinétique de l'électron par rapport au point O est :
OM
Λp OM Λ(m v)
= =
r uuuuur r uuuuur ur
L [5.1]
Rappelons que dans cette expression faisant intervenir un produit vectoriel :
[ ]
1 2 1
OM,vetL,pris dans cet ordre forment un t
rièdre direct
L OM m v mvr
L Kg m.s m Kg m s
− −
= × × =
= × × = × ×
uuuur r ur
ur uuuuur ur
L
r
M
O
L
r
M
O
Figure 1 : L'électron décrit une trajectoire circulaire plane de rayon OM = r. Le moment cinétique
L
r
de cet électron
par rapport au point O est orthogonal au plan de la trajectoire et dirigé comme l'indique la figure.
Un électron en mouvement étant une particule chargée, il est équivalent à un courant d'intensité i tel
que :
e
i
T
=
[5.2]
e est la valeur absolue de la charge de l'électron et T est la période de révolution.
L’équation [5.2] peut aussi s’écrire sous la forme de :
e ev
i2 r
2 r
v
= =
π
π
[5.3]
v = norme de la vitesse de l'électron et r = rayon de la trajectoire.

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Il est important de noter que le sens conventionnel du courant i est le sens inverse de celui du
mouvement de l'électron (Figure 2).
-
e
-
e
-
e
i
i
Figure 2 : Les conséquences expérimentales du courant électrique ont été étudiées durant le XIX siècle sans que l'on
connaisse la cause, c'est-à-dire l'existence de l'électron découvert par Thomson en 1891. On a choisi "un sens
conventionnel" pour l'intensité du courant i et ... on avait une chance sur deux de se tromper!
On a ainsi un circuit électrique constitué d'une spire dont on peut définir le vecteur surface S
r
de la
façon suivante :
• S
r
est perpendiculaire à la surface contenant la spire. En faisant intervenir le vecteur normal à la
surface
n
r
, on peut écrire :
S S .n
=
r r
r
• la norme de S
r
est S
r
= πr
2
• S
r
est dans le sens de l'avance d'une vis dont la rotation est celle correspondant à i.
Le vecteur moment magnétique créé par une boucle de courant est par définition :
2
ev e vr
µ=iS= ×
πr n= n
2πr 2
r r
r r
[5.4]
Ses propriétés sont les suivantes suivantes :
2
* Sens : celui de n
* Direction : celle de n
evr
* µ 2
* µ A.m
=
  =
r
r
r
r
Les vecteurs
µetL sont donc deux vecteurs colinéaires mais de sens opposé (Figure 3), et on peut
écrire que :

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µ L
=−γ
r
r
[5.5]
γ est une constante positive à déterminer.
r
L
r
µ
r
L
r
µ
Figure 3 : Le moment magnétique
µ
r
du circuit constitué d'un électron en mouvement circulaire est colinéaire
et de sens opposé au vecteur moment cinétique
L
r
de l'électron par rapport au point O.
Pour déterminer γ, calculons le rapport
L
µ
r
r
:
ev r e
= = =
2 mvr 2 m
L
µ
γ
r
r
[5.6]
γ est le rapport gyromagnétique classique de l'électron et a pour valeur 9.10
10
rd s
−1
(Tesla)
−1
Ceci signifie que le module du moment magnétique
µ
r
est beaucoup plus grand que celui du
moment cinétique
L
r
.
Remarque : [γ
γγ
γ] en rd s
−
−−
−1
(Tesla)
−
− −
−1
??
Pour trouver cette unité, commençons par déterminer les unités de la vitesse, l’accélération et la
force dans la base de Frenet.
Rappel :
Dans le cas d’un mouvement plan, et en définissant en tout point M un vecteur unitaire
r
T
tangent à
la trajectoire et orienté comme celle-ci, le vecteur vitesse, lui-même tangent à la trajectoire au point
M peut s’écrire :
( )
= =
uur
r r
V t v T avec V v

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La notation v correspond à la valeur algébrique de la vitesse. Le signe de v indique dans quel sens le
point M se déplace sur la trajectoire : v est positif pour un déplacement dans le sens positif et négatif
dans le sens contraire.
Pour obtenir une nouvelle base dans le plan, il suffit de définir un vecteur unitaire
uur
N
perpendiculaire
à
r
T
.
(
r
T
,
uur
N
) est la base de Frenet. Elle est mobile dans le référentiel d’étude puisque la direction des
vecteurs de base dépend du point considéré sur la trajectoire.
Dans cette base, le vecteur accélération peut s’écrire sous la forme de :
(
)
= +
uur uur
r
t n
a t a T a N
Ou encore :
2
= +
r
r r
dV V
a T N
d t ρ
-----------------
Dans notre cas :
dOM
OM r N v r ( T) r T
dt
=− ⇒= = − θ − = θ
uuuur
uuuur ur r ur ur
& &
Comme la vitesse angulaire
θ
&
est constante et égale à ω , on a donc :
v r T
= ω
r ur
1
v m rds
−
⇒=
r
L’accélération est telle que :
{
( )
( )
2
2 2 2
0
2
1 2 2
.
− −
= + = = =
= =
r
r r r r r
r
r
dV V V
a T N N N r N
d t r r r
a rd s m m rd s
ωω
¨
Dans cette base, la force
F
r
aura donc pour unité Kg. m. rd
2
. s
-2
.
-----------------
Unité de γ ?
γ ?γ ?
γ ?
[ ]
2
A m
L
µ
γ = =
r
ur kg m×
( )
1
.rd.s m
−
×
1 1
A.kg .rd .s
− −
=
A-t-on donc :
1 1 1 1
T rd.s A kg rd s
− − − −
× = × × ×
??
La force magnétique F peut être déduite à partir de l’expression : F = B I
l

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B étant le champ magnétique, l la longueur du conducteur.
On a donc :
[
]
[
]
[
]
[
]
F = B I l kg m⇒× 2 2
.rd .s T A m
−
= × ×
2 2
2 2
2 1
1 2 1 1
1 1 1 1
kg rd .s T A
kg rd .s T A
kg rd .s T A s
T rd .s A s kg
T rd.s A kg rd s
−
−
−
− − −
− − − −
⇒× = ×
⇒× = ×
⇒× = × ×
⇒× = × ×
⇒× = × × ×
Les concepts vus dans ce premier paragraphe doivent être repris dans le cadre de la mécanique
quantique, qui permet de connaître le comportement des électrons dans l'atome.
Dans la réalité, les choses sont donc un peu plus compliquées mais il faut retenir que moment
cinétique et moment magnétique sont colinéaires. Si l'un est quantifié, il n'est pas étonnant que l'autre
le soit aussi.
2. Les nombres quantiques des électrons d'atomes libres
2.1. Le nombre quantique principal n
Historiquement, le premier modèle d’atome est celui de Thomson qui décrivait l'atome comme une
sphère remplie d'une substance positive dans laquelle se trouve les électrons chargés négativement.
On surnomme ce modèle "plum pudding de Thomson" (les électrons sont considérés comme des
prunes (plum en anglais) dans un pudding). Ce modèle permettait une description quantitative des
phénomènes d’absorption, de dispersion et de diffusion de la lumière par les atomes. Le modèle de
Thomson, correspondant à des électrons élastiquement liés, est encore souvent utilisé pour certaines
représentations de l’interaction avec une onde lumineuse.
La théorie de Thomson fut remise en cause par l’expérience de Rutherford en 1912, qui montra, en
étudiant la déviation de particules α (atomes d’hélium ionisés deux fois, He
++
) par les atomes d’une
mince feuille d’or. Ce résultat le conduisit à proposer un nouveau modèle atomique, de type
planétaire, où les électrons tournent autour du noyau comme les planètes tournent autour du soleil.