Exercices - Étienne Thibierge

Exercices du chapitre introductif
Langevin–Wallon, PTSI 2016-2017
Dimensions, unités, incertitudes
Les losanges à droite des exercices indiquent le niveau de maîtrise du cours qu’ils demandent :
[♦♦] Mise en pratique très directe d’un point précis du cours : vous pouvez faire ces exercices pour apprendre
votre cours, et ils doivent être faits sans difficulté en fin de chapitre ;
[♦] Exercice d’application : l’objectif est de savoir faire ces exercices en fin de chapitre car vous serez évalués
sur des sujets de difficulté comparable en colle, en devoir, et dans une large part des sujets de concours ;
[] Exercice demandant davantage de réflexion, proche des parties plus difficiles des sujets de concours.
Exercice 1 : Écriture des incertitudes
[♦♦]
Imaginons une mesure réalisée en TP pour laquelle l’incertitude a été correctement estimée. L’écriture du résultat
est-elle pour autant correcte ? Si ce n’est pas le cas, proposer une écriture correcte. Si c’est le cas, proposer une
deuxième écriture correcte.
. Longueur d’onde moyenne de la raie D du sodium : λ = 589,3 ± 2 nm ;
. Vitesse du son dans l’air à température ambiante : c = 343 ± 2 m · s−1 ;
. Période d’oscillation d’un pendule : τ = 4,73 ± 1,22 s ;
. Volume équivalent d’un dosage : Véq = 14 ± 0,1 mL.
Exercice 2 : Dimension des grandeurs magnétiques
[♦]
1 - La force magnétique qui s’exerce entre deux conducteurs parallèles de même longueur L, parcourus par des
courants d’intensité I1 et I2 , et séparés d’une distance d a pour norme
F =
µ0 I1 I2 L
.
2π
d
En déduire la dimension de la perméabilité magnétique du vide µ0 .
2 - Cette expression sert de définition fondamentale à l’ampère : lorsque les deux fils sont séparés de d = 1 m
(exactement) et sont parcourus par un courant de même intensité I0 , alors cette intensité est par définition égale à
exactement 1 A lorsque F/L = 2 · 10−7 N · m−1 (exactement). En déduire la valeur numérique de µ0 .
3 - Un solénoïde est un long tube creux de longueur totale L beaucoup plus grande que son rayon R, entouré d’un
bobinage constitué de N boucles de fil conducteur parcouru par un courant d’intensité I. Vous montrerez en PT
qu’un champ magnétique apparaît à l’intérieur du solénoïde, de norme
B=
µ0 N I
L
En déduire la dimension d’un champ magnétique.
4 - Nous expliquerons plus tard dans l’année qu’un électron en mouvement dans un champ magnétique constant de
norme B suit une trajectoire circulaire de rayon Rc qu’il parcourt à une fréquence fc appelée fréquence cyclotron.
Cette fréquence est susceptible de dépendre de B, Rc , et également de la charge e et de la masse m de l’électron. En
déduire une expression plausible de fc .
Indication : Pour déterminer la dimension d’une charge électrique, on peut se rappeler que l’intensité du courant
électrique I dans un fil compte la charge Q ayant traversé une section du fil pendant une durée ∆t,
I=
Q
.
∆t
Exercice 3 : Calculs avec chiffres significatifs
[♦]
Calculer les quantités demandées en ne gardant que le nombre de chiffres significatifs qui convient. Vous pouvez
faire les opérations avec votre calculatrice, mais vous ne devez être vigilants à l’écriture du résultat.
1 - Un escargot se réveille un jour de pluie sous le rebord d’une fenêtre. Il descend le mur sur 95 cm, parcourt 2,3 m
dans la pelouse puis 30 cm dans le potager où il va manger une salade. Quelle distance d a-t-il parcouru ?
2 - La Terre a un rayon R = 6,4 · 103 km. En supposant qu’il s’agit d’une boule, calculer son volume V = 34 πR3 .
3 - La distance minimale entre la Terre et Jupiter vaut d = 591 millions de kilomètres.
3.a - Combien de temps ∆t met la lumière pour nous parvenir de Jupiter sachant qu’elle se propage à c =
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Étienne Thibierge, 23 août 2016, www.etienne-thibierge.fr
Exercices introductifs : Dimensions, unités, incertitudes
Langevin–Wallon, PTSI 2016-2017
3,00 · 108 m · s−1 ?
3.b - Quelle est la distance d’un aller retour ?
4 - Rappel : la quantité de matière contenue dans un volume V d’une solution de concentration C vaut n = C × V
4.a - Considérons 20,0 mL d’une solution de sulfate de cuivre de concentration 1,0 · 10−2 mol · L−1 . Calculer la
quantité de matière n1 du bécher.
4.b - On mélange cette solution avec 50 mL d’une autre. Quel est le volume total Vtot contenu dans le bécher ?
4.c - La deuxième solution contient 2,00 · 10−3 mol de sulfate de cuivre. Quelle est la quantité de matière totale ntot
contenue dans le bécher ?
Exercice 4 : Atome d’hydrogène
[♦]
Cet exercice propose d’étudier certaines grandeurs caractéristiques de l’atome d’hydrogène par analyse dimensionnelle.
L’atome d’hydrogène est composé d’un proton et d’un électron séparés d’une distance a0 appelée rayon de Bohr.
#”
La force coulombienne F exercée par le proton sur l’électron est attractive et a pour norme
F =
1 e2
.
4πε0 a02
Données :
. Charge élémentaire : e = 1,60 · 10−19 C ;
. Masse d’un électron : me = 9,11 · 10−31 kg ;
. Perméabilité diélectrique du vide : ε0 = 8,85 · 10−12 F · m−1 (farad par mètre) ;
. Constante de Planck réduite : ~ = 1,05 · 10−34 J · s (joule seconde).
Indication : Pour déterminer la dimension d’une charge électrique, on peut se rappeler que l’intensité du courant
électrique I dans un fil compte la charge Q ayant traversé une section du fil pendant une durée ∆t,
I=
Q
.
∆t
1 - Exprimer la dimension de la perméabilité diélectrique du vide ε0 en termes des dimensions fondamentales.
2 - Nous expliquerons lors du chapitre sur la mécanique quantique que la distance a0 entre le proton et l’électron
résulte d’un compromis entre des effets coulombiens, qui tendent à les attirer l’un vers l’autre, et des effets quantiques,
qui leur imposent de demeurer séparés. Une modélisation relativement simple permet de comprendre que le rayon de
Bohr vaut
4π ε0 ~2
a0 =
m e e2
2.a - Vérifier que l’expression donnée a la bonne dimension.
2.b - Calculer sa valeur numérique. La donner en notation scientifique puis en utilisant le préfixe multiplicatif adapté.
3 - L’énergie d’ionisation Eion de l’atome d’hydrogène est l’énergie à lui fournir pour arracher son électron. Elle est
donc directement reliée aux paramètres intervenant dans la force coulombienne, à savoir ε0 , e et a0 .
3.a - Déterminer par analyse dimensionnelle l’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène à un facteur multiplicatif
numérique près.
3.b - Vous montrerez en deuxième année par un calcul d’électrostatique que ce facteur multiplicatif vaut 1/8π.
Calculer la valeur numérique de Eion en joule, puis en électron-volt, sachant que 1 eV = 1,60 · 10−19 J.
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Étienne Thibierge, 23 août 2016, www.etienne-thibierge.fr