LES ENSEMBLES DE NOMBRES

Sophie Touzet
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Les ensembles de nombres
LES ENSEMBLES DE NOMBRES
I Les entiers naturels.
Définition 1: L'ensemble des entiers naturels ({ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... }) est désigné par le symbole : N.
N
*
désigne l’ensemble des entiers naturels privé de l’entier 0.
Propriété 1: N est un ensemble infini ; quel que soit un entier n il existe un entier plus grand (par exemple : n + 1 qui est
l’entier suivant).
II Les entiers relatifs.
Définition 2: L'ensemble des entiers relatifs (constitué des entiers naturels et de leurs opposés) est désigné par le symbole : Z.
Z
*
désigne l’ensemble des entiers relatifs privé de 0.
Remarque : Les entiers naturels sont des entiers relatifs ; on dit que Z est inclus dans N, ce qui se note : N W Z.
III Les rationnels.
Définition 3: Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs. Il peut s'écrire sous la forme
a
b
(appelée écriture
fractionnaire) où a et b sont des entiers relatifs avec b différent de 0.
L'ensemble des nombres rationnels est désigné par le symbole : Q .
Q
*
désigne l’ensemble des nombres rationnels privé de 0.
Propriété 2: Entre deux rationnels, il y a une infinité de rationnels.
Remarque : Les entiers (naturels et relatifs) sont des nombres rationnels. On a : N est inclus dans Z, qui est inclus dans Q, ce
qui se note N W Z W Q.
Cas particuliers : les décimaux.
Définition 4 : Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous la forme
n
a
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avec a entier relatif et n entier
naturel. L'ensemble des nombres décimaux est désigné par D .
Remarque : Les décimaux sont des rationnels ; les entiers relatifs sont des décimaux. On a : N est inclus dans Z , qui est
inclus dans D , lui-même est inclus dans Q
Attention :
1
3
n'est pas égal à 0,33 , ni même à 0,33333333333.
1
3
n'est pas un nombre décimal.
« Matérialisation » de
1
3
: sur un axe gradué on peut construire le point d'abscisse
1
3
en appliquant le théorème de Thalès.
Remarque : Les nombres rationnels ne permettent pas de « couvrir » tous les points d'une droite graduée.
Exemple « historique » :
2
n'est pas un nombre rationnel.
Le point d'abscisse
2
se construit sur un axe « à la règle et au compas » en appliquant le théorème de Pythagore.

Sophie Touzet
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Les ensembles de nombres
IV Les réels.
Théorème 1 : Il existe un ensemble de nombres dit « ensemble des nombres réels », noté R, correspondant à l'ensemble des
abscisses des points d'un axe gradué.
R
*
désigne l’ensemble des réels privé de 0.
Remarque : Les rationnels sont des réels. On a donc : N est inclus dans Z, qui est inclus dans D, qui est inclus dans Q,
lui-même inclus dans R, ce qui se note : N W Z W D W Q W R.
Exemples de nombres réels qui ne sont pas rationnels :
1) π est un nombre réel qui n'est pas rationnel ; en d'autres termes π n'est pas égal à un quotient.
Les « anciens » utilisaient parfois le rationnel
22
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; ce n'est qu'une valeur approchée ; de même pour 3,14.
2)
n
est un nombre réel qui n'est pas rationnel si n est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait.
Notations de sous ensembles particuliers de
ℝ
: les intervalles.
Pour désigner un ensemble de nombres réels « sans trou » (par exemple pour donner l’ensemble des solutions d’une
inéquation), on utilise les notations suivantes :
a et b désignent des nombres réels tels que a < b.
Désignation de l’intervalle Signification: ensemble des réels x tels que
[a ; b] a ≤ x ≤ b
] a; b [ a < x < b
[ a; b [ a ≤ x < b
] a; b ] a < x ≤ b
] - ∞ ; a] x ≤ a
] - ∞; a [ x < a
[a ; + ∞[ a ≤ x
] a ; + ∞[ a < x
Définition 5 : Les intervalles [a ; b], [a ; b[, ]a ; b], ou ]a ; b[ sont dits bornés. a et b s’appellent les bornes de l’intervalle.
Le nombre
2
+
a b
est appelé le centre de l’intervalle.
Le nombre b – a est appelé la longueur de l’intervalle.
Définition 6 : Le symbole ∪
∪∪
∪ représente la réunion de plusieurs intervalles, c’est-à-dire l’ensemble de tous les réels de
chaque intervalle. Il se lit « union ».
Exemple: [ - 5; 2 ] ∪ ] 0; 3[ est l’ensemble des réels x tels que -5 ≤ x ≤ 2 ou 0 < x < 3. C’est l’intervalle [ -5; 3[
Définition 7 : Le symbole ∩
∩∩
∩ représente l’intersection de plusieurs intervalles, c’est-à-dire l’ensemble des réels communs à
tous les intervalles. Il se lit « inter ».
Exemple: [ -5; 2] ∩ ]0; 3[ est l’ensemble des réels x tels que -5 ≤ x ≤ 2 et 0 < x < 3. C’est l’intervalle ]0; 2].