LES ENSEMBLES DE NOMBRES I Les entiers naturels. Définition 1: L'ensemble des entiers naturels ({ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... }) est désigné par le symbole : N. N* désigne l’ensemble des entiers naturels privé de l’entier 0. Propriété 1: N est un ensemble infini ; quel que soit un entier n il existe un entier plus grand (par exemple : n + 1 qui est l’entier suivant). II Les entiers relatifs. Définition 2: L'ensemble des entiers relatifs (constitué des entiers naturels et de leurs opposés) est désigné par le symbole : Z. Z* désigne l’ensemble des entiers relatifs privé de 0. Remarque : Les entiers naturels sont des entiers relatifs ; on dit que Z est inclus dans N, ce qui se note : N W Z. III Les rationnels. Définition 3: Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs. Il peut s'écrire sous la forme a (appelée écriture b fractionnaire) où a et b sont des entiers relatifs avec b différent de 0. L'ensemble des nombres rationnels est désigné par le symbole : Q. * Q désigne l’ensemble des nombres rationnels privé de 0. Propriété 2: Entre deux rationnels, il y a une infinité de rationnels. Remarque : Les entiers (naturels et relatifs) sont des nombres rationnels. On a : N est inclus dans Z, qui est inclus dans Q, ce qui se note N W Z W Q. Cas particuliers : les décimaux. Définition 4 : Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous la forme a avec a entier relatif et n entier 10 n naturel. L'ensemble des nombres décimaux est désigné par D. Remarque : Les décimaux sont des rationnels ; les entiers relatifs sont des décimaux. On a : N est inclus dans Z, qui est inclus dans D, lui-même est inclus dans Q Attention : 1 1 n'est pas égal à 0,33 , ni même à 0,33333333333. n'est pas un nombre décimal. 3 3 « Matérialisation » de 1 1 : sur un axe gradué on peut construire le point d'abscisse en appliquant le théorème de Thalès. 3 3 Remarque : Les nombres rationnels ne permettent pas de « couvrir » tous les points d'une droite graduée. Exemple « historique » : Le point d'abscisse Sophie Touzet 2 n'est pas un nombre rationnel. 2 se construit sur un axe « à la règle et au compas » en appliquant le théorème de Pythagore. 1 Les ensembles de nombres IV Les réels. Théorème 1 : Il existe un ensemble de nombres dit « ensemble des nombres réels », noté R, correspondant à l'ensemble des abscisses des points d'un axe gradué. R* désigne l’ensemble des réels privé de 0. Remarque : Les rationnels sont des réels. On a donc : N est inclus dans Z, qui est inclus dans D, qui est inclus dans Q, lui-même inclus dans R, ce qui se note : N W Z W D W Q W R. Exemples de nombres réels qui ne sont pas rationnels : 1) π est un nombre réel qui n'est pas rationnel ; en d'autres termes π n'est pas égal à un quotient. Les « anciens » utilisaient parfois le rationnel 2) 22 ; ce n'est qu'une valeur approchée ; de même pour 3,14. 7 n est un nombre réel qui n'est pas rationnel si n est un entier naturel qui n'est pas un carré parfait. Notations de sous ensembles particuliers de ℝ : les intervalles. Pour désigner un ensemble de nombres réels « sans trou » (par exemple pour donner l’ensemble des solutions d’une inéquation), on utilise les notations suivantes : a et b désignent des nombres réels tels que a < b. Désignation de l’intervalle Signification: ensemble des réels x tels que [a ; b ] a≤x≤b ] a; b [ a<x<b [ a; b [ a≤x<b ] a; b ] a<x≤b ] - ∞ ; a] x≤a ] - ∞; a [ x<a [a ; + ∞ [ a≤x ] a ; + ∞[ a<x Définition 5 : Les intervalles [a ; b], [a ; b[, ]a ; b], ou ]a ; b[ sont dits bornés. a et b s’appellent les bornes de l’intervalle. Le nombre a +b est appelé le centre de l’intervalle. 2 Le nombre b – a est appelé la longueur de l’intervalle. Définition 6 : Le symbole ∪ représente la réunion de plusieurs intervalles, c’est-à-dire l’ensemble de tous les réels de chaque intervalle. Il se lit « union ». Exemple: [ - 5; 2 ] ∪ ] 0; 3[ est l’ensemble des réels x tels que -5 ≤ x ≤ 2 ou 0 < x < 3. C’est l’intervalle [ -5; 3[ Définition 7 : Le symbole ∩ représente l’intersection de plusieurs intervalles, c’est-à-dire l’ensemble des réels communs à tous les intervalles. Il se lit « inter ». Exemple: [ -5; 2] ∩ ]0; 3[ est l’ensemble des réels x tels que -5 ≤ x ≤ 2 et 0 < x < 3. C’est l’intervalle ]0; 2]. Sophie Touzet 2 Les ensembles de nombres