Terminale S Durée : 1h00 10 points Partie A 2 points Le but de celle

DEVOIR SURVEILLÉ N°3
Terminale S Durée : 1h00
EXERCICE : 10 points
Partie A 2 points
Le but de celle partie est de démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini en raison-
nant par l’absurde.
1. On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers notés p1,p2,..., pn.
On considère le nombre Eproduit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :
E=p1×p2× · · · × pn+1.
Démontrer que Eest un entier supérieur ou égal à 2, et que Eest premier avec chacun des
nombres p1,p2,..., pn.
2. En utilisant le fait que Eadmet un diviseur premier conclure.
Partie B 5 points
Pour tout entier naturel kÊ2, on pose Mk=2k−1.
On dit que Mkest le k-ième nombre de Mersenne.
1. a. Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de Mk:
k2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mk3
b. D’après le tableau précédent, si kest un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre
Mkest premier ?
2. Soient pet qdeux entiers naturels non nuls.
a. En déduire que 2pq −1 est divisible par 2p−1.
b. En déduire que si un entier ksupérieur ou égal à 2 n’est pas premier, alors Mkne l’est pas
non plus.
3. a. Prouver que le nombre de Mersenne M11 n’est pas premier.
b. Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?
Partie C 3 points
Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce
test utilise la suite numérique (un)définie par u0=4 et pour tout entier naturel n:
un+1=u2
n−2.
Si nest un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d’affirmer que le nombre Mnest
premier si et seulement si un−2≡0 modulo Mn. Cette propriété est admise dans la suite.
1. Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne M5est premier.
2015-2016 1 Florent Lebreton

2. Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3.
L’algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne Mn
est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer.
Variables : u,M,net isont des entiers naturels
Initialisation : uprend la valeur 4
Traitement : Demander un entier nÊ3
Mprend la valeur . .. .. .
Pour iallant de 1 à . .. faire
uprend la valeur . ..
Fin Pour
Si Mdivise ualors afficher « M......... »
sinon afficher « M......... »
Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu’il remplisse la condition voulue.
2015-2016 2 Florent Lebreton

Exercice 4 5 points Asie juin 2014
Candidats ayant choisi la spécialité mathématique
Partie A
1. On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers notés p1,p2,..., pn. On considère
le nombre Eproduit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : E=p1×p2× · · · × pn+1.
Le nombre 2 est premier donc il est dans la liste {p1,p2, ...,pn} donc le produit de ces nombres
premiers est supérieur ou égal à 2 et donc Eest supérieur ou égal à 2.
Soit iun entier de l’intervalle 1; n.
Le reste de la division de Epar piest 1 ; donc En’est pas divisible par pi. Comme piest un
nombre premier, et que En’est pas divisible par pi, alors Eet pisont premiers entre eux.
Donc Eest premier avec chacun des nombres p1,p2,...,pn.
2. Tout nombre supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier, donc Eadmet un diviseur pre-
mier. Ce diviseur premier ne peut être ni p1, ni p2, ni ... , ni pn; donc il existe un autre nombre
premier qui n’est ni p1, ni p2, ni . .. , ni pn, ce qui contredit l’hypothèse faite au départ.
Il existe donc une infinité de nombres premiers.
Partie B
Pour tout entier naturel kÊ2, on pose Mk=2k−1. On dit que Mkest le k-ième nombre de Mer-
senne.
1. a. On calcule Mkpour quelques valeurs de k:
k2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mk3 7 15 31 63 127 255 511 1023
b. Pour k=2 premier, M2=3 est premier. Pour k=3 premier, M3=7 est premier. Pour k=5
premier, M5=31 est premier. Pour k=7 premier, M7=127 est premier.
D’après ce tableau, on peut conjecturer que si kest premier, alors Mkest premier.
2. Soient pet qdeux entiers naturels non nuls.
a. 1+2p+ + (2p)2+(2p)3+ · · · (2p)q−1est la somme des qpremiers termes de la suite géomé-
trique de premier terme 1 et de raison 2P; cette somme est égale à :
premier terme×1−raisonnombre de termes
1−raison =1×1−(2p)q 1−2p=(2p)q−1 2p−1
b. Le nombre 1+2p+ + (2p)2+(2p)3+ · · · (2p)q−1est entier et, d’après la question précédente,
¡1+2p+ + (2p)2+(2p)3+ · · · (2p)q−1¢×(2p−1)=2pq −1 donc 2p q −1 est divisible par 2p−1.
c. Soit kun nombre non premier ; alors il existe deux entiers strictement plus grands que 1
tels que k=pq.
Mk=2k−1=2pq −1 est divisible par 2p−1 qui est strictement plus grand que 1 : donc Mk
n’est pas premier.
3. a. M11 =211 −1=2047 =23×89 donc M11 n’est pas premier.
b. La conjecture de la question 1.b. est donc fausse : 11 et premier et M11 ne l’est pas.
2015-2016 3 Florent Lebreton

Partie C
Soit (un) la suite définie sur Npar : ½u0=4
un+1=u2
n−2 pour tout entier naturel n
1. D’après le test de Lucas-Lehmer, M5est premier si et seulement si u3≡0 modulo M5.
M5=31 ; u0=4 ; u1=u2
0−2=14 ; u2=u2 1−2=194 ; u3=u2 2−2=37634 =31×1214
Donc u3est divisible par M5donc le test de Lucas-Lehmer est vérifié pour k=5.
2. L’algorithme suivant permet de vérifier si le nombre de Mersenne Mnest premier, en utilisant le
test de Lucas-Lehmer :
Variables : u,M,net isont des entiers naturels
Initialisation : uprend la valeur 4
Traitement : Demander un entier nÊ3
Mprend la valeur 2n−1
Pour iallant de 1 à n−2faire
uprend la valeur u2−2
Fin Pour
Si Mdivise ualors afficher « Mest premier »
sinon afficher « Mn’est pas premier »
2015-2016 4 Florent Lebreton