Asie 2014. Enseignement spécifique

Asie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
Partie A
Le but de cette partie est de démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l’absurde.
1) On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers notés p1 , p2 , . . . , pn .
On considère le nombre E produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :
E = p1 × p2 × · · · × pn + 1.
Démontrer que E est un entier supérieur ou égal à 2, et que E est premier avec chacun des nombres p1 , p2 ,
. . . , pn .
2) En utilisant le fait que E admet un diviseur premier, conclure.
Partie B
Pour tout entier naturel k ! 2, on pose Mk = 2k − 1.
On dit que Mk est le k-ième nombre de Mersenne.
1) a) Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de Mk :
k
2
Mk
3
3
4
5
6
7
8
9
10
b) D’après le tableau précédent, si k est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre Mk est premier ?
2) Soient p et q deux entiers naturels non nuls.
2
3
a) Justifier l’égalité : 1 + 2p + + (2p ) + (2p ) + · · · (2p )
q−1
=
(2p )q − 1
.
2p − 1
b) En déduire que 2pq − 1 est divisible par 2p − 1.
c) En déduire que si un entier k supérieur ou égal à 2 n’est pas premier, alors Mk ne l’est pas non plus.
3) a) Prouver que le nombre de Mersenne M11 n’est pas premier.
b) Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?
Partie C
Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite
numérique (un ) définie par u0 = 4 et pour tout entier naturel n :
un+1 = u2n − 2.
Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d’affirmer que le nombre Mn est premier si et seulement
si un−2 ≡ 0 modulo Mn . Cette propriété est admise dans la suite.
1) Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne M5 est premier.
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
L’algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne Mn est premier,
en utilisant le test de Lucas-Lehmer.
Variables :
u, M, n et i sont des entiers naturels
Initialisation :
u prend la valeur 4
Traitement :
Demander un entier n ! 3
M prend la valeur . . . . . .
Pour i allant de 1 à . . . faire
u prend la valeur . . .
Fin Pour
Si M divise u alors afficher « M . . . . . . . . . »
sinon afficher « M . . . . . . . . . »
Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu’il remplisse la condition voulue.
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c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
Partie A
1) Il existe au moins un nombre premier à savoir 2. Donc n est supérieur ou égal à 1. Ensuite,
E = p1 × p2 × · · · × pn + 1 ! p1 + 1 ! 2 + 1 ! 2.
Donc, E est un entier supérieur ou égal à 2.
Soit k un entier naturel tel que 1 " k " n. Montrons que E et pk sont premiers entre eux.
E = p1 × p2 × · · · × pn + 1 ⇔ 1 × E + (−p1 × p2 × · · · × pk−1 × pk+1 × · · · × pn ) × pk = 1.
En posant u = 1 et v = −p1 × p 2 × · · · × pk−1 × pk+1 × · · · × pn , on a obtenu deux entiers relatifs u et v tels que
uE + vpk = 1. D’après le théorème de Bézout, les entiers E et pk sont premiers entre eux.
On a montré que E est premier avec chacun des nombres p1 , p2 , . . . , pn .
2) Puisque E ! 2, E admet au moins un diviseur premier noté p. Puisque E est premier avec chacun des nombres
premiers p1 , p2 , . . . , pn , le nombre premier p n’est aucun de ces nombres et est donc un nouveau nombre premier ce
qui contredit l’hypothèse. Donc l’ensemble des nombres premiers est infini.
Partie B
1) a) Les nombres de Mersenne M2 , . . . , M10 :
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mk
3
7
15
31
63
127
255
511
1023
b) Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 10 sont 2, 3, 5 et 7.
• M2 = 3 est premier.
• M3 = 7 est premier.
• M5 = √
31 est premier car 31 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 qui sont les nombres premiers inférieurs ou
égaux à 31 = 5, . . ..
• M7 = 127 est premier car 127
√ n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11 qui sont les nombres
premiers inférieurs ou égaux à 127 = 11, . . ..
Il semble cohérent de conjecturer que, si k est un nombre premier, le nombre Mk est premier.
2) a) Soient p et q deux entiers naturels non nuls. On sait que pour tout nombre réel Q différent de 1 et tout entier
naturel n,
1 + Q + Q2 + . . . + Qn =
1 − Qn+1
.
1−Q
Ici, Q = 2p et donc Q est supérieur ou égal à 2 car p est supérieur ou égal à 1. En particulier, Q ̸= 1. D’autre part
n = q − 1 est un entier naturel et on peut donc écrire
q
2
3
q−1
1 + 2p + + (2p ) + (2p ) + · · · (2p )
=
q
(2p ) − 1
1 − (2p )
=
.
p
1−2
2p − 1
b) L’égalité précédente s’écrit encore
"
!
q
2
3
q−1
.
2pq − 1 = (2p ) − 1 = (2p − 1) 1 + 2p + + (2p ) + (2p ) + · · · (2p )
2
3
q−1
Puisque 2p − 1 et 1 + 2p + + (2p ) + (2p ) + · · · (2p )
2p − 1.
sont des entiers, on a montré que 2pq − 1 est divisible par
c) Soit k ! 2. Supposons que k ne soit pas premier. Il existe alors deux entiers naturels p et q supérieurs ou égaux à
2 tels que k = pq.
D’après la question précédente, l’entier Mk = 2pq − 1 est divisible par l’entier 2p − 1. Ensuite, puisque p ! 2, 2p − 1
est supérieur ou égal à 3 et en particulier 2p − 1 ! 2. D’autre part,
!
"
2pq − 2p = 2p 2p(q−1) − 1 > 0
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puisque q ! 2 et donc p(q − 1) > 0. Par suite, 2p < 2pq puis 2p − 1 < Mk .
Ainsi, on a trouvé un diviseur de Mk , à savoir d = 2p − 1, vérifiant 2 " d < Mk . Donc Mk n’est pas premier. On a
montré que si un entier k supérieur ou égal à 2 n’est pas premier, alors Mk ne l’est pas non plus.
√
3) a) M11 = 211 − 1 = 2047. 2047 = 45, . . . et donc M11 est premier si et seulement si il n’est divisible par aucun
des nombres premiers inférieurs ou égaux à 45.
La calculatrice fournit 2047 = 23 × 89 et on a montré que M11 n’est pas premier.
b) La conjecture émise à la question 1. b. était donc fausse.
Partie C
1) Ici n = 5 et donc n − 2 = 3.
• u1 = u20 − 2 = 14.
• u2 = u21 − 2 = 194.
• u3 = u22 − 2 = 37634 = 31 × 1214.
Par suite, u3 ≡ 0 (mod M5 ) et le test de Lucas-Lehmer permet de redémontrer le fait que le nombre de Mersenne
M5 est premier.
2) Algorithme complété.
Variables :
u, M, n et i sont des entiers naturels
Initialisation :
u prend la valeur 4
Traitement :
Demander un entier n ! 3
M prend la valeur 2n − 1
Pour i allant de 1 à n − 2 faire
u prend la valeur u2 − 2
Fin Pour
Si M divise u alors afficher « M indice n est premier »
sinon afficher « M indice n n’est pas premier »
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