Asie 2014. Enseignement spécifique

Asie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
Partie A
Le but de cette partie est de démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l’absurde.
1) On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers notés p1,p2, ..., pn.
On considère le nombre Eproduit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :
E=p1×p2×···×pn+1.
Démontrer que Eest un entier supérieur ou égal à 2, et que Eest premier avec chacun des nombres p1,p2,
..., pn.
2) En utilisant le fait que Eadmet un diviseur premier, conclure.
Partie B
Pour tout entier naturel k!2,onposeMk=2k−1.
On dit que Mkest le k-ième nombre de Mersenne.
1) a) Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de Mk:
k2345678910
Mk3
b) D’après le tableau précédent, si kest un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre Mkest premier ?
2) Soient pet qdeux entiers naturels non nuls.
a) Justifier l’égalité : 1+2p++(2p)2+(2p)3+···(2p)q−1=(2p)q−1
2p−1.
b) En déduire que 2pq −1est divisible par 2p−1.
c) En déduire que si un entier ksupérieur ou égal à 2n’est pas premier, alors Mkne l’est pas non plus.
3) a) Prouver que le nombre de Mersenne M11 n’est pas premier.
b) Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?
Partie C
Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite
numérique (un)définie par u0=4et pour tout entier naturel n:
un+1=u2
n−2.
Si nest un entier naturel supérieur ou égal à 2,letestpermetd’affirmerquelenombreMnest premier si et seulement
si un−2≡0modulo Mn.Cettepropriétéestadmisedanslasuite.
1) Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre deMersenneM5est premier.
2) Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3.
L’algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne Mnest premier,
en utilisant le test de Lucas-Lehmer.
Variable s : u,M,net isont des entiers naturels
Initialisation : uprend la valeur 4
Traite ment : Demander un entier n!3
Mprend la valeur . . . . . .
Pour iallant de 1 à . . . faire
uprend la valeur . . .
Fin Pour
Si Mdivise ualors afficher « M......... »
sinon afficher « M......... »
Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu’il remplisse la condition voulue.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Asie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
Partie A
1) Il existe au moins un nombre premier à savoir 2.Doncnest supérieur ou égal à 1.Ensuite,
E=p1×p2×···×pn+1!p1+1!2+1!2.
Donc, Eest un entier supérieur ou égal à 2.
Soit kun entier naturel tel que 1"k"n.MontronsqueEet pksont premiers entre eux.
E=p1×p2×···×pn+1⇔1×E+(−p1×p2×···×pk−1×pk+1×···×pn)×pk=1.
En posant u=1et v=−p1×p2×···×pk−1×pk+1×···×pn,onaobtenudeuxentiersrelatifsuet vtels que
uE +vpk=1.D’aprèslethéorèmedeBézout,lesentiersEet pksont premiers entre eux.
On a montré que Eest premier avec chacun des nombres p1,p2, ..., pn.
2) Puisque E!2,Eadmet au moins un diviseur premier noté p.PuisqueEest premier avec chacun des nombres
premiers p1,p2, ..., pn,lenombrepremierpn’est aucun de ces nombres et est donc un nouveau nombre premier ce
qui contredit l’hypothèse. Donc l’ensemble des nombres premiers est infini.
Partie B
1) a) Les nombres de Mersenne M2, ..., M10 :
k2345678910
Mk3 7 15 31 63 127 255 511 1023
b) Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 10 sont 2,3,5et 7.
•M2=3est premier.
•M3=7est premier.
•M5=31 est premier car 31 n’est divisible ni par 2,nipar3,nipar5qui sont les nombres premiers inférieurs ou
égaux à √31 =5,....
•M7=127 est premier car 127 n’est divisible ni par 2,nipar3,nipar5,nipar7,nipar11 qui sont les nombres
premiers inférieurs ou égaux à √127 =11, . . ..
Il semble cohérent de conjecturer que, si kest un nombre premier, le nombre Mkest premier.
2) a) Soient pet qdeux entiers naturels non nuls. On sait que pour tout nombre réel Qdifférent de 1et tout entier
naturel n,
1+Q+Q2+...+Qn=1−Qn+1
1−Q.
Ici, Q=2pet donc Qest supérieur ou égal à 2car pest supérieur ou égal à 1.Enparticulier,Q̸=1.D’autrepart
n=q−1est un entier naturel et on peut donc écrire
1+2p++(2p)2+(2p)3+···(2p)q−1=1−(2p)q
1−2p=(2p)q−1 2p−1.
b) L’égalité précédente s’écrit encore
2pq −1=(2p)q−1=(2p−1)!1+2p++(2p)2+(2p)3+···(2p)q−1".
Puisque 2p−1et 1+2p++(2p)2+(2p)3+···(2p)q−1sont des entiers, on a montré que 2pq −1est divisible par
2p−1.
c) Soit k!2.Supposonsquekne soit pas premier. Il existe alors deux entiers naturels pet qsupérieurs ou égaux à
2tels que k=pq.
D’après la question précédente, l’entier Mk=2pq −1est divisible par l’entier 2p−1.Ensuite,puisquep!2,2p−1
est supérieur ou égal à 3et en particulier 2p−1!2.D’autrepart,
2pq −2p=2p!2p(q−1)−1">0
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puisque q!2et donc p(q−1)>0.Parsuite,2p<2
pq puis 2p−1<M
k.
Ainsi, on a trouvé un diviseur de Mk,àsavoird=2p−1,vérifiant2"d<M
k.DoncMkn’est pas premier. On a
montré que si un entier ksupérieur ou égal à 2n’est pas premier, alors Mkne l’est pas non plus.
3) a) M11 =211 −1=2047.√2047 =45, . . . et donc M11 est premier si et seulement si il n’est divisible par aucun
des nombres premiers inférieurs ou égaux à 45.
La calculatrice fournit 2047 =23 ×89 et on a montré que M11 n’est pas premier.
b) La conjecture émise à la question 1. b. était donc fausse.
Partie C
1) Ici n=5et donc n−2=3.
•u1=u2
0−2=14.
•u2=u2
1−2=194.
•u3=u2
2−2=37634 =31 ×1214.
Par suite, u3≡0(mod M5)et le test de Lucas-Lehmer permet de redémontrer le fait que le nombre de Mersenne
M5est premier.
2) Algorithme complété.
Variable s : u,M,net isont des entiers naturels
Initialisation : uprend la valeur 4
Traite ment : Demander un entier n!3
Mprend la valeur 2n−1
Pour iallant de 1 à n−2faire
uprend la valeur u2−2
Fin Pour
Si Mdivise ualors afficher « Mindice nest premier »
sinon afficher « Mindice nn’est pas premier »
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