Devoir maison python

Devoir maison python
S. Benlhajlahsen
Travail à rendre le mardi 28 mars 2017
Résumé
Vous rendrez ce TP par mail à l’adresse : [email protected]
Le fichier devra porter le nom : prenom_nom_dm_classe.py
I. Etude d’une lentille magnétique
Toutes les données numériques sont regroupées dans la table 1.
Il sera nécessaire de mettre en préambule de votre script les importations
suivantes :
import numpy as np
import scipy.integrate as sp
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
A. position du problème
On étudie le mouvement d’un électron de masse m, de charge qqui se dé-
place dans une zone ou règne un champ magnétique −→ B. L’étude est faite dans
le référentiel Rd’origine Oauquel on attache le repère d’espace (−→ ux,−→ uy,−→ uz).
Dans tout le problème, les coordonnées de la particule seront notées
(x,y,z)et les composantes du vecteur vitesse seront notées (vx, vy, vz).
L’application du principe fondamental de la dynamique permet d’écrire
l’équation du mouvement suivante :
d−→ v
dt=q m·−→
v∧−→ B
B. mouvement hélicoïdal dans un champ uniforme
Dans le cas d’un champ magnétique uniforme et colinéaire à −→ uzsoit
−→
B=B0−→ uz, on est ramené au système d’équations différentielles :
dx
dt=vx
dy
dt=vy
dz
dt=vz
dvx
dt=qB0 m·vy
dvy
dt=−qB0 m·vx
dvz
dt= 0
Qui peut se réécrire
dX
dt=F(X,t)
en posant X= (x,y,z,vx,vy,vz).
1

Les conditions initiales seront alors :
X0= (0,0,−d,v0/√2,0,v0/√2)
1. Définir une liste listeT correspondant aux différents instants
t0, t1,···tNcompris entre t0= 0 et tN= 4TC.
2. Ecrire une fonction Fqui prend en argument une liste X(correspon-
dant à [x,y,z,vx,vy,vz]) et une liste listeT et qui renvoie une liste et
correspondant au système d’équations différentielles précédent.
3. En utilisant la méthode odeint de la librairie scipy.integrate, ré-
soudre le système précédent et récupérer dans 3 listes listeX,listeY
et listeZ, les coordonnées x,yet zsuccessives de la particule.
4. Tracer la trajectoire correspondante dans l’espace (voir figure 1).
On utilisera les instructions suivantes :
plt.gca(projection=’3d’)
plt.plot(listeX, listeY, listeZ)
plt.show()
5. Recommencer cette résolution en utilisant la méthode d’Euler avec
un pas h=t1−t0.
Figure 1
C. mouvement dans un champ non uniforme
z
x
y
•
M0
−→
v0
αO
d
Figure 2: schéma de la lentille magnétique dans un plan de coupe
2

A présent la spire magnétique crée, dans une zone proche de l’axe (Oz),
un champ −→ B(M) = Bx−→ ux+By−→ uy+Bz−→ uzavec :
Bx(x,y,z) = B0
3xz
2a2 1 + z2 a2!−5/2
By(x,y,z) = B0
3yz
2a2 1 + z2 a2!−5/2
Bz(x,y,z) = B0 1 + z2
a2!−3/2
Le système d’équations différentielles devient, à présent,
dx
dt=vx
dy
dt=vy
dz
dt=vz
dvx
dt=q m(vyBz−vzBy)
dvy
dt=q m(vzBx−vxBz)
dvz
dt=q m(vxBy−vyBx)
Les conditions initiales s’écriront sous la forme :
X0= (0,0,−d,v0sin α,0, v0cos α)
1. Définir 3 fonctions Bx,By et Bz qui prennent en argument 3 flottants x,
yet zet qui renvoie la valeur de la composante du champ magnétique
au point de coordonnées (x,y,z).
2. Ecrire une fonction Fqui prend en argument une liste X(correspon-
dant à [x,y,z,vx,vy,vz]) et une liste listeT et qui renvoye une liste et
correspondant au système d’équations différentielles précédent.
3. On prend, tout d’abord, α=π
100 . Résoudre le système par la méthode
d’Euler précédente et tracer la trajectoire correspondante.
4. On prend, à présent, α=kπ
50 pour kentier relatif compris entre -10
et 10. Tracer l’ensemble des trajectoire sur un même graphique (voir
figure 4).
D. Estimation de la distance focale de la lentille
Bien que le système ne soit pas parfaitement stigmatique, les conditions
expérimentales proposées précédemment font que les trajectoires coupent
l’axe (Oz)en une zone quasi-pontuelle (voir figure 1).
z
x
d d0
Figure 3: conjugaison parfaite
Les distances det d0vérifie alors 1
f=1 d+1 d0avec fla distance focale de
la lentille magnétique.
Pour chaque valeur de α, on cherche à déterminer la cote z=d0
αdu point
d’intersection de la trajectoire avec l’axe (Oz). En se limitant à la partie de
la trajectoire telle que z > 0, on repère le point le plus proche de l’axe (soit
avec r=√x2+y2le plus faible) puis on en déduit la valeur de d0
αpour
chaque valeur de α.
Déterminer alors la valeur moyenne de fpar Ddd0
α
d+d0
αE.
On trouve alors hfi= 4.491578 ×10−3m
3

Charge de l’électron q=−1.6×10−19 C
Masse de l’électron m= 9.1×10−31 kg
Champ magnétique B0= 1.0 T
Pulsation cyclotron ΩC=|q|B0
m
Période cyclotron TC=2π
ΩC
Vitesse d’émission v0= 2.0×108m·s−1
Distance objet d= 0.02 m
Rayon des lentilles a= 0.001 m
Nombre de pas 500
Table 1: paramètres physiques du problème (données en unités du système
international). Bien que la valeur de la vitesse soit très élevée, on adoptera
un traitement classique.
Figure 4
4