Devoir maison python

Devoir maison python
S. Benlhajlahsen
Travail à rendre le mardi 28 mars 2017
L’application du principe fondamental de la dynamique permet d’écrire
l’équation du mouvement suivante :
Résumé
Vous rendrez ce TP par mail à l’adresse : [email protected]
Le fichier devra porter le nom : prenom_nom_dm_classe.py
I.
−
→
−
d→
v
q →
=
·−
v ∧B
dt
m
Etude d’une lentille magnétique
B. mouvement hélicoïdal dans un champ uniforme
Toutes les données numériques sont regroupées dans la table 1.
−
Dans le cas d’un champ magnétique uniforme et colinéaire à →
uz soit
Il sera nécessaire de mettre en préambule de votre script les importations →
−
→
−
B = B0 uz , on est ramené au système d’équations différentielles :
suivantes :

import numpy as np
dx

= vx

dt

import scipy.integrate as sp

dy


= vy

dt

import matplotlib.pyplot as plt

 dz
= vz
dt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
dv
0
x

= qB
· vy

dt
m


dvy
qB


= − m0 · vx

dt

A. position du problème

dv

z
= 0
dt
On étudie le mouvement d’un électron de masse m, de charge q qui se dé→
−
Qui peut se réécrire
place dans une zone ou règne un champ magnétique B . L’étude est faite dans
→
−
→
−
→
−
dX
le référentiel R d’origine O auquel on attache le repère d’espace (ux ,uy ,uz ).
= F (X,t)
dt
Dans tout le problème, les coordonnées de la particule seront notées
en posant X = (x,y,z,vx ,vy ,vz ).
(x,y,z) et les composantes du vecteur vitesse seront notées (vx , vy , vz ).
1
Les conditions initiales seront alors :
√
√
X0 = (0,0, − d,v0 / 2,0,v0 / 2)
1. Définir une liste listeT correspondant aux différents instants
t0 , t1 , · · · tN compris entre t0 = 0 et tN = 4TC .
2. Ecrire une fonction F qui prend en argument une liste X (correspondant à [x,y,z,vx ,vy ,vz ]) et une liste listeT et qui renvoie une liste et
correspondant au système d’équations différentielles précédent.
Figure 1
3. En utilisant la méthode odeint de la librairie scipy.integrate, résoudre le système précédent et récupérer dans 3 listes listeX, listeY
C.
et listeZ, les coordonnées x, y et z successives de la particule.
mouvement dans un champ non uniforme
4. Tracer la trajectoire correspondante dans l’espace (voir figure 1).
d
x
On utilisera les instructions suivantes :
→
−
v0
plt.gca(projection=’3d’)
O
• α
M0
plt.plot(listeX, listeY, listeZ)
z
plt.show()
y
5. Recommencer cette résolution en utilisant la méthode d’Euler avec
un pas h = t1 − t0 .
Figure 2: schéma de la lentille magnétique dans un plan de coupe
2
A présent la spire magnétique crée, dans une zone proche de l’axe (Oz), D.
→
−
−
−
−
ux + By →
uy + Bz →
uz avec :
un champ B (M ) = Bx →
2
3xz
z
1+ 2
2
2a
a
!−5/2
3yz
z2
By (x,y,z) = B0 2 1 + 2
2a
a
!−5/2
Bx (x,y,z) = B0
Bz (x,y,z) = B0
z2
1+ 2
a
Estimation de la distance focale de la lentille
Bien que le système ne soit pas parfaitement stigmatique, les conditions
expérimentales proposées précédemment font que les trajectoires coupent
l’axe (Oz) en une zone quasi-pontuelle (voir figure 1).
x
!−3/2
Le système d’équations différentielles devient, à présent,



















dx
dt
dy
dt
dz
dt
dvx
dt
dvy
dt
dvz
dt
= vx
= vy
= vz
= mq (vy Bz − vz By )
= mq (vz Bx − vx Bz )
= mq (vx By − vy Bx )
z
d0
d
Figure 3: conjugaison parfaite
Les conditions initiales s’écriront sous la forme :
X0 = (0,0, − d,v0 sin α,0, v0 cos α)
1. Définir 3 fonctions Bx, By et Bz qui prennent en argument 3 flottants x,
y et z et qui renvoie la valeur de la composante du champ magnétique
au point de coordonnées (x,y,z).
2. Ecrire une fonction F qui prend en argument une liste X (correspondant à [x,y,z,vx ,vy ,vz ]) et une liste listeT et qui renvoye une liste et
correspondant au système d’équations différentielles précédent.
π
3. On prend, tout d’abord, α = 100
. Résoudre le système par la méthode
d’Euler précédente et tracer la trajectoire correspondante.
π
4. On prend, à présent, α = k 50
pour k entier relatif compris entre -10
et 10. Tracer l’ensemble des trajectoire sur un même graphique (voir
figure 4).
Les distances d et d0 vérifie alors
la lentille magnétique.
1
f
=
1
d
+
1
d0
avec f la distance focale de
Pour chaque valeur de α, on cherche à déterminer la cote z = d0α du point
d’intersection de la trajectoire avec l’axe (Oz). En se limitant à la partie de
la trajectoire
(soit
√ 2telle 2que z > 0, on repère le point le plus proche de l’axe
0
avec r = x + y le plus faible) puis on en déduit la valeur de dα pour
chaque valeur de α.
Déterminer alors la valeur moyenne de f par
On trouve alors hf i = 4.491578 × 10−3 m
3
D
dd0α
d+d0α
E
.
Charge de l’électron
Masse de l’électron
Champ magnétique
Pulsation cyclotron
Période cyclotron
Vitesse d’émission
Distance objet
Rayon des lentilles
Nombre de pas
q = −1.6 × 10−19 C
m = 9.1 × 10−31 kg
B0 = 1.0 T
ΩC = |q| Bm0
TC = Ω2πC
v0 = 2.0 × 108 m · s−1
d = 0.02 m
a = 0.001 m
500
Table 1: paramètres physiques du problème (données en unités du système
international). Bien que la valeur de la vitesse soit très élevée, on adoptera
un traitement classique.
Figure 4
4