Méthode de Newton

1. Voici une version graphique de l’algorithme :
Méthode de Newton
Fiche élève
p
Comment calculer la valeur de 2 ?
Ne « bottons pas en touche » en répondant qu’il suffit de prendre une calculatrice
p
car la question devient alors : comment la calculatrice fait-elle pour calculer 2, ou
de façon plus précise, quel algorithme a été programmé dans la machine ?
Cette activité a pour but d’étudier un algorithme particulièrement efficace qui utilise le calcul différentiel. Cet algorithme a été proposé par Isaac Newton, l’un des
inventeurs du calcul différentiel.
p
De quel nombre voulons nous parler lorsque nous écrivons 2 ? Il est nécessaire de le
savoir pour espérer en calculer une valeur. La réponse est qu’il s’agit de l’unique nombre
positif dont le carré vaut 2.
p
Si nous désignons par f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = x 2 − 2 alors 2 est
le nombre x tel que f (x) = 0.
La méthode de Newton résoud cette équation de manière itérative. Cela signifie qu’elle
procède par étapespsuccessives et que chaque nouvelle étape permet d’obtenir une valeur approchée de 2 plus précise que celle obtenue à l’étape précédente. On arrête le
processus lorsqu’on estime que la valeur obtenue est suffisamment précise.
Le texte ci-dessous décrit l’algorithme utilisé par Newton en 1669 et par votre calculatrice
aujourd’hui :
Données :
Une fonction f
Un nombre u initial
Un nombre e fixant la condition d’arrêt du calcul
Résultat :
Un nombre u tel que f (u) ¶ e
Traitement :
Tant que |f (u)| > e
Calculer l’accroissement ponctuel de f en u
Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse u
Calculer l’abscisse du point d’intersection de la tangente avec l’axe des abscisses
Appeler u cette abscisse
Afficher la valeur de u
http://dichotomies.fr/2011/infomath/activites/fonctions/methode-de-newton/fiche-eleve/
Données :
La courbe d’une fonction f
Un nombre u initial
Un nombre e fixant la condition d’arrêt du calcul
Résultat :
Un nombre u tel que f (u) ¶ e
Traitement :
Tant que |f (u)| > e
Calculer le coefficient directeur de la courbe de f au point d’abscisse u
Tracer la tangente au point d’abscisse u
Marquer le point d’intersection de la tangente avec l’axe des abscisses
Appeler u cette abscisse
Lire la valeur de u
Exécutez cette version sur l’annexe ci-jointe en choisissant 15 comme valeur initiale de u et 3 comme valeur pour e. Dessinez les tangentes et marquez les points
d’intersection avec l’axe des abscisses.
2. Exécutez la version initiale de l’algorithme avec les mêmes données : u = 15 et e = 3.
Détaillez pour chaque itération les calculs qui fournissent l’équation de la tangente
puis ceux qui fournissent l’abscisse de son point d’intersection avec l’axe des abscisses.
3. Traduisez l’algorithme de Newton en un programme dans le langage de votre calculatrice ou si vous préférez dans le langage Python.
U
Dans les deux langages |a| s’écrit « abs(a) ».
4. (a) Programmez l’algorithme p
dans votre calculatrice et utilisez le pour calculer
une valeur approchée de 2 en prenant comme données initiales u = 15 et
e = 0,000 001.
p
Donnez la valeur approchée de 2 que vous obtenez.
U
(b) Combien d’itérations a exécuté votre programme ?
Modifiez légèrement votre programme pour le savoir.
Denis Pinsard – Mis à jour le lundi 21 novembre 2011
[CML033]
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
f (x)
ANNEXE A
1
2
– Méthode de Newton
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
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