chap2

Le monoïde libre (Σ*,.)
(Alphabet Σ, mot, langage)

Alphabet Σ
Un alphabet, noté Σ, est un ensemble fini de symboles.
Chaque symbole de Σest appelé lettre (ou caractère).
Ex. {0, 1} , {carreau, cœur, pique, trèfle}, {a,b},
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ,…
Mot
Un mot est une suite finie de lettres de Σ.
(un mot est la concaténation des lettres)
On écrit a.b.c ou abc pour le même mot.
L’opération concaténation est appelée produit
Longueur d’un mot = nombre de ses lettres
Longueur d’une lettre (considéré comme un mot) = 1
u désigne la longueur du mot u.
Un mot u de longueur n est une application de {1,2,…n}
dans Σoù u(i) désigne la ième lettre de u.

Le mot vide est noté ε, il est de longueur 0
Σ* = ∪
n≥0
Σ
n
où
Σ
n
= Σ.Σ…Σ(produit n fois) et Σ
0
= {ε}
u ∈ Σ
n
(n > 0) ⇔ ∃ a
1
, a
2
, …,a
n
∈ Σ :
u = a
1
a
2
…a
n
Σ
n
est l’ensemble des mots de longueur n
Σ* = {ε} ∪ Σ
+
où Σ
+
= ∪
n≥1
Σ
n
u ∈ Σ* ⇔ou bien u = ε
ou bien ∃n >0, ∃a
1
, a
2
, …,a
n
∈ Σ : u = a
1
a
2
…a
n
Σ* est l’ensemble de tous les mots que l’on peut
construire sur l’alphabet Σ.
(Σ*, .) est un monoïde libre.

Soit u un mot sur Σ. (u ∈ Σ*)
On note par : u
0
= ε
u
i+1
= u
i
u = u u
i
∀i≥0.
Soient u et v deux mots sur Σ.
v est dit facteur (ss mot) de u si
∃u
1
, u
2
∈ Σ* t.q. u = u
1
v u
2
de plus
si u
1
u
2
≠ ε ,v est un facteur propre de u
v est un facteur gauche ( ou préfixe) de u si
∃w ∈ Σ* t.q u = v w
v est un facteur droit (ou suffixe) de u si
∃w ∈ Σ* t.q u = w v

Morphisme de monoïde
Soient Σet Σ’ deux alphabets.
ϕ: Σ* Σ’* est un homomorphisme si :
ϕ(ε) = ε
∀u, v ∈ Σ* ϕ(u v) = ϕ(u) ϕ(v)
Tout homomorphisme est entièrement défini par l’image
des lettres de l’alphabet.
i. e on définit ϕpour les lettres de Σ
ϕ: Σ Σ’* puis on le prolonge aux mots de Σ*
ϕ ̑ : Σ* Σ’* par :
ϕ ̑ (ε) = εet
ϕ ̑ (ua) = ϕ ̑ (u) ϕ(a) ∀u ∈ Σ* , ∀a ∈ Σ