Triangle rectangle : cosinus

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4
ème
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Triangle rectangle : cosinus
cours
1. cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle :
Définition :
Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’un des angles aigus est le rapport
longueur du côté adjacent à l'angle aigu
longueur de l'hypoténuse
Dans le triangle
ABC
rectangle en
A
, ci-dessus, d’après la définition du cosinus, on a :
AB côté adjacent à ABC
cos ABC BC hypoténuse = =
AC côté adjacent à ACB
cos ACB BC hypoténuse = =
2. Cosinus et calculatrice
Avec la calculatrice, pour calculer
cos 55
°
au centième près :
•
Penser à mettre la calculatrice en mode degré.
• Utiliser la fonction «
cos
» de la calculatrice.
•
,
cos 55 0 57
°≈
Avec la calculatrice, pour calculer la mesure d’un angle
ABC
tel que
,
cos ABC 0 7
=, au degré près :
• Penser à mettre la calculatrice en mode degré.
• Utiliser la fonction «
-1
cos
» de la calculatrice (ou
cos
2ndF )
•
ABC 46
≈ °
.
Exercice de cours
Compléter le tableau suivant
Angle
ABC
arrondi au °
6° 20° 41° 57° 60° 70° 89°
Cosinus de
ABC
arrondi au
centième
,
0 99
,
0 94
,
0 75
,
0 55
0,5
,
0 34
,
0 02

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ème
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Remarques :
• Plus l’angle aigu augmente, plus son cosinus diminue.
• Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1. Cela se conçoit aisément car
l’hypoténuse est le plus grand des côtés dans un triangle rectangle, donc le rapport :
côté adjacent
hypoténuse
est inférieur à 1.
3. Exercices d’application :
Exercice 1 :
EFG
est un triangle rectangle en
F
tel que
3
EF
=
cm ;
5
EG
=
cm.
Déterminer
cos
FEG
; avec la calculatrice, trouver la mesure de
FEG
arrondie à
,
0 1
°
.
Dans le triangle
EFG
rectangle en
F
:
,
EF 3
cos FEG 0 6
EG 5
= = =
d’où
,
FEG 53 1
≈ °
.
Exercice 2 :
ABC
est un triangle rectangle en
A
tel que
BC 6
=
cm et
ABC 40
= °
.
Calculer
AB
. On donnera la valeur arrondie à
,
0 1
cm.
Dans le triangle
ABC
rectangle en
A
:
,
AB
cos ABC BC
AB
cos 40 6
AB 6 cos 40
AB 4 6
=
°=
= × °
≈
4. Bissectrices et cercle inscrit :
Définition :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le coupe en deux angles de même mesure.
La construction s’effectue au compas.
Ici :
O O
x z z y
=

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Propriété :
Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle.
M est sur la bissectrice
[
)
O
z
de
O
x y
.
La distance de M à
[
)
O
x
est
MH
.
La distance de M à
[
)
O
y
est MK.
La propriété indique donc que
MH MK
=
Réciproque de la propriété :
Si un point est équidistant des deux côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
La distance de M à
[
)
O
x
est
MH
.
La distance de M à
[
)
O
y
est MK.
MH MK
=
La réciproque de la propriété indique donc que M est
sur la bissectrice de
O
x y
.
Propriété :
Dans un triangle, les bissectrices des trois angles sont concourantes en un point, équidistant des trois
côtés du triangle. Ce point s’appelle le centre du cercle inscrit au triangle.
Construction avec le triangle ABC tel que :
AB 5 cm
=
;
AC 7 cm
=
et
BC 8 cm
=
.
Remarques :
• 2 bissectrices suffisent pour déterminer
le centre du cercle inscrit au triangle.
• Le cercle inscrit est tangent aux trois
côtés du triangle.