Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème Triangle rectangle : cosinus cours 1. cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle : Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’un des angles aigus est le rapport longueur du côté adjacent à l'angle aigu longueur de l'hypoténuse Dans le triangle ABC rectangle en A , ci-dessus, d’après la définition du cosinus, on a : cos ABC AB côté adjacent à ABC BC hypoténuse cos ACB AC côté adjacent à ACB BC hypoténuse 2. Cosinus et calculatrice Avec la calculatrice, pour calculer cos 55 au centième près : Penser à mettre la calculatrice en mode degré. Utiliser la fonction « cos » de la calculatrice. cos 55 0, 57 Avec la calculatrice, pour calculer la mesure d’un angle ABC tel que cos ABC 0, 7 , au degré près : Penser à mettre la calculatrice en mode degré. Utiliser la fonction « cos -1 » de la calculatrice (ou 2ndF ABC 46 . cos ) Exercice de cours Compléter le tableau suivant Angle ABC arrondi au ° 6° 20° 41° 57° 60° 70° 89° Cosinus de ABC arrondi au centième 0, 99 0, 94 0, 75 0, 55 0,5 0, 34 0, 02 -1- Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème Remarques : • • Plus l’angle aigu augmente, plus son cosinus diminue. Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1. Cela se conçoit aisément car l’hypoténuse est le plus grand des côtés dans un triangle rectangle, donc le rapport : côté adjacent est inférieur à 1. hypoténuse 3. Exercices d’application : Exercice 1 : EFG est un triangle rectangle en F tel que EF 3 cm ; EG 5 cm. Déterminer cos FEG ; avec la calculatrice, trouver la mesure de FEG arrondie à 0,1 . Dans le triangle EFG rectangle en F : EF 3 cos FEG 0, 6 EG 5 d’où FEG 53, 1 . Exercice 2 : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC 6 cm et ABC 40 . Calculer AB . On donnera la valeur arrondie à 0, 1 cm. Dans le triangle ABC rectangle en A : AB cos ABC BC AB cos 40 6 AB 6 cos 40 AB 4, 6 4. Bissectrices et cercle inscrit : Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le coupe en deux angles de même mesure. La construction s’effectue au compas. Ici : xOz zOy -2- Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle. M est sur la bissectrice Oz de xOy . La distance de M à Ox est MH . La distance de M à Oy est MK. La propriété indique donc que MH MK Réciproque de la propriété : Si un point est équidistant des deux côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. La distance de M à Ox est MH . La distance de M à Oy est MK. MH MK La réciproque de la propriété indique donc que M est sur la bissectrice de xOy . Propriété : Dans un triangle, les bissectrices des trois angles sont concourantes en un point, équidistant des trois côtés du triangle. Ce point s’appelle le centre du cercle inscrit au triangle. Construction avec le triangle ABC tel que : AB 5 cm ; AC 7 cm et BC 8 cm . Remarques : • 2 bissectrices suffisent pour déterminer le centre du cercle inscrit au triangle. • Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés du triangle. -3-