QCM2_2016-17_distribution_statistique_corrige

Variabilité Climatique et Environnementale QCM n°2 Distributions statistiques Théo VISCHEL
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NOM : Prénom : C
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Pour les questions à choix multiples : Une réponse fausse compte en négatif la moitié des points que
peut rapporter la question.Une ou plusieurs réponses possibles aux questions.
1. Fonction de répartition et densité de probabilité
Soit 𝒑(𝒙) la fonction densité d’une variable aléatoire 𝒙 continue
FIGURE 1 FONCTION DE DENSITE DE PROBABILITE DE LA VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE X
1.1. Cochez les affirmations qui sont vraies :
1.1.a) La densité de probabilité est l’intégrale de la fonction de répartition de la variable 𝑥.............................
1.1.b) L’aire de la surface grisée sous la courbe vaut 1 lorsque 𝑎 → −∞ et 𝑏 → +∞ ....................................... 
1.1.c) L’aire de la surface grisée sous la courbe vaut 1 moins la probabilité que 𝑥 > 𝑏 quand 𝑎 → −∞ * ....... 
1.1.d) L’aire de la surface grisée sous la courbe est égale à la probabilité que 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 ............................... 
1.1.e) L’espérance de 𝑥 vaut (𝑎 + 𝑏)/2 .............................................................................................................
1.1.f) La probabilité que 𝑥 = 𝑎 est quasi nulle .................................................................................................. 
1.1.g) La probabilité que 𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/2 est quasi nulle ..................................................................................... 
* 𝟏 − 𝑷[𝒙 > 𝒃] 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅 𝒂 → −∞
Soit 𝑭(𝒙) la fonction de répartition d’une variable aléatoire 𝒙 continue définie telle que :
1.2. Cochez les affirmations qui sont vraies :
1.2.a) La probabilité que 𝑥 ≤ 𝑎 vaut 0 ............................................................................................................... 
1.2.b) La probabilité que 𝑥 ≥ 𝑏 vaut 1 ...............................................................................................................
1.2.c) La densité de probabilité de 𝑥 est une loi uniforme ................................................................................ 
1.2.d) L’espérance de 𝑥 vaut 1 ..........................................................................................................................
1.3. Pour a=2 et b=5 :
1.3.a) L’espérance de 𝑥 vaut 1 ..........................................................................................................................
1.3.b) La médiane de 𝑥 vaut 3.5 ........................................................................................................................ 
1.3.c) La probabilité que 𝑥 = 3 vaut 1/3 ............................................................................................................
1.3.d) Le quantile 0.25 vaut 2.5 .........................................................................................................................
1.3.e) Le quantile 90% vaut 4.7 ......................................................................................................................... 

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2. Lois de distribution
On souhaite étudier le nombre de nuits du mois d’août à Grenoble qui dépassent le seuil de 25°C. Le
jeu de données utilisé pour documenter cette variable aléatoire a permis de tracer l’histogramme de la
fig. 2.
FIGURE 2 HISTOGRAMME DU NOMBRE DE NUITS DE TEMPERATURE >25°C EN AOUT A GRENOBLE (PERIODE 1995-2010)
2.1. Quelle(s) loi(s) de distribution statistique(s) permettrai(en)t de décrire cette variable ?
2.1.a) Loi normale ..............................................................................................................................................
2.1.b) Loi de Poisson ......................................................................................................................................... 
2.1.c) Loi Log-normale ......................................................................................................................................
2.1.d) Loi Gamma ..............................................................................................................................................
2.1.e) Loi binomiale ........................................................................................................................................... 
On souhaite étudier la distribution de la pluie journalière du mois de septembre à Grenoble. Le jeu de
données utilisé pour documenter cette variable aléatoire a permis de tracer l’histogramme de la fig. 3.
FIGURE 3 HISTOGRAMME DES PLUIES JOURNALIERES DU MOIS DE SEPTEMBRE A GRENOBLE (PERIODE 1974-1993)
2.2. Quelle(s) loi(s) de distribution statistique(s) permettrai(en)t de décrire cette variable ?
2.2.a) Loi normale ..............................................................................................................................................
2.2.b) Loi de Poisson .........................................................................................................................................
2.2.c) Loi Log-normale ...................................................................................................................................... 
2.2.d) Loi Gamma .............................................................................................................................................. 
2.2.e) Loi binomiale ...........................................................................................................................................

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La variable aléatoire définie par la température moyenne jouralière du mois de septembre à Paris suit
une loi normale de moyenne 16°Cet d’écart type 3°C. On donne dans le tableau 1 la table de Gauss.
TABLE 1 PROBABILITES QU’UNE VARIABLE ALEATOIRE Z NORMALE CENTREE REDUITE N (0, 1) SOIT INFERIEURE OU EGALE A Z.
2.3. Cochez les affirmations vraies.
2.3.a) 68% des valeurs de température sont comprises entre 10 et 22°C .......................................................
2.3.b) La probabilité que la température soit inférieure ou égale à 16°C vaut 56.4% .......................................
2.3.c) La probabilité que la température soit inférieure ou égale à 19°C vaut 84.1% ....................................... 
2.3.d) La température qui a 1 chance sur 100 d’être dépassée vaut 23°C ....................................................... 
2.3.e) La probabilité d’avoir des températures négatives est la même que celle de dépasser les 32°C .......... 
Bien qu’elles soient indépendantes, les variables aléatoire « pluviométrie mensuelle du mois de septembre »
et « pluviométrie mensuelle du mois de mai » à Grenoble suivent exactement la même loi normale de
moyenne 100mm et d’écart type 30mm. On considère dans la question qui suit la variable aléatoire X définie
comme « la pluie bimensuelle septembre+mai » c’est-à-dire la somme de la pluie des mois de septembre et
de mai.
2.4. Cochez les affirmations qui sont vraies
2.4.a) La variable aléatoire X suit un loi binomiale de moyenne 200mm et d’écart type 60mm .......................
2.4.b) La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne 200mm et d’écart type 60mm .......................
2.4.c) La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne 200mm et d’écart type 42.4mm .................... 
2.4.d) Les données du problème ne permettent pas de connaître la distribution de la variable aléatoire X ....

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3. Méthode d’estimation des lois de distribution
3.1. Pour ajuster une loi statistique à deux paramètres sur un échantillon par la méthode des
moments on suppose que :
3.1.a) Les moments empiriques de l’échantillon sont égaux aux moments théoriques de la population ......... 
3.1.b) Le calcul du premier moment (empirique et théorique) suffit pour déterminer le premier paramètre de
la loi ........................................................................................................................................................
3.1.c) Le calcul des deux premiers moments (empiriques et théoriques) suffisent à déterminer les deux
paramètres de la distribution ................................................................................................................... 
3.1.d) Le premier paramètre vaut la moyenne de l’échantillon, le second paramètre vaut la variance de
l’échantillon ..............................................................................................................................................