Étude du groupe symplectique

Étude algébrique
Étude topologique
Étude du groupe symplectique
Astrid Beau et Sandrine Henri
sous la direction de Bachir Bekka
Université de Rennes 1
13 mai 2008
Étude algébrique
Contenu
1
Étude algébrique
Définition
Forme des matrices symplectiques
Génération par les transvections symplectiques
Simplicité du groupe PSpn (K)
Étude topologique
Étude algébrique
Contenu
1
Étude algébrique
Définition
Forme des matrices symplectiques
Génération par les transvections symplectiques
Simplicité du groupe PSpn (K)
2
Étude topologique
Réduction de l’étude
Étude de K(K)
Connexité et groupes fondamentaux
Étude topologique
Étude algébrique
Étude topologique
Première partie
Étude algébrique
Étude algébrique
Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps.
Étude topologique
Étude algébrique
Étude topologique
Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un
K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une
application bilinéaire alternée non dégénérée.
Étude algébrique
Étude topologique
Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un
K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une
application bilinéaire alternée non dégénérée.
Définition (groupe symplectique)
On appelle groupe symplectique le groupe
Sp(E, f ) = {g ∈ GL(E), f (g(x), g(y)) = f (x, y) ∀x, y ∈ E}.
Étude algébrique
Étude topologique
Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un
K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une
application bilinéaire alternée non dégénérée.
Définition (groupe symplectique)
On appelle groupe symplectique le groupe
Sp(E, f ) = {g ∈ GL(E), f (g(x), g(y)) = f (x, y) ∀x, y ∈ E}.
J =
0
Im
−Im 0
Étude algébrique
Étude topologique
Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un
K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une
application bilinéaire alternée non dégénérée.
Définition (groupe symplectique)
On appelle groupe symplectique le groupe
Sp(E, f ) = {g ∈ GL(E), f (g(x), g(y)) = f (x, y) ∀x, y ∈ E}.
Il est isomorphe au groupe
Spn (K) = {g ∈ GLn (K), tgJ g = J }
où J est la matrice
J =
0
Im
−Im 0
Étude algébrique
Étude topologique
Forme des matrices symplectiques
Les matrices de Spn (K) sont de la forme
U V
W T
où U, V, W, T ∈ Mm (K) vérifient les relations tU W = tW U ,
tV T = tT V et tU T − tW V = I .
m
Elles sont de déterminant 1.
Étude algébrique
Étude topologique
Génération par les transvections symplectiques
Définition (transvection symplectique)
Soit τ : E → E une application linéaire. Soit v ∈ E. On dit que τ
est une transvection symplectique de direction v s’il existe c ∈ K
tel que pour tout x ∈ E, τ (x) = x + cf (x, v)v.
Étude algébrique
Étude topologique
Génération par les transvections symplectiques
Définition (transvection symplectique)
Soit τ : E → E une application linéaire. Soit v ∈ E. On dit que τ
est une transvection symplectique de direction v s’il existe c ∈ K
tel que pour tout x ∈ E, τ (x) = x + cf (x, v)v.
Théorème
Le groupe Sp(E, f ) est engendré par les transvections
symplectiques.
Étude algébrique
Étude topologique
Simplicité du groupe PSpn (K)
Définition (Groupe projectif symplectique)
On appelle groupe projectif symplectique le groupe quotient
PSpn (K) = Spn (K)/Z(Spn (K)), où Z(Spn (K)) désigne le centre
de Spn (K).
Étude algébrique
Étude topologique
Simplicité du groupe PSpn (K)
Définition (Groupe projectif symplectique)
On appelle groupe projectif symplectique le groupe quotient
PSpn (K) = Spn (K)/Z(Spn (K)), où Z(Spn (K)) désigne le centre
de Spn (K).
Remarque : Z(Spn (K)) = {−In , In }
Étude algébrique
Étude topologique
Simplicité du groupe PSpn (K)
Définition (Groupe projectif symplectique)
On appelle groupe projectif symplectique le groupe quotient
PSpn (K) = Spn (K)/Z(Spn (K)), où Z(Spn (K)) désigne le centre
de Spn (K).
Remarque : Z(Spn (K)) = {−In , In }
Théorème
Le groupe PSpn (K) est simple, à l’exception de PSp2 (F2 ),
PSp2 (F3 ) et PSp4 (F2 ).
Étude algébrique
Étude topologique
Deuxième partie
Étude topologique
Étude algébrique
Réduction de l’étude
Soient K(R) = Spn (R) ∩ On et K(C) = Spn (C) ∩ Un .
Étude topologique
Étude algébrique
Réduction de l’étude
Soient K(R) = Spn (R) ∩ On et K(C) = Spn (C) ∩ Un .
Proposition
Spn (K) est homéomorphe à K(K) × Rd .
Étude topologique
Étude algébrique
Étude topologique
Réduction de l’étude
Soient K(R) = Spn (R) ∩ On et K(C) = Spn (C) ∩ Un .
Proposition
Spn (K) est homéomorphe à K(K) × Rd .
Décomposition polaire : A = Ω × S = Ω × exp(s), Ω orthogonale
ou unitaire, S symétrique ou hermitienne définie positive, s
symétrique ou hermitienne.
Étude algébrique
Étude de K(K)
Proposition
K(R) est isomorphe en tant que groupe topologique à Um .
Étude topologique
Étude algébrique
Étude topologique
Étude de K(K)
Proposition
K(R) est isomorphe en tant que groupe topologique à Um .
K(R) → Um
U V
7→ U + iV
−V U
avec tU V = tV U et U tV = V tU , tU U + tV V = Im et
U tU + V tV = Im .
Étude algébrique
Étude topologique
Quaternions
Définition (quaternions)
L’algèbre des quaternions, notée H, est l’ensemble des éléments de
la forme {a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R}, avec la table de
multiplication :
× 1 i
j
k
1 1 i
j
k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j
−i −1
L’addition et la multiplication sont alors uniquement définies par
les propriétés de R-algèbre.
Remarque : les relations i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 entraı̂nent
toutes les autres.
Étude algébrique
Étude topologique
Quaternions
Définition (quaternions)
L’algèbre des quaternions, notée H, est l’ensemble des éléments de
la forme {a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R}, avec la table de
multiplication :
× 1 i
j
k
1 1 i
j
k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j
−i −1
L’addition et la multiplication sont alors uniquement définies par
les propriétés de R-algèbre.
Remarque : les relations i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 entraı̂nent
toutes les autres.
Étude algébrique
Quaternions
Définition (conjugaison)
Soit q = a + bi + cj + dk ∈ H. On appelle conjugué de q le
quaternion
q̄ = a − bi − cj − dk.
Étude topologique
Étude algébrique
Étude topologique
Quaternions
Définition (conjugaison)
Soit q = a + bi + cj + dk ∈ H. On appelle conjugué de q le
quaternion
q̄ = a − bi − cj − dk.
On vérifie facilement que q q̄ = q̄q = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R∗+ . Cette
propriété entraı̂ne que H est une algèbre à division (ou corps non
commutatif) : tout q = a + bi + cj + dk ∈ H non nul admet pour
1
inverse a2 +b2 +c
2 +d2 q̄.
Étude algébrique
Étude topologique
Groupe orthogonal quaternionique
Définition (groupe orthogonal quaternionique)
0 ) sont deux éléments de
Si q = (q1 , . . . , qm ) et q 0 = (q10 , . . . , qm
m
H , on appelle produit quaternionique de q et q 0 le quaternion
m
X
q, q 0 =
ql ql0 .
l=1
On appelle groupe orthogonal quaternionique le groupe des
endomorphismes C-linéaires de Hm qui conservent le produit
quaternionique. On note ce groupe Spm .
Étude algébrique
Étude topologique
Groupe orthogonal quaternionique
Définition (groupe orthogonal quaternionique)
0 ) sont deux éléments de
Si q = (q1 , . . . , qm ) et q 0 = (q10 , . . . , qm
m
H , on appelle produit quaternionique de q et q 0 le quaternion
m
X
q, q 0 =
ql ql0 .
l=1
On appelle groupe orthogonal quaternionique le groupe des
endomorphismes C-linéaires de Hm qui conservent le produit
quaternionique. On note ce groupe Spm .
Proposition
K(C) est isomorphe à Spm .
Étude algébrique
Connexité et groupes fondamentaux
Proposition
1
Um est homéomorphe à SUm ×S1
Étude topologique
Étude algébrique
Étude topologique
Connexité et groupes fondamentaux
Proposition
1
Um est homéomorphe à SUm ×S1
Um → SUm ×S1
U 7→ diag det1 U , 1, . . . , 1 U, det U
diag(ω, 1, . . . , 1)S →7 (S, ω)
Étude algébrique
Étude topologique
Connexité et groupes fondamentaux
Proposition
1
Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et
simplement connexe.
Étude algébrique
Étude topologique
Connexité et groupes fondamentaux
Proposition
1
2
Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et
simplement connexe.
Spm est connexe et simplement connexe.
Étude algébrique
Étude topologique
Connexité et groupes fondamentaux
Proposition
1
2
Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et
simplement connexe.
Spm est connexe et simplement connexe.
Rappel
Spn (R) ' K(R) × Rd1 ; K(R) ' Um
Spn (C) ' K(C) × Rd2 ; K(C) ' Spm
Étude algébrique
Étude topologique
Connexité et groupes fondamentaux
Proposition
1
2
Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et
simplement connexe.
Spm est connexe et simplement connexe.
Rappel
Spn (R) ' K(R) × Rd1 ; K(R) ' Um
Spn (C) ' K(C) × Rd2 ; K(C) ' Spm
Conclusion
Spn (R) est connexe, et son groupe fondamental est Z.
Spn (C) est connexe et simplement connexe.
Étude algébrique
Emil Artin,
Algèbre géométrique
Gauthier-Villard, 1966
Rached Mneimné, Frédéric Testard,
Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques
Hermann, 1986
Étude topologique

Étude du groupe symplectique

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