Étude du groupe symplectique

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Etude alg´ebrique ´ Etude topologique
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Etude du groupe symplectique
Astrid Beau et Sandrine Henri
sous la direction de Bachir Bekka
Universit´e de Rennes 1
13 mai 2008

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Etude alg´ebrique ´ Etude topologique
Contenu
1´
Etude alg´ebrique
D´efinition
Forme des matrices symplectiques
G´en´eration par les transvections symplectiques
Simplicit´e du groupe PSpn(K)
2´
Etude topologique
R´eduction de l’´etude
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Etude de K(K)
Connexit´e et groupes fondamentaux

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Etude alg´ebrique ´ Etude topologique
Contenu
1´
Etude alg´ebrique
D´efinition
Forme des matrices symplectiques
G´en´eration par les transvections symplectiques
Simplicit´e du groupe PSpn(K)
2´
Etude topologique
R´eduction de l’´etude
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Etude de K(K)
Connexit´e et groupes fondamentaux

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Etude alg´ebrique ´ Etude topologique
Premi`ere partie
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Etude alg´ebrique

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Etude alg´ebrique ´ Etude topologique
Soient nun entier pair et m=n/2. Soit Kun corps.
Soient Eun
K-espace vectoriel de dimension net f:E×E→Eune
application bilin´eaire altern´ee non d´eg´en´er´ee.
D´efinition (groupe symplectique)
On appelle groupe symplectique le groupe
Sp(E, f ) = {g∈GL(E), f(g(x), g(y)) = f(x, y)∀x, y ∈E}.
Il est isomorphe au groupe
Spn(K) = {g∈GLn(K),tgJg=J }
o`u Jest la matrice
J=0Im
−Im0