Sciences Industrielles pour l`Ingénieur

MP – PSI - Aix - J.P. Costes Mise à jour: novembre 2005 1/24
S2I Sciences Industrielles pour l’Ingénieur : Dynamique du solide MP
Cinétique & Dynamique - Théorème de l'Energie Cinétique - Principe Fondamental de la Dynamique
Hypothèses : On supposera les solides indéformables.
Convention : On utilise fréquemment la sommation sur un solide de quantités élémentaires dq que l'on note sous la
forme d'une intégrale simple comme ci-contre, il faudra avoir à l'esprit que cette intégrale est une
intégrale de volume (donc triple !).
∫
S
dq
1. Notion de masse et de centre de gravité.
Centre d'inertie,
ou de gravité ?
Pour un solide S de masse
m
, on appelle centre d'inertie
le point G tel que :
S
mOG OP dm
→ →
=∫ ou :
0
S
GP dm
→ →
=
∫.
Par contre, on appelle centre de gravité d'un solide le point où
l'action mécanique de la pesanteur se résume à un glisseur.
Si le champ de pesanteur est uniforme,
les centres d'inertie et de gravité sont confondus.
Ce sera toujours le cas en SI, par conséquent,
on parlera indifféremment de centre d'inertie ou de gravité.
y
O
z
x
G
( )
mS,P
dm
2. Théorèmes de GULDIN.
Théorème 1 : Dans un plan (P), on considère :
- une courbe plane (C) de longueur curviligne L,
de centre de gravité G.
- un axe
∆
ne coupant pas la courbe (C).
L'aire (S) de la surface engendrée par la rotation
de (C) autour de
∆
est égale au produit de la
longueur L par le périmètre parcouru par le centre
de gravité G lors de la révolution.
Soit : LrS G
π= 2.
G
G
r
G
2 r
π
)(S
L
)(C
)(P
∆
Théorème 2 : Dans un plan (P), on considère :
- une contour fermé (C) de section S,
de centre de gravité G.
- un axe
∆
ne coupant pas le contour (C).
Le volume V engendré par la rotation de (C) autour
de
∆
est égal au produit de la section S par le
périmètre parcouru par le centre de gravité G lors
de la révolution.
Soit : SrV G
π= 2.
G
G
r
G
r..2 π
S
)(C
)(P
∆
V

MP – PSI - Aix - J.P. Costes Mise à jour: novembre 2005 2/24
3. Notion de moment d'inertie.
Notion d'Inertie : L'inertie d'un solide (plus exactement son moment d'inertie par rapport à un axe ) peut s'interpréter comme la
résistance qu'il oppose à sa mise en mouvement de rotation du seul fait de la répartition de sa masse
autour cet axe (axe du mouvement de rotation imposé).
Analogie : De même, la masse d'un solide peut s'interpréter comme la résistance à
sa mise en mouvement de translation (mouvement accéléré).
Rappel : 0/11/ Gext mF
→→ Γ=
∑
Unité : L'unité d'un moment ou d'un produit d'inertie est le 2
m.Kg , sa dimension est :
2
[ . ]
M L
.
Moment
d'inertie :
On appelle moment d'inertie la quantité : ∫ =Ι
S
dmr 2, ou également : 2
S
r dv
Ι = ρ
∫
où
ρ
représente la masse volumique, dv le volume élémentaire et dm la masse élémentaire.
Différents
moments
d'inerties :
La figure ci-dessous illustre les notions de moments d'inertie respectivement
par rapport à un point, par rapport à un axe et par rapport à un plan :
(
)
S
(
)
S
(
)
S
O
r
u
P
Or
H
r
J
n
∆
P P
- par rapport à un point O: ∫ =Ι
S
Odmr .
2, où r est la distance OP.
- par rapport à un axe uO . : ∫ =Ι
S
uO dmr .
2
., où r est la distance HP (H projeté
⊥
de P sur l'axe uO .).
- par rapport à un plan xOy : ∫ =
S
xOy dmrI .
2, où r est la distance JP (J projeté
⊥
de P sur le plan xOy).
Remarque : En pratique, le seul terme facilement interprétable est le moment d'inertie par rapport à un axe.
4. Opérateur d'inertie.
Opérateur
d'inertie : L'opérateur d'inertie d'un solide S en un point O est défini par :
[ ] dmOPuOPu
S
OS ).( ,
→→ ∧∧=∗Ι ∫
On représente l'opérateur d'inertie par une matrice [3x3] symétrique notée:
[ ]
),,(
,
zyx
OS
CDE
DBF
EFA
−−
−−
−−
=Ι
où : - A, B et C sont les moments d'inertie respectivement par rapport aux axes xO ., yO . et zO .
- D, E et F sont les produits d'inertie respectivement par rapport aux plans yOz , xOz et xOy
Les termes diagonaux valent respectivement : ∫∫∫ +=+=+=
SSS
dmyxCdmzxBdmzyA )()()( 222222
Les termes rectangles valent respectivement : ∫∫∫ ===
SSS
dmxyFdmxzEdmyzD )()()(
Avertissement : Le produit matriciel
[
]
u
OS
∗Ι , n'a de sens que si
[
]
OS,
Ι et u sont exprimés dans la même base !

MP – PSI - Aix - J.P. Costes Mise à jour: novembre 2005 3/24
En pratique : Le moment d'inertie ∆
Ι d'un solide S par rapport à un axe
∆
est :
∆
passant par O de direction u (unitaire)
,
produit matriciel
produit scalaire
S O
u u
∆
Ι = Ι ∗
i
Notion de base
propre d'inertie :
Pour tout solide, il existe une base propre d'inertie ),,( zyx ,
c'est-à-dire une base dans laquelle l'opérateur d'inertie en G (centre de gravité) est diagonal.
Conséquence :
Si ),,( zyx
est une base propre d'inertie pour un solide S, les axes ),,( zGyGxG sont des axes propres d'inertie.
La distribution de masse autour de ces axes est telle que le solide est dit "dynamiquement équilibré".
En pratique, un mouvement de rotation autour d'un de ces axes se fait sans aucune vibration, ni balourd.
Un solide dynamiquement équilibré est statiquement équilibré, le contraire n'est toujours vrai !
Le moment d'inertie par rapport à un axe est une quantité positive
ou au pire considérée négligeable (nulle) pour des solides infiniment fins selon une direction.
Un moment d'inertie est minimum si l'axe passe par le centre d'inertie du solide.
On ne peut par contre rien dire concernant les produits d'inertie par rapports à des plans.
y
O
z
x
),,,( dmzyxP
)
,,,(' dmzyxP −
Si un solide présente une symétrie par rapport à un
plan )( yOx (de normale
z
), alors :
( ) 0
S
D yz dm
= =
∫et 0)( == ∫
S
dmxzE
car à chaque élément de volume centré en un point
),,( zyxP correspond un élément de volume centré
symétriquement en un point ),,(' zyxP −.
Si un solide présente une symétrie par
rapport à deux plans sécants
⊥
suivant
une des directions du repère, par
exemple une symétrie suivant )( yOx et
)( zOx , alors les termes rectangles sont
tous nuls : D=0, E=0 et F=0.
Car à chaque élément de volume centré
en un point ),,( zyxP correspond un
élément de volume centré
symétriquement :
- soit en un point ),,(' zyxP −,
- soit en un point ),,('' zyxP −.
La matrice représentative de
l'opérateur d'inertie dans ce repère
est diagonale.
Cette propriété est également vraie
dans le cas de solides de révolution.
y
O
z
x
)dm,z,y,x(P
)dm,z,y,x('P −
)dm,z,y,x(''P −
Propriétés
géométriques :
Le moment d'inertie / à un point O=
Σ
moments des inerties / 3 plans
⊥
sécants en O : yOzxOzxOyO Ι+Ι+Ι=Ι ,
Le moment d'inertie / axe )( xO =
Σ
des moments d'inerties / 2 plans
⊥
sécants suivants l'axe )( xO :
xOzxOyOx Ι+Ι=Ι
Le moment d'inertie / à un point O = ½
Σ
des moments d'inertie / à 3 axes
⊥
d'un repère de centre O :
2
O Ox Oy Oz
Ι = Ι + Ι + Ι
En pratique :
Suivant la géométrie du solide, il peut s'avérer particulièrement astucieux de décrire les quantités élémentaires
des intégrales en utilisant un système de coordonnées adapté au solide (cartésien, cylindrique, sphérique).
- consulter à ce sujet l'annexe "Description d'un volume élémentaire – MP/PSI" -

MP – PSI - Aix - J.P. Costes Mise à jour: novembre 2005 4/24
Soit à déterminer l'opérateur d'inertie d'un cylindre plein homogène, de
rayon R, de hauteur h et de masse m en son centre de gravité G dans une
base comportant son axe.
Pour des raisons de symétrie par rapport aux trois plans de bases,
D=E=F=0, la matrice d'inertie est donc diagonale. De plus, les axes xG
et
yG ont des rôles équivalents, donc : A=B.
Par conséquent on recherche l'opérateur d'inertie sous la forme :
[ ]
),,(
,
00
00
00
zyx
GS
C
A
A
=Ι
avec ∫+=
S
dmzyA )( 22 ou ∫+
S
dmzx )( 22 et ∫+=
S
dmyxC )( 22 .
y
z
x
G
(
)
mS,
P
dm
R
h
Le terme C se calcule par empilement de cylindres concentriques de rayon r (variant de 0 à R) et d'épaisseur dr :
4
2
4
0
3
0
2222 .
2
1
4
2
2)2()( Rh
hR
m
RhdrrhdrhrrdmrdmyxC
R
r
R
rSS
π
π
=πρ=πρ=πρ==+= ∫∫∫∫
==
,
soit :
2
2
mR
C=
Le terme A se calcule astucieusement en remarquant que : ∫∫ +=++=
SS
dmzCdmzyxA )2()2(.2 2222 ,
or ∫
S
dmz )2( 2 se calcule simplement par empilement de disques pleins d'épaisseur dz et de rayon R :
643
2
8
)(
83
2
)(2)2(
2
3
2
2
33
2
2/
2/
222 hm
h
R
hR
mhh
RdzRzdmz
h
hzS
=π
π
=
−
−πρ=πρ= ∫∫
−=
et donc : 124122
222 hmRmhm
C
A+=+=
Exemple :
L'opérateur d'inertie d'un cylindre plein
homogène de rayon R, de hauteur h et de
masse m, a pour matrice représentative :
[ ]
),,(
2
22
22
,
2
00
0
124
0
00
124
zyx
GS
mR
mhmR
mhmR
+
+
=Ι
Théorème de
HUYGHENS :
changement de
point de
l'opérateur
d'inertie
Ce théorème permet de calculer l'opérateur d'inertie d'un solide en un point P quelconque
à partir de l'opérateur d'inertie en G, centre de gravité.
Il peut s'énoncer ainsi :
[
]
[
]
[
]
PGmGSPS ,,, ∈
Ι+Ι=Ι
Soit :
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
" " " ( ) ( )
" " " "
" " ( )
G G G G G G
P P P G G G
P P G G G G G G
P G G G
m y z m x y m x z
A F E A F E
B D B D m x z m y z
C C m x y
+ − −
− − − −
− = − + + −
    +
où ),,( GGG zyx sont les coordonnées de
→
PG dans ),,( zyx .
Interprétation : l'opérateur d'inertie d'un solide S en un point P est la somme de :
- l'opérateur d'inertie en G (centre d'inertie du solide)
- l'opérateur d'inertie en P du solide dont la masse serait concentrée en G.

MP – PSI - Aix - J.P. Costes Mise à jour: novembre 2005 5/24
5. Torseur Cinétique
Torseur
cinétique :
On appelle torseur cinétique ou torseur des quantités de mouvements, le torseur définit par :
{ }
cinétique
cinétique
S
P
A
S
P
A
dmVAP
dmVRc
Moment
mouvement) de(quantité
Résultante
1/2
1/2,
1/2
1/2
1/2
←
←
→→→
→→
∧=σ
=
=
∫
∫
C
La résultante cinétique n'est autre que la quantité de mouvement en translation du solide 2/1.
1/21/2
0
1/21/21/21/2
1/2 G
SS
G
S
G
S
PVmdmPGdmVdmPGVdmVRc
→→→→→→→→→ =Ω∧
+=
Ω∧+== ∫∫∫∫
Le moment cinétique de 2/1 en A se calcule à partir de l'opérateur d'inertie du solide et de son vecteur rotation.
[ ]
[ ]
1/2
,2
1/2
1/2
0
1/21/2
1/21/2
1/21/21/2
1/2,
0:que sachant
1/2
,2
→→→
→→
Ω∗Ι
→→→→→→
→→→→→
→→→→→→→
Ω∗Ι+∧=
=∧
∧Ω∧+∧ +=
Ω∧∧+∧=
Ω∧+∧=∧=σ
∫∫∫
∫∫
∫∫
→
A
A
A
SS
A
S
SS
A
S
A
S
P
A
VAGm
VdmGPdmAPAPVdmGPAG
dmPAAPdmVAP
dmPAVAPdmVAP
A
Soit finalement :
{ }
[ ] ∧+Ω∗Ι=σ
=
=→→→→
→→
1/21/2
,2
1/2,
1/2
1/2
1/2
A
A
A
G
AVAGm
VmRc
C
Puisqu'il s'agit d'un torseur, la relation de moment est applicable :
1/2
1/2,1/21/2,1/2, .G AAB VBAmRcBA
→→→→→→→ ∧+σ=∧+σ=σ
En particulier :
[ ]
1/21/2
,2
1/2
1/2,1/2, G
G
G
GA VAGmVAGm
→→→→→→→ ∧+Ω∗Ι=∧+σ=σ
Cas particulier :
Dans tous les cas :
[ ]
1/2
,2
1/2,
→→ Ω∗Ι=σ G
G et si A est un point fixe de 2/1, alors :
[ ]
1/2
,2
1/2,
→→ Ω∗Ι=σ A
A
Soit à déterminer le torseur cinétique d'un cylindre de masse m, qui roule sans glisser sur un plan horizontal. Exemple :
On se place par exemple en G, car on connaît l'opérateur
d'inertie d'un cylindre en G dans la base ),,( zyx ; le moment
cinétique sera donc simple à calculer.
{ }
[ ] Ω∗Ι
=
σ
=→
→
→
→
1/2
,2
1/2,
1/2
1/2
G
G
G
G
xVm
Rc
C avec
→→ −=Ω z
R
V
1/2
et [ ]
),,(
,2
00
00
00
zyx
G
C
A
A
=Ι
{ }
−
=→
→
z
R
V
C
xVm
G
1/2
C
y
z
x
G
xVV G .
1/2 =
→
2
1
A
B
z
R
V
.
1/2 −=Ω
→