Leçon 04

Leçon 4
Solide en rotation autour d'un axe fixe. Applications (PCSI)
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Bibliographie : Attention : bien, qu’il s’agisse de méca du solide, c’est une leçon de première année !
 Ellipses : attention ! dans le volume Méca 2 (MP-PT : chapitre 5). Rappel sur les liaisons. Très axé
sur l’équilibrage des machines tournantes, bien mais hors programme. Dans le volume de première
année, on trouvera au chapitre 2 la dérivation vectorielle dans le cas de la leçon, dans le chapitre 5
le théorème du moment cinétique. Trop dispersé.
 Hachette : attention ! dans le volume Méca du solide de 2ème année, chapitre 6.Rappel sur les liai-
sons. Il n’y a pratiquement que des applications.
 Tec & Doc : Mécanique 1ère année, chapitre 15. Bien pour le début de la leçon.Pour les applications,
se limite aux analogies électro-mécaniques : c’est bien, mais çà ne suffit pas.
 Dunod : Mécanique I, chapitre 17 (pour les théorèmes généraux) & surtout chapitre 18. Bien..
I. MOMENTS. DEFINITIONS : on appellera l'axe de rotation de vecteur unitaire
u
.
1. Moment d'une force
F
: si O est un point de , il est défini vectoriellement par
FOM 
O
M
& est donc indépendant du point O de l'axe. Sous forme scalaire, il s'écrit :
u
O
.MM 
. Se traduit par
r.F en coordonnées cylindriques, & interpréter (théorème des moments, manip).
2. Moment cinétique : pour un point matériel, c'est le moment de la quantité de mouve-
ment (appelée aussi résultante cinétique) :
vmOM
O 
. Pour un solide de masse volumique µ :
  3
.dvr
O
, d'où la forme scalaire :
u
O .
. Avec
GMOGr
, on obtient le premier
théorème de Koenig :
POG
GO
, où
P v d 
 .3
. Alors on définit le torseur cinétique en
O par :
O
PP  
,
.
3. Torseur dynamique : il est défini de la façon suivante :
  G
aMdaD 
... 3
est la résul-
tante dynamique, &
  3
.. daOM
O
est le moment dynamique au point O.
4. Vitesses : vitesse d'un point M du solide :
 MOVV OM
, en introduisant le vecteur rota-
tion
  .u
. On définit alors le pseudo - torseur des vitesses par
O
VV 
,
.
5. Moment d'inertie : pour des points matériels, il est défini par :
iiirmJ 2
, le moment ciné-
tique valant alors
iii
iii rm
dt
d
rm 22
. Pour un solide, on aura donc
dmrJ 2
& donc
  J
& vectoriellement
J
.
II. LES THEOREMES GENERAUX :
1. Théorème du moment cinétique : on définit le torseur dynamique
M
,FF
comme étant la
dérivée du torseur cinétique
Fd
dt P
, ce qui fournit la relation fondamentale de la dynamique & le

théorème du moment cinétique
dt
d
M
traduisant la conservation du moment cinétique pour un sys-
tème isolé (citer le patineur & le pulsar). Dans l'expression du moment résultant
M
, les couples mo-
teurs seront comptés positivement ( croit) & les couples résistants ou de rappel négativement ( dimi-
nue). Pour un solide, on aura donc :
2
2
dt
d
J
dt
d
J
dt
d
J  MM
.
2. Théorème d'Huyghens :
2
maJJ G
, où J représente le moment d'inertie par rapport à un
axe passant par G parallèle à , distant de a.
3. Energie cinétique de rotation. Théorème de Koenig : l'énergie cinétique du solide est définie
par le demi-produit scalaire des torseurs des vitesses & cinétique, soit :
²
2
1
2
1
.
2
12 GGC JmVVPE
, le second terme correspondant à l'énergie cinétique de rotation.
4. Puissance : produit scalaire des torseurs dynamique & des vitesses :
 MP VFVF
dt
dW ..
. Le second terme est la puissance associée à la rotation : dans le théo-
rème du moment cinétique, les termes sont homogènes à des moments, on obtiendra donc des puissances
en multipliant scalairement par le vecteur rotation.
III. APPLICATIONS :
1. Le pendule pesant : pour des petits mouvements (sin
), sous l'action du poids, on a l'équa-
tion différentielle d'oscillateur harmonique
Mga
J
TMga
dt
d
J
20.
2
2
d'où mesure de J à
partir de la période.
2. Le volant d'inertie : machine tournante de moment d'inertie J, soumise à un couple moteur o &
à un couple résistant - k.. En régime permanent,
k
o
o
. Si le couple moteur est modulé suivant :
)cos.1( t
o
, le régime forcé conduit à une amplitude :
)²(1 
donc réduite si  est grand,
donc le moment d'inertie aussi. En d'autres termes, la machine est un filtre mécanique passe-bas, &
comme les perturbations sont essentiellement basse fréquence, on a intérêt à diminuer la fréquence de
coupure
J
k
c
.