Sciences Industrielles pour l`Ingénieur

S2I Sciences Industrielles pour l’Ingénieur : Dynamique du solide
MP
Cinétique & Dynamique - Théorème de l'Energie Cinétique - Principe Fondamental de la Dynamique
Hypothèses :
On supposera les solides indéformables.
Convention :
On utilise fréquemment la sommation sur un solide de quantités élémentaires dq que l'on note sous la
forme d'une intégrale simple comme ci-contre, il faudra avoir à l'esprit que cette intégrale est une
intégrale de volume (donc triple !).
1.
Notion de masse et de centre de gravité.
Centre d'inertie,
ou de gravité ?
(S, m )
Pour un solide S de masse m , on appelle centre d'inertie
→
∫
→
le point G tel que : mOG = OP dm ou :
S
→
dm
G
S
z
Si le champ de pesanteur est uniforme,
les centres d'inertie et de gravité sont confondus.
O
Ce sera toujours le cas en SI, par conséquent,
on parlera indifféremment de centre d'inertie ou de gravité.
Théorème 1 :
P
→
∫ GP dm = 0 .
Par contre, on appelle centre de gravité d'un solide le point où
l'action mécanique de la pesanteur se résume à un glisseur.
2.
∫ dq
S
y
x
Théorèmes de GULDIN.
Dans un plan (P), on considère :
∆
(P )
- une courbe plane (C) de longueur curviligne L,
de centre de gravité G.
(S )
(C )
- un axe ∆ ne coupant pas la courbe (C).
2 π rG
rG
L'aire (S) de la surface engendrée par la rotation
de (C) autour de ∆ est égale au produit de la
longueur L par le périmètre parcouru par le centre
de gravité G lors de la révolution.
G
L
Soit : S = 2 π rG L .
Théorème 2 :
∆
Dans un plan (P), on considère :
- une contour fermé (C) de section S,
de centre de gravité G.
- un axe ∆ ne coupant pas le contour (C).
Le volume V engendré par la rotation de (C) autour
de ∆ est égal au produit de la section S par le
périmètre parcouru par le centre de gravité G lors
de la révolution.
Soit : V = 2 π rG S .
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
(P )
V
S
rG
G
(C )
2.π.rG
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3.
Notion de moment d'inertie.
Notion d'Inertie :
L'inertie d'un solide (plus exactement son moment d'inertie par rapport à un axe ) peut s'interpréter comme la
résistance qu'il oppose à sa mise en mouvement de rotation du seul fait de la répartition de sa masse
autour cet axe (axe du mouvement de rotation imposé).
Analogie :
De même, la masse d'un solide peut s'interpréter comme la résistance à
sa mise en mouvement de translation (mouvement accéléré).
→
Unité :
L'unité d'un moment ou d'un produit d'inertie est le Kg.m 2 , sa dimension est : [M .L2 ] .
Moment
d'inertie :
On appelle moment d'inertie la quantité : Ι =
∫r
2
→
∑ F ext / 1 = m Γ G 1/ 0
Rappel :
∫
dm , ou également : Ι = r 2 ρ dv
S
S
où ρ représente la masse volumique, dv le volume élémentaire et dm la masse élémentaire.
Différents
moments
d'inerties :
La figure ci-dessous illustre les notions de moments d'inertie respectivement
par rapport à un axe
et par rapport à un plan :
par rapport à un point,
(S )
(S )
(S )
P
P
P
r
O
O
n
r
r
u
H
∆
- par rapport à un point O: Ι O =
∫r
2
J
.dm , où r est la distance OP.
S
- par rapport à un axe O.u : Ι O.u =
∫r
2
.dm , où r est la distance HP (H projeté ⊥ de P sur l'axe O.u ).
S
- par rapport à un plan xOy : I xOy =
∫r
2
.dm , où r est la distance JP (J projeté ⊥ de P sur le plan xOy).
S
En pratique, le seul terme facilement interprétable est le moment d'inertie par rapport à un axe.
Remarque :
4.
Opérateur d'inertie.
Opérateur
d'inertie :
→
→
[ ]S,O ∗ u = ∫ OP ∧ (u ∧ OP ).dm
L'opérateur d'inertie d'un solide S en un point O est défini par : Ι
S
 A

On représente l'opérateur d'inertie par une matrice [3x3] symétrique notée: [Ι ]S,O =  − F
− E

où :
- A, B et C sont les moments d'inertie respectivement par rapport aux axes O.x ,
- D, E et F sont les produits d'inertie respectivement par rapport aux plans yOz ,
Les termes diagonaux valent respectivement : A =
∫ (y
2
+ z 2 )dm
∫ ( yz)dm
S
Avertissement :
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[ ]S,O ∗ u
Le produit matriciel Ι
[ ]S,O
n'a de sens que si Ι
∫
∫
S
S
B = ( x 2 + z 2 )dm C = ( x 2 + y 2 )dm
S
Les termes rectangles valent respectivement : D =
− E

B − D
− D C  ( x,y,z )
O.y et O.z
xOz et xOy
−F
∫
E = ( xz )dm
S
∫
F = ( xy )dm
S
et u sont exprimés dans la même base !
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En pratique :
Ι ∆ = u i Ι S,O ∗ u
produit matriciel
Le moment d'inertie Ι ∆ d'un solide S par rapport à un axe ∆ est :
∆
passant par O de direction u (unitaire)
produit scalaire
Notion de base
propre d'inertie :
Pour tout solide, il existe une base propre d'inertie ( x, y , z ) ,
Conséquence :
Si ( x, y , z ) est une base propre d'inertie pour un solide S, les axes (Gx, Gy , Gz ) sont des axes propres d'inertie.
La distribution de masse autour de ces axes est telle que le solide est dit "dynamiquement équilibré".
c'est-à-dire une base dans laquelle l'opérateur d'inertie en G (centre de gravité) est diagonal.
En pratique, un mouvement de rotation autour d'un de ces axes se fait sans aucune vibration, ni balourd.
Un solide dynamiquement équilibré est statiquement équilibré, le contraire n'est toujours vrai !
Propriétés
géométriques :
Le moment d'inertie par rapport à un axe est une quantité positive
ou au pire considérée négligeable (nulle) pour des solides infiniment fins selon une direction.
Un moment d'inertie est minimum si l'axe passe par le centre d'inertie du solide.
On ne peut par contre rien dire concernant les produits d'inertie par rapports à des plans.
z
Si un solide présente une symétrie par rapport à un
plan ( xOy ) (de normale z ), alors :
P ( x, y , z, dm )
∫
D = ( yz )dm = 0 et E = ∫ ( xz )dm = 0
O
S
S
x
y
P ' ( x, y ,−z, dm ) car à chaque élément de volume centré en un point
P ( x, y , z ) correspond un élément de volume centré
symétriquement en un point P ' ( x, y ,− z ) .
Si un solide présente une symétrie par
rapport à deux plans sécants ⊥ suivant
une des directions du repère, par
exemple une symétrie suivant ( xOy ) et
P( x, y, z, dm)
z
P' ' ( x,− y, z, dm)
( xOz ) , alors les termes rectangles sont
tous nuls : D=0, E=0 et F=0.
Car à chaque élément de volume centré
en un point P ( x, y , z ) correspond un
élément
de
volume
centré
symétriquement :
soit en un point P ' ( x, y ,− z ) ,
-
O
y
x
soit en un point P ' ' ( x,− y , z ) .
La
matrice
représentative
de
l'opérateur d'inertie dans ce repère
est diagonale.
P' ( x, y,−z, dm)
Cette propriété est également
vraie
dans le cas de solides de révolution.
Le moment d'inertie / à un point O= Σ moments des inerties / 3 plans ⊥ sécants en O : Ι O = Ι xOy + Ι xOz + Ι yOz ,
Le moment d'inertie / axe (Ox ) = Σ des moments d'inerties / 2 plans ⊥ sécants suivants l'axe (Ox ) :
Ι Ox = Ι xOy + Ι xOz
Le moment d'inertie / à un point O = ½ Σ des moments d'inertie / à 3 axes ⊥ d'un repère de centre O :
2ΙO = ΙOx + ΙOy + ΙOz
En pratique :
Suivant la géométrie du solide, il peut s'avérer particulièrement astucieux de décrire les quantités élémentaires
des intégrales en utilisant un système de coordonnées adapté au solide (cartésien, cylindrique, sphérique).
- consulter à ce sujet l'annexe "Description d'un volume élémentaire – MP/PSI" MP – PSI - Aix - J.P. Costes
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Exemple :
Soit à déterminer l'opérateur d'inertie d'un cylindre plein homogène, de
rayon R, de hauteur h et de masse m en son centre de gravité G dans une
base comportant son axe.
z
(S, m )
Pour des raisons de symétrie par rapport aux trois plans de bases,
D=E=F=0, la matrice d'inertie est donc diagonale. De plus, les axes Gx et
R
Gy ont des rôles équivalents, donc : A=B.
P
Par conséquent on recherche l'opérateur d'inertie sous la forme :
[Ι]S,G
∫ (y
avec A =
h
A 0 0


= 0 A 0
0 0 C 
 ( x,y ,z )
2
+ z 2 )dm ou
S
∫ (x
dm
G
x
2
y
∫
+ z 2 )dm et C = ( x 2 + y 2 )dm .
S
S
Le terme C se calcule par empilement de cylindres concentriques de rayon r (variant de 0 à R) et d'épaisseur dr :
∫
2
∫
2
R
∫r
2
C = ( x + y ) dm = r dm =
S
S
R
2
ρ (2 π r h dr ) = ρ 2 π h
r =0
∫r
3
dr =
r =0
2
1 m
ρπhR4 =
π.h R 4 ,
2
4
2 πR h
mR 2
soit : C =
2
Le terme A se calcule astucieusement en remarquant que : 2.A =
∫ (x
2
∫
+ y 2 + 2z 2 )dm = C + (2z 2 )dm ,
S
or
∫ (2 z
2
S
) dm se calcule simplement par empilement de disques pleins d'épaisseur dz et de rayon R :
S
∫
h/2
(2 z 2 )dm =
∫
2 z 2 ρ ( π R 2 dz ) =
3
 h 3 ( −h ) 3  2 m
m h2
2
2 h
ρ πR2 
−
π
R
=
=
3
8  3 π R 2 h
4
6
 8
S
z = −h / 2
et donc : A =
m R 2 m h2
C m h2
+
=
+
2
12
4
12
L'opérateur d'inertie d'un cylindre plein
homogène de rayon R, de hauteur h et de
masse m, a pour matrice représentative :
Théorème de
HUYGHENS :
changement de
point de
l'opérateur
d'inertie
Interprétation :
[Ι]S,G
 mR 2 mh2

+
 4
12

=
0


0


0
mR 2 mh2
+
4
12
0

0 


0 

mR 2 
2 
( x,y ,z )
Ce théorème permet de calculer l'opérateur d'inertie d'un solide en un point P quelconque
à partir de l'opérateur d'inertie en G, centre de gravité.
[ ]S,P = [Ι]S,G + [Ι]m∈G,P
Il peut s'énoncer ainsi : Ι
2
2
−m( xG yG )
−m( xG zG ) 
−EG  m( yG + zG )



2
2
Soit :
−DG  + 
"
m( xG + zG )
−m( yG zG ) 


CG  
"
"
m( xG 2 + yG 2 )


→
où ( x G , y G , zG ) sont les coordonnées de PG dans ( x, y , z ) .
 AP

 "
 "
−FP
BP
"
−EP   AG
 
−DP  =  "
CP   "
−FG
BG
"
l'opérateur d'inertie d'un solide S en un point P est la somme de :
l'opérateur d'inertie en G (centre d'inertie du solide)
l'opérateur d'inertie en P du solide dont la masse serait concentrée en G.
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5.
Torseur Cinétique
Torseur
cinétique :
On appelle torseur cinétique ou torseur des quantités de mouvements, le torseur définit par :
→
→

←Résultante cinétique
Rc
=
V
P 2 / 1 dm
2
/
1

 (quantité
de mouvement)


S
=
→

2/1
→
→
 σ A,2 / 1 = AP ∧ V P 2 / 1 dm  ←Moment cinétique


S

A
∫
{C }
∫
La résultante cinétique n'est autre que la quantité de mouvement en translation du solide 2/1.
→
→
Rc 2 / 1
= ∫V P
2 / 1 dm
S
→
→
→
→
 →
 →
→

= ∫ V G 2 / 1 + PG ∧ Ω 2 / 1  dm = V G 2 / 1 ∫ dm +  ∫ PG dm  ∧ Ω 2 / 1 = m V G 2 / 1



S
S
S


0
Le moment cinétique de 2/1 en A se calcule à partir de l'opérateur d'inertie du solide et de son vecteur rotation.
→
σ A,2 / 1
=
→
→
∫ AP ∧ V P
2 / 1 dm
S
=
→
→
→
→
→

= ∫ AP ∧ V A 2 / 1 + PA∧ Ω 2 / 1 dm


S
→

→
→

→
∫ AP ∧ V A 2 / 1 dm + ∫ AP ∧  PA∧ Ω 2 / 1  dm
S
S
→ 
→
→
→ 
 →
→
= ∫  AG + GP  dm ∧ V A 2 / 1 + ∫ AP ∧  Ω 2 / 1 ∧ AP  dm sachant que :



S
S
→
[Ι ]2,A ∗Ω 2 / 1
→
→
 →
 →
 GP dm  ∧ V A 2 / 1 = 0


S


∫
0
→
= m AG ∧ V A 2 / 1 + [Ι]2,A ∗ Ω 2 / 1
Soit finalement :
→
→

Rc 2 / 1 = m V G 2 / 1


2 / 1 = →
→
→
→
 σ A,2 / 1 = [Ι ] ∗ Ω 2 / 1 + m AG ∧ V A 2 / 1 
2, A


{C }
A
Puisqu'il s'agit d'un torseur, la relation de moment est applicable :
→
→
→
→
→
→
→
→
→
σ B,2 / 1 = σ A,2 / 1 + BA∧ Rc 2 / 1 = σ A,2 / 1 + m. BA∧ V G 2 / 1
→
→
En particulier : σ A,2 / 1 = σ G,2 / 1 + m AG ∧ V G
Cas particulier :
Exemple :
→
→
2/1
→
→
= [Ι ]2,G ∗ Ω 2 / 1 + m AG ∧ V G 2 / 1
→
[ ]2,G ∗ Ω 2 / 1 et si A est un point fixe de 2/1, alors :
Dans tous les cas : σ G,2 / 1 = Ι
→
→
σ A,2 / 1 = [Ι ]2,A ∗ Ω 2 / 1
Soit à déterminer le torseur cinétique d'un cylindre de masse m, qui roule sans glisser sur un plan horizontal.
On se place par exemple en G, car on connaît l'opérateur
d'inertie d'un cylindre en G dans la base ( x, y , z ) ; le moment
cinétique sera donc simple à calculer.
→

→
 
→
V →
Rc 2 / 1  m V x

= 
 avec Ω 2 / 1 = − z
2 / 1 = →
→
R
σ
 [Ι ] ∗ Ω 2 / 1 

G  G,2 / 1  G  2,G
{C }
et [Ι ]2,G
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
A 0 0


= 0 A 0
0 0 C 
 ( x,y ,z )


m V x 
2/1 = 
V →
− C z 
R 
G
{C }
y
→
Ω
z
2 /1
=−
V .z
R
2
G
B
1
→
→
A
V G 2/1
= V .x
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x
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6.
Energie Cinétique
Définition :
L'énergie cinétique d'un solide 2 en mouvement par rapport à 1 est la quantité : Ec2 / 1 =
2
1 →
VP
2
∫
2 / 1 dm
.
S
2 −2
Par définition c'est un scalaire positif. Son unité est le Joule : J = Kg.m .s
En pratique :
On démontre que l'énergie cinétique d'un solide indéformable
correspond au co-moment des torseurs cinématique et cinétique :
Ec 2 / 1 =
1
2
{C }⊗ {V }
2 /1
2 /1
Le co-moment de deux torseurs n'a de sens que si les deux torseurs sont exprimés au même point P,
or, pour le calcul de l'énergie cinétique, on a tout intérêt à se placer en G, on a alors :
Ec 2 / 1 =
1
2
{C }⊗ {V }= 21 m V
2/1
2
Ec 2 / 1
→2
G 2 /1 +
2 /1
1→
Ω
2
→
2 /1
[Ι]2,G ∗ Ω 2 / 1
2
→
→
→
1 →
1 →
= m V G 2 / 1 + Ι ∆ Ω 2 / 1 avec Ω 2 / 1 = ω 2 / 1 u et Ι ∆ = u ⋅ [Ι]2,G ∗ u
2 2 Ec translatio n
Ec rotation
Si A est un point fixe de 2/1, alors on a aussi : Ec 2 / 1 =
1→
Ω
2
2 /1 ⋅
→
[Ι]2,A ∗ Ω 2 / 1 , soit :
Ec 2 / 1 =
1 2
Ι A,u ω 2 / 1
2
Energie cinétique
d'un ensemble :
L'énergie cinétique d'un système(ensemble de solides)
est la somme des énergies cinétiques de chacun des solides.
Exercice :
Déterminer l'énergie cinétique d'un cylindre plein homogène de masse m, de rayon R, de centre de gravité G, qui
roule sans glisser sur un plan horizontal à la vitesse V.
7.
Définition :
Notion d'inertie équivalente en rotation par rapport à un axe
Dans le cas d'un système comportant plusieurs pièces en rotation à des vitesse de rotation différentes (et
éventuellement certaines en translation), on appelle inertie équivalente ramenée à un axe ∆ , l'inertie Ι éq∆ que
devrait avoir cet axe en rotation pour que l'énergie cinétique totale du système de pièces en rotation soit égale à :
Ecsystème =
Intérêt :
1
Ι ∆ ω2∆ où ω ∆ représente la vitesse de rotation de l'axe ∆ .
2
L'inertie équivalente ramenée à l'axe moteur permet d'estimer rapidement le dimensionnement d'un actionneur.
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Exemple 1 :
On considère un réducteur à engrenages à deux étages comportant un pignon d'entrée moteur 1, un arbre
intermédiaire 2 avec deux pignons de Z2a etZ2b dents et un arbre de sortie 3 avec un pignon de Z3 dents. Les
différents arbres (1, 2, 3) sont en liaison pivot d'axe x par rapport au bâti 0 (non représenté sur la perspective).
La figure ci-dessous illustre schématiquement le dispositif.
2a
Z2a
2
arbre intermédiaire 2
pignons de Z2a et Z2b dents
moment d'inertie J2
ω2
Z2b
2b
Moteur
électrique
3
1
ω1
Z1
arbre de sortie 3
pignon de Z3 dents
moment d'inertie J3
arbre moteur 1
pignon de Z1 dents
moment d'inertie J1
Z3
Réducteur à engrenages
à deux étages
ω3
x
L'engrènement des pignons 1 et 2a d'une part et 2b et 3 d'autre part, permet d'écrire:
ω2
ω
Z1
1
Z 2b
1
=−
= − et 3 = −
=−
ω1
Z 2a
λ
ω2
Z3
µ
Si on estime l'énergie cinétique de l'ensemble à un instant donné par rapport au référentiel galiléen lié au bâti :
Ec (1+ 2 + 3 ) / 0 = +
1
1
1
1 2
1
1 1  1
2
2
2
2
J1ω1 + J 2 ω 2 + J 3 ω 3 = ω1  J1 + J 2 2 + J 3 2 2  = Jeq ω1

 2
2
2
2
2
λ
λ
µ





L'inertie équivalente ramenée à l'axe moteur est donc: Jeq =  J1 + J 2
Exemple 2 :
1
λ2
+ J3
1 1 
λ2 µ 2 
On considère un dispositif d'entraînement en translation d'une table supportant une charge embarquée (supposée
liée à la table 2). La table est en liaison glissière sans frottement par rapport au bâti 0 et en liaison pignon
crémaillère avec le pignon moteur 1.
La figure ci-dessous illustre schématiquement le dispositif.
La transmission par pignon crémaillère impose à tout instant : V (t ) = R ω(t )
→
Ω
y
→
V G 2/0
2
G
1/ 0
pignon moteur 1
rayon R, inertie J
= V (t ).x
= ω(t ).z
A
1
O
x
crémaillère et masse embarquée 2
masse totale M
Si on estime l'énergie cinétique de l'ensemble à un instant donné par rapport au référentiel galiléen lié au bâti :
Ec (1+ 2 ) / 0 =
(
(
2
L'inertie équivalente ramenée à l'axe moteur est donc: Ι éq = J + M R
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)
1
1
1
1
1
2
MV 2 + Jω 2 = M (R ω) + Jω 2 = J + M R 2 ω 2
2
2
2
2
2
)
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7/24
8.
Notion de Puissance
Définition :
Afin de clarifier les choses, on note 1 et 2 deux ensembles matériels en mouvement par rapport à R (repère).
La puissance de l'action mécanique que développe 2 sur 1 dans son mouvement par rapport à R est :
P2 / 1,R =
∫
→
→
df 2 / 1 ⋅ V M 1 / R Il s'agit d'une quantité scalaire, son unité est le Watt : W = Kg . m 2 . s −3
S1
En pratique :
On démontre que la puissance que développe l'AM de 2 sur 1 par rapport à R
P2 / 1,R =
est le co-moment des torseurs statique de 2/1 et cinématique de 1/R :
{ S }⊗{ V }
2 /1
1/ R
Le co-moment de deux torseurs n'a de sens que si les deux torseurs sont exprimés au même point P !
Par exemple, si le torseur d'AM de 2/1 et le torseur cinématique de 1/R sont connus en A, alors
P2 / 1,R =
{ S }⊗{ V }
2 /1
1/ R
→

R 2 / 1 
= 
⊗
→
M A 2 / 1 

A
→

→
→
→
→
Ω 1/ R 
→
 , soit : P2 / 1 = R 2 / 1 i V A 1/ R + M A 2 / 1 i Ω 1/ R
V

A  A 1/ R 
Si P2 / 1,R > 0 , alors 2 fournit de l'énergie à 1, si P2 / 1,R < 0 , alors 2 reçoit de l'énergie de 1.
Notation :
On rencontre indifféremment les notations suivantes : P2 / 1,R ou P2→1 / R
Puissance
des efforts
extérieurs :
On appelle puissance des efforts extérieurs,
la puissance que développent les actions mécaniques extérieures au système isolé.
Puissance
des efforts
intérieurs :
Si on considère deux solides 1 et 2 d'un même ensemble (système isolé), on appelle puissance des efforts
intérieurs, notée : P2 ↔1 , la puissance que développe les actions mutuelles entre 1 et 2.
Elle se calcule par P2 ↔1 =
En pratique :
cas des liaisons
cinématiques :
Exemple :
{ S }⊗{ V }
2/1
1/ 2
ou P2 ↔1 =
{ S }⊗{ V }
1/ 2
, ces quantités sont égales !
Si deux solides 1 et 2 d'un même ensemble sont en liaison (liaison mécanique parfaite) (ni jeu, ni frottement),
alors la puissance des efforts intérieurs (puissance des actions mutuelles entre 1 et 2) est nulle.
En effet, le co-moment des torseurs cinématiques et statiques sera toujours nul dans la mesure où :
les inconnues de la résultante de l'un correspondent aux zéros du moment de l'autre et vice-versa.
Pour une liaison Pivot Glissant d'axe A.x entre les solides 1 et 2,
cas d'une liaison
pivot glissant :
- le torseur statique transmissible de 2 / 1 est de la forme :
on constate alors effectivement que P2 ↔1 =
{
}
1/ 2
{ V }⊗{ S }
1/ 2
→
 0
R 2 / 1  
S 2 / 1 =  → = YA
M
 Z
A  A 2/1 A  A
→
 ω x
Ω 1/ 2  
= 
=  0
→
V A 1 / 2   0
 A
A
{V }
- le torseur cinématique de 1 / 2 est de la forme :
Généralisation :
2 /1
2 /1
→

Ω 1/ 2 
= 
⊗
→
V A 1/ 2 

A
0 

MA 
N A 
( x ,y ,z )
Vx 

0
0  ( x,y,z )
→

R 2 / 1 
→
=0
M A 2 / 1 

A
Ce résultat se généralise à toute liaison mécanique parfaite, y compris pour une glissière hélicoïdale.
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8/24
Liaison avec
frottement :
Dans le cas d'une liaison avec frottement, il y a dissipation d'énergie et donc apparition d'une puissance des
efforts intérieurs systématiquement négative, car elle correspond à une perte d'énergie pour le système.
Cas d'une liaison
ponctuelle avec
frottement de
glissement :
Par exemple, dans le cas d'une liaison ponctuelle
de normale A.n avec frottement de glissement
entre deux solides 2 et 1 pour laquelle on néglige la
résistance au pivotement et au roulement, on peut
faire le schéma ci-contre :
=
A 1/ 2
(S 2)
→
A n 1/ 2
Par définition, la puissance des efforts intérieurs est :
P2 ↔1
→
n
{ V }⊗{ S }
2 /1
→

 Ω2 / 1 
= 
⊗
→
V A 2 / 1 

A
→
→
1/ 2
→ 
 A 1/ 2 
→ 
0


A
→
→
A
P
→
= A 1/ 2 ⋅ V A 2 / 1 = At 1/ 2 ⋅ V A 2 / 1
→
A t 1/ 2
r
→
t
V A2 /1
(S1)
→
→
→
Or, du fait des lois de COULOMB, V A 1 / 2 et A t 2 / 1 sont opposés, donc : P2 ↔1 = − A t 1/ 2 V A 2 / 1
La puissance des efforts intérieurs est négative, ce qui est normal puisqu'il y a dissipation d'énergie au contact.
→
Si il y a roulement sans glissement, alors : V A 2 / 1 = 0 , et : P2↔1 = 0 , on retrouve une puissance nulle, ce qui
est normal dans la mesure où le frottement ne travaille pas !
Application au
cas du freinage :
Dans le cas d'un freinage d'un véhicule automobile, les roues sont soumises à diverses actions mécaniques :
action du sol : réaction avec composante tangentielle de frottement.
action de la pesanteur,
action des plaquettes sur le disque liée à la jante (mâchoires de frein)
On peut envisager deux situations différentes :
freinage avec ABS, donc roulement sans glissement du pneu sur le sol,
freinage trop violent sans ABS, donc avec dérapage (glissement) du pneu sur le sol.
y1
→
1 - sol
2 - roue+disque
3 - plaquettes
2
A 1/ 2
→
A 1/ 2
→
MC 3 / 2
3
y1
→
→
Ω 2/3 = 0
MC 3 / 2
C
→
→
VC 2/1
VC 2/1
C
→
Ω 2/3
A
→
V A2 /1 = 0
1
Situation d'adhérence
(freinage ABS)
→
x1
V A 2 /1
A
→
x1
A t 1/ 2
→
→
P2
P2
→
Situation de dérapage
(freinage sans ABS)
Dans le premier cas, l'action de contact du sol ne travaille V A 2 / 1 = 0 , mais l'action des plaquettes sur le disque
→
→
→
(assimilable à un couple M C 3 / 2 provoquant le ralentissement de la roue) travaille puisque : Ω 2 / 3 ≠ 0 ,
la dissipation d'énergie se fait au niveau du contact entre plaquettes et disque (qui s'échauffent !).
Dans le second cas, l'action des plaquettes sur le disque ne travaille pas puisque cette fois : Ω 2 / 3 = 0 ,
→
mais l'action de contact du sol travaille; en effet le pneu dérape, donc V A 2 / 1 ≠ 0 .
La dissipation d'énergie se fait, cette fois, au niveau du pneu (qui s'échauffe et surtout s'use !).
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9/24
9.
Enoncé :
Théorème de l'énergie cinétique
La dérivée temporelle de l'énergie cinétique galiléenne d'un système est égale à la somme des puissances
galiléenne des actions mécaniques extérieures et la puissance des efforts intérieures au système.
Si 1 est un système et Rg un référentiel galiléen, alors :
En pratique :
dEc 1 / Rg
∑ Pext / 1,Rg + Pint ↔1
=
dt
Rg
L'application du théorème de l'énergie cinétique fournit une (et une seule) équation scalaire entre :
les dérivées premières des paramètres de position (vitesses)
les actions mécaniques qui travaillent (qui fournissent une puissance)
Le théorème de l'énergie cinétique est bien adapté à une approche globale d'un mécanisme à une mobilité.
Au delà (2 mobilités et plus) il est insuffisant et nécessite d'être complété par un autre des théorèmes généraux de
la mécanique (par exemple avec une des équations du principe fondamental de la dynamique, voir plus loin…)
Exemple :
On considère une installation comportant un moteur électrique, un réducteur à engrenages et un récepteur liée à
l'arbre de sortie du réducteur. La figure ci-dessous illustre schématiquement le dispositif.
mécanisme
à une mobilité
arbre de sortie 2
pignon de Z2 dents
moment d'inertie propre
négligeable par rapport à J2
2
Z2
Moteur
électrique
ω2
2
1
ω1
Z1
arbre moteur 1
pignon de Z1 dents
moment d'inertie J1
Réducteur à
engrenages
L'engrènement permet d'écrire:
récepteur lié à 2
moment d'inertie J2
x
ω2
Z1
1
1
=−
=−
où
représente le rapport de réduction avec R > 1 .
ω1
Z2
R
R
L'énergie cinétique de l'ensemble à un instant donné par rapport au référentiel galiléen lié au bâti :
Ec (1+ 2 ) / 0 = +
(
)
1
1
1 2
1
2
2
2
J1ω1 + J 2 ω 2 = ω 2 R 2 J1 + J 2 = J 2 eq ω 2 avec : J 2eq = R 2J1 + J 2
2
2
2
2
Ici, si l'on néglige les frottements, seul le moteur fournit une puissance non nulle au système :
Pm / 1,0 =
{ S }⊗{ V } =C ω
m /1
1/ 0
m 1
dEc 1+ 2 / Rg
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit alors :
dt
=
∑ Pext / 1+2,Rg + P1↔2
Rg
⇔
J 2eq ω2
⇔
J 2eq
d ω2
d ω2
dt
dt
= Cm ω1 = Cm R ω2
= Cm R
Par conséquent, si on applique un couple moteur constant à partir d'une situation d'arrêt, on a : ω 2 (t ) =
On peut alors déterminer le temps de mise en rotation à vitesse constante nominale ω n : ∆t =
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Cm R
t.
J 2 eq
ω n J 2 eq
Cm R
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10/24
Exemple
d'application :
mécanisme
à deux mobilités
Soit à résoudre le problème suivant :
Un cylindre dont la géométrie est connue (masse m, rayon R, hauteur h) est initialement lancé avec un
mouvement de translation sur un plan horizontal à la vitesse V0 dans la direction x .
Il commence par glisser sur le plan supposé non frottant. A la date t = 0 et à l'abscisse x = 0, il aborde une
frontière à partir de laquelle il y a frottement (coefficient de frottement f) et où il est donc ralenti et mis
progressivement en rotation autour de son axe Gz . Au bout d'un certain temps ∆t et à l'abscisse x = L, il finit par
avoir un mouvement de roulement sans glissement sur le plan à la vitesse constante V1 et poursuit ainsi.
On se propose de déterminer la longueur sur laquelle il dérape (L), la durée de cette phase ( ∆t ) et la vitesse
atteinte ( V1 ) une fois le mouvement de roulement sans glissement retrouvé.
La figure ci-dessous récapitule les différentes phases du mouvement.
y
→
Ω
G
2 /1
=0
→
V G 2 / 1 = Vo .x
→
2
z
G
Ω
2 /1
= ω(t ).z
B
→
V G 2 / 1 = V (t ).x
zone de glissement
sans frottement
(dérapage)
→
A
Ω
x =0
2 /1
=−
V1 .z
R
G
zone de glissement avec
frottement (dérapage) et
mise en rotation progressive
→
V G 2 / 1 = V1.x
x
1
zone de roulement
x = L sans glissement
Durant la phase de dérapage avec frottement, on peut décrire le champ de vitesse et les actions mécaniques
extérieures à l'aide de la figure ci-dessous :
aspect statique
aspect cinématique
y
Remarque : ω(t ) < 0
→
Ω
2 /1
→
V G 2 / 1 = V (t ) x
G
2
1
→
An 1/ 2 = An y = mg y
→
A 1/ 2
= ω(t )z
A
→
V A 2 / 1 = (V (t ) + Rω(t ))x
G
2
x
A
→
At 1 / 2 = −f An = −f m g x
Il n'y a que durant la phase de dérapage avec frottement que l'action mécanique de frottement travaille (fournit une
puissance non nulle), puisque :
avant : la composante tangentielle est nulle,
après : la vitesse de glissement est nulle.
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11/24
Durant la phase de dérapage, l'énergie cinétique du cylindre 2/1 est : Ec2 / 1 =
1
1 mR 2
mV (t )2 +
ω(t )2 ,
2
2 2
→
et durant cette phase , on peut affirmer (loi de COULOMB) que la composante tangentielle de l'action A1/ 2 est
→
→
→
→
→
→
→
opposée à V A 2 / 1 et que : A 1 / 2 = At x + An y = −fAn x + An y . Or l'équilibre du cylindre en projection sur y
→
→
nous permet de dire que : An = mg , et donc : A 1 / 2 ⋅ x = −f m g
Par conséquent, si on applique le théorème de l'énergie cinétique à 2 dans son mouvement par rapport à 1, on a :
dEc 2 / 1
dt
= P1/ 2 + Ppesanteur / 2 , or ici l'action mécanique de pesanteur ne travaille pas , Ppes / 2 = 0 .
1
Calculons séparément chacun des membres:
-
-
d'une part :
dEc 2 / 1
dt
= m V (t ) Γ(t ) +
1
d'autre part : P1/ 2 =
or :
et
mR2
(t ) avec Γ(t ) = V (t )
ω(t ) ω
2
{ S }⊗{ V }
1/ 2
2 /1
,
→  − f m g x + m g y 
A1/ 2  

= 
=  →
,
→
 0  A  0


A
{S }
1/ 2
{ V 2 / 1}
→

Ω2 /1 
= 
=
→
V A 2 / 1 

A
→

Ω2 /1 = ω(t ) z

→
=
→
→
V G 2 / 1 + AG ∧ Ω2 / 1 

A

→
Ω2 / 1 = ω(t )z


 ,
(V (t ) + R ω(t ) ) x 
A
soit : P1/ 2 = −f m g (V (t ) − R ω(t ))
Au final, le théorème de l'énergie cinétique s'écrit donc : m V (t ) Γ(t ) +
soit : V (t ) Γ(t ) +
mR2
(t ) = −f m g (V (t ) + Rω(t )) ,
ω(t ) ω
2
R2
(t ) = −f g (V (t ) + R ω(t ))
ω(t ) ω
2
On obtient donc une unique équation scalaire comportant deux variables inconnues V (t ) et ω(t ) .
La résolution n'est donc pas possible.
Mais on peut compléter cette équation par le théorème de la résultante dynamique :
→
∑ R ext / 2 = m Γ G 2 / 1
Ce théorème est au programme de physique de la classe de terminale S,
on le retrouvera évidemment un peu plus loin dans ce cours… patience !
Le théorème de la résultante dynamique appliqué au cylindre 2 en projection sur x donne : m Γ(t ) = −f m g ,
soit Γ(t ) = −f g Cette seconde équation s'intègre facilement et si l'on tient compte des conditions initiales :
Γ(t ) = −f g
⇔
dV (t )
= −f g
dt
⇔
V (t ) = −f g t + cste , soit : V (t ) = V0 − f g t
Cette relation n'est valable que tant qu'il y a dérapage,
car dès qu'il y a roulement sans glissement t ≥ ∆t ; P1/ 2 = 0 et donc Γ(t ) =
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dV (t )
= 0 , soit : V (t ) = V1
dt
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Si l'on tient compte de cette résolution dans la première équation obtenue, il vient :
V (t ) Γ(t ) +
⇔
R2
(t ) = −f g (V (t ) + R ω(t ) )
ω(t ) ω
2
−(V0 − f g t ) f g +
R2
(t ) = −f g (V0 − f g t ) + R ω(t )
ω(t ) ω
2
(
)
R2
(t ) = −f g R ω(t )
ω(t ) ω
2
−2 f g
(t ) =
⇔
ω
R
−2 f g
t , puisque : ω(t = 0) = 0 , la mise en rotation est à accélération constante !
soit : ω(t ) =
R
⇔
→
→
Par définition, le cylindre dérape tant que V A 2 / 1 ≠ 0 , or : V A 2 / 1 = (V (t ) + R ω(t )) x ,
→
on peut donc estimer le temps ∆t au bout duquel V A 2 / 1 = 0 , cela revient à résoudre :
⇔
 − 2f g 
V0 − f g t + R 
t = 0
 R

V0 − 3 f g t = 0
⇔
t =
soit: ∆t =
V0
3f g
V0
3f g
Et du coup on peut estimer la vitesse finale V1 : V1 = V ( ∆t ) = V0 − f g
V0
2
, soit V1 = V0
3
3f g
Enfin, pour déterminer la longueur L sur laquelle le cylindre dérape, il suffit d'intégrer la loi de vitesse :
∆t
soit : L =
∫ V (t ).dt = V0 ∆t −
t =0
2
2
2
2
V
1 V0
1
1 4 V0
5 V0
f g ∆t 2 = 0 −
=
, soit : L =
9 fg
2
3f g 2 9f g
18 f g
A ce stade, le problème est complètement résolu.
…qui a dit "ouf" !?
pour aller un
peu plus loin :
On peut estimer simplement l'énergie dissipée lors du dérapage en évaluant la variation d'énergie cinétique :
2
2
mR 2 2
mR 2  2 V0 
14
2 

2
2
24
ω1 − m V0 = m  V0  +
− 1

 − m V0 = m V0  +
2
2 3 R 
3 
9 2 9

1
2
soit une variation de : ∆Ec 2 / 1 = − m V0 ,
6
2
2∆Ec2 / 1 = m V1 +
on constate que cette quantité est bien négative et indépendante du coefficient de frottement f !
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10. Torseur Dynamique
Torseur
dynamique :
On appelle torseur dynamique ou torseur des quantités d'accélérations, le torseur définit par :
{ D2 / 1}
→
→
→
 ←Résultante dynamique
Rd
=
Γ
.
dm
=
m
.
Γ G 2 / 1  (quantité
P
2
/
1
2
/
1

d'accélération)


S
= 

→
→
→
 δ A,2 / 1 = AP ∧ Γ P 2 / 1 .dm
 ← Moment dynamique


S

A
∫
∫
La résultante dynamique n'est autre que la quantité d'accélération en translation du solide 2/1 :
→
Rd 2 / 1
→
→
d V P 2 /1
d →
= ∫ Γ P 2 / 1 dm = ∫
dm =
VP
dt
dt S∫
S
S
→
→
→
d V G 2 /1
d Rc 2 / 1
=m
= m ΓG 2/1
2 / 1 dm =
dt
dt
Le moment dynamique de 2/1 en A se calcule à partir du moment cinétique et de son champ de vitesse :
→
δ A,2 / 1
=
→
→
∫ AP ∧ Γ
P 2 / 1 dm
=
S
=

P 2 /1  dm

S
→
d
σ A,2 /1 −
dt
∫
S
→ 
→
d  →
 AO + OP  ∧ V P
dt 

→
d →
=
σ A,2 /1 − V P
dt
S
∫
=
d →
→
∫ AP ∧ dt V
→

2/1− V A /1 

=
d  → →
 AP ∧ V P
dt 
S
∫
2 /1

d  →  →
dm  −
 AP  ∧ V P

dt 

 S
∫
2 / 1 dm
2 / 1 dm
→
∧VP
2 /1 dm,
→
→
d →
σ A,2 /1 + V A / 1 ∧ V P 2 /1 dm
dt
S
∫
→
m.V G
=
→
d
σ A,2 /1 +
dt
2/1
→
→
mV A / 1 ∧ V G 2 / 1
P est un point courant du solide 2, mais A est un point d'observation non lié au solide 2,
Remarque :
→
d'où l'apparition du terme : V A / 1 (merci à Boris EGO pour cette remarque)
Soit finalement :
{D }
2 /1
→
→

Rd 2 / 1 = m Γ G 2 / 1

= →

→
→
d →
 δ A,2 / 1 =
σ A,2 / 1+ mV A / 1∧ V G 2 / 1 
dt

A
Puisqu'il s'agit d'un torseur, la relation de moment est applicable :
→
→
→
→
→
→
→
δ B,2 / 1 = δ A,2 / 1 + BA∧ Rd 2 / 1 = δ A,2 / 1 + m BA ∧ Γ G 2 / 1
Cas particulier :
Si A est un point fixe par rapport à 1
→
ou si A est confondu avec G (quel que soit son mouvement), alors : δ A,2 / 1 =
Astuce de
calcul :
d →
σ A,2 / 1
dt
On est souvent amener à ne chercher que la composante du moment dynamique suivant une direction u , et donc
→
à devoir estimer le produit scalaire : δ G,2 / 1 .u , il est alors astucieux de remarquer que :
→
δ G,2 / 1 iu
→
 →
d →
 d →
du
=  σG,2 / 1 iu =
σ
i
u
−
σ
i
G
,2
/1
G
,2
/1


dt 
dt
 dt


en effet σ G 2 / 1 ⋅ u est une quantité scalaire, donc plus facile à dériver (!) et le terme complémentaire à calculer
du
est la dérivée d'un vecteur unitaire
donc rapide à estimer avec la relation de BOOR.
dt
Attention :
Ceci n'est valable qu'au centre de gravité G ou en un point A fixe /1 !
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14/24
11. Principe Fondamental de la Dynamique - PFD
Enoncé :
Le principe fondamental de la dynamique dit que :
∑ {S ext / 1 } = {D1/ Rg }
"Dans un repère Galiléen, la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures
à un système est égale à tout instant au torseur dynamique de ce système"
Si le système est en équilibre, on retrouve le Principe Fondamental de la Statique :
∑ {S ext / 1 } = {0}
Théorème de la
résultante
dynamique :
On déduit du PFD un premier théorème : le théorème de la résultante dynamique,
∑ R ext / 1 = M Γ G 1/ 0
Théorème du
moment
dynamique :
On déduit du PFD un second théorème : le théorème du moment dynamique,
∑ M P ext / 1 = δ P 1/ 0
Remarque :
→
→
→
En pratique :
Le Principe Fondamental de la Dynamique fournit donc 6 équations mêlant les dérivées premières et
secondes des paramètres de position et les efforts extérieurs appliqués au système.
Exemple :
On considère un robot manipulateur articulé à 6 axes comme celui ci-dessous.
On souhaite déterminer le couple moteur à exercer sur l'axe 2 (orienté par x1 ) pour une configuration particulière
où les axes 3, 4, 5 et 6 sont verrouillés (bloqués), configuration pour laquelle on suppose donc que le robot peut
se réduire cinématiquement à 2 solides dont on suppose connus les centres de gravité et les opérateurs d'inertie
respectifs. En particulier, on remarquera la symétrie du robot par rapport au plan y1, z0 ou y 2 , z2 .
(
→
→
 A2

= "
On pose : OA = a z 0 et AG 2 = b y 2 ,et on donne : Ι 
2, A
 "
y2
0 

−D2 
C2 
0
B2
"
A
x1 = x 2
A
α
α
O=G1
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
x0
y1
O
α
y0
z0
x1
y2
G2
1
y0
α
( x2 ,y 2 ,z2 )
θ
x1
y1
)
0
x0
x1
(
z2
2
z0
G2
)
z2
y1
y2
G2
θ
θ
A
y1
x1
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15/24
Stratégie de
résolution :
Le bilan des AME sur 2 isolé
-
{S }
l'action inconnue du moteur :
m/2
{S }

→
P 2 = −M2 g z0 
=
 =
 0

G2
-
l'action de la pesanteur :
-
l'action de la liaison pivot d'axe A x 1 :
pes / 2
 → 
=  0 
C x 
A  m 1
→

P 2 = −M 2 g z0

→

M A, p / 2 = −M g b cos(θ) x 
2
1
A
→
  X 12
 A 1/ 2  
= 
=  Y12
→
M A,1 / 2   Z
 A  12
A
{S }
1/ 2
0 

M 12 
N12 
(x1,y −,z − )
IRB 6600 de ABB. Par conséquent pour ne déterminer que le seul couple moteur C m , on applique le théorème du moment du
dynamique à 2 en projection sur l'axe x1 , de manière à s'affranchir d'une résolution complète.
Pour minimiser les calculs, la résolution se fera en A.
moment
cinétique
de 2/0 :
{V }
Le torseur cinématique de 2 / 0 est simple à exprimer en A :
Le torseur cinétique de 2 / 0 est simple à exprimer en A :
→
→
Or : V G 2
2/0
=VA
→
soit : V G 2
2/0
→
→
2 / 0 + G 2A∧ Ω 2 / 0
2/0
{C }
2/0

→
Ω2 / 0 = α z0 + θ x1 
= 

→
V A 2 / 0 = 0


A
→
→

Rc 2 / 0 = M2 V G 2 2 / 0 
= →
,
→
 σ A 2 / 0 = Ι  ∗ Ω2 / 0 
  2,A

A
(
)
= −b y 2 − ∧ α z0 + θ x1 ,
= −b α cos(θ) x1 + b θ z 2
→
→
(
)
Et : σ A 2 / 0 = Ι 
∗ Ω2 / 0 , or Ι  2,A est exprimé dans x 2 , y 2 , z 2 ,
2, A
→
z0 + θ x1 dans la même base.
il faut donc faire le produit matriciel avec Ω2 / 0 = α
→
σA2/0
moment
dynamique
de 2/0 :
remarque :
 A2

= "
 "
0
B2
"
0 

−D2  ∗
C2 
+ A2 θ
= +B2 α sin(θ) − D2 α cos(θ)
α cos(θ) −D2 α sin(θ) + C2 α cos(θ) ( x2 ,y 2 ,z2 )
( x2 ,y 2 ,z2 )
θ
α sin(θ)
Le torseur dynamique de 2 / 0 est simple en A (point fixe) :
{D }
2/0
→
→

Rd 2 / 0 = M2 Γ G 2 2 / 0 
= →
 ,
d →
δ A 2/0 =
σ
A
2
/
0


dt 
 

A
Dans la mesure où l’on sait que l’application du PFD se limitera ici au théorème du moment en projection sur Ax1 ,
→
il n’est pas indispensable de calculer Γ G 2 2 / 0 , néanmoins pour information on donne le résultat :
→
ΓG 2 2 / 0
MP – PSI - Aix - J.P. Costes

cos(θ) + b α θ sin(θ) x1 +  −b α 2 cos(θ) y1 +  −b θ 2  y 2 + b =  −b α



 θ  z2


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16/24
moment
dynamique
de 2/0 :
suite…
→
d σA 2/0
Le terme
est particulièrement lourd à calculer,
dt
→
or au final seul le terme δ A 2 / 0 ⋅ x1 nous intéresse, on utilise donc la remarque suivante,.
→
 →
dx1
d →
 d →
x
δ A,2 / 0 .x1 =  σ A,2 / 0  ⋅ x1 =
σ
⋅
−
σ
⋅
A,2 / 0
 A,2 / 0 1 
dt 
dt
 dt


Et donc, on calcule séparément : Α =
Α=
d
dt
d
dt
→

dx1
→
σ
⋅
x
et
Β
=
σ
⋅
:
A
,2
/
0
A
,2
/
0

1
dt


 d
→
+ A2 θ = A2 θ
 σ A,2 / 0 ⋅ x1  =
dt


→
Β = σ A,2 / 0 ⋅
(
dx1
dt
)
→
= σ A,2 / 0 ⋅ α y1
Β = α ( B2α sin( θ) − D2α cos( θ) ) cos(θ) − ( −D2α sin( θ) + C2α cos( θ) ) sin( θ)
→
θ + ( B2 sin(θ) − D2 cos(θ) ) cos(θ) + ( D2 sin(θ) − C2 cos(θ) ) sin(θ) α 2
Soit : δ A,2 / 0 .x1 = A2 Application du
théorème du
moment du PFD
appliqué à 2 en
projection sur x1 :
Le théorème du moment appliqué à 2 / 0 au point A en projection sur x1 nous donne finalement :
→
δ A,2 / 0 .x1 =
∑
→
M A ext / 2 .x1 ,
→
δ A,2 / 0 .x1 = Cm − M2 g b cos(θ) ,
Soit :
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
(
)
Cm = A2 θ + ( B2 − C2 ) α 2 sin(θ)cos(θ) + D2 α 2 sin(θ)2 − cos(θ)2 + M2 gb cos(θ)
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17/24
Application 1 :
l'effet
gyroscopique
On se propose de mettre en évidence le principe de l'effet gyroscopique.
Mouvement réel observé :
rotation autour de G.w
w
v
On constate qu'il apparaît alors un couple qui a tendance à
faire pivoter l'axe instantanée de rotation autour d'un
Action mécanique exercée : troisième axe G.w directement perpendiculaire à u et v .
sollicitation en rotation
Si le solide est libre de pivoter dans toutes les directions, il
autour de G.v
ne pivote pas par rapport à G.v (mouvement intuitivement
ω
G
→
Ω1 / 0 = ω.u
Problème
simplifié :
Cet effet est observable, par exemple, sur un solide en
rotation autour d'un axe G.u avec une forte vitesse de
rotation ω et sur lequel on exerce une action mécanique de
type couple qui ait tendance à faire pivoter l'axe de rotation
instantané G.u autour de l'axe G.v (cf figure).
u
attendu) mais par rapport à G.w !
z0 = z1
On considère un solide 1 constitué d'un disque pesant de
rayon R, de centre de gravité G et d'une tige OG de masse
négligeable de longueur L.
θ
Ce solide est animé d'un mouvement de rotation autour de
son axe OG.
→
→
y1
y0
→
Ω1/ 0 = ω x1 + θ z0
0
On pose : OG = Lx 1 et Ω 1/ 0 ⋅ x 1 = ω
1
Le solide est articulé à son extrémité O avec le bâti 0. On
suppose que la liaison rotule est parfaite (sans frottement).
ω
θ(t )
G
On imagine qu'à un instant donné, le solide occupe la position
de la figure ci-contre (axe OG dans le plan horizontal) et qu'il
est abandonné à lui-même dans le champ de pesanteur.
De manière intuitive, la première idée qui vient à l'esprit
concernant son mouvement est un basculement autour de
Oy 1 dans le plan vertical x1Oz 0 sous l'effet de la pesanteur.
x1
x0
y0
y1
→
P 1 = −mg z0
x1
θ
G
Montrons que s'il est abandonné avec une vitesse initiale θ
θ
autour de Oz 0 il conserve ce mouvement de lacet sans
basculer sous l'effet de la pesanteur !
O
x0
On suppose que la rotation propre de 1 se fait à ω constant.
Mise en garde :
Par souci de simplicité, on ne cherche pas à déterminer le mouvement réel qu'aurait le solide 1 s'il était
abandonnée à lui-même dans le champ de pesanteur à partir d'une position quelconque, mais on part de
l'hypothèse qu'un mouvement de lacet à vitesse constante dans le plan horizontal est possible et on va démontrer
que cela est compatible avec le PFD !
Par conséquent dans toute la suite on suppose ω et θ constants.
Les calculs font intervenir différents torseurs, on choisira de systématiquement ramener ces torseurs en G, centre
de gravité du disque et on travaillera préférentiellement dans la base x 1, y 1, z1 .
(
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
)
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18/24
Calculs :
Si on fait le bilan des AME à 1 isolé :
-
-
{S
action de la pesanteur :
→
0
 0
→
P 1 = −m.g z 


0
→  0
pesanteur / 1 = →
0

 G − m.g 0 (x1,y1,z1 )
G
}
 X 01
→   X 01 0
O 0 / 1  


=
=
→
Y
0
 →   01
0 /1

 Y01
 0  Z
 O  01 0 (x1,y1,z1 ) G  Z 01
O
{S }
action de la liaison rotule :
0 

+ L.Z 01 
− L.Y01 
(x1,y1,z1 )
Par ailleurs, à partir des hypothèses faites sur la cinématique, on détermine l'allure du torseur cinématique de 1/0.
Le point O est un point fixe, le torseur cinématique est donc simple :
Le torseur cinétique s'exprime simplement en G :
→
→
Ω 1/ 0 = ω x1 + θ z 
= 

→
→
V O 1/ 0 = 0


O
{V }
1/ 0
→
→

Rc 1 / 0 = m V G 1/ 0 
= →

→
 σ G 1/ 0 = [Ι ] ∗ Ω 1/ 0 
1,G


{C }
1/ 0
G
[ ]1,G
On rappelle l'expression de l'opérateur d'inerte du disque en G : Ι
Le torseur cinétique est donc ici :
0
mR 2
4
0

0 


0 

mR 2 
4  (x1,y1,z1 )
→

Rc 1 / 0 = m L θ y 1

= →
2
mR 
1

 σ G 1/ 0 =
 ω x1 + θ z 0 

2 
2

G
{C }
1/ 0
Le torseur dynamique en G se déduit du torseur cinétique :
− mLθ 2

0
Le PFD s'écrit donc : 
 0
G
 mR 2

 2

= 0

 0


→
Rd
= −m L θ 2 x 1 
 1/ 0

= →

2
m
R
 δ G 1/ 0 =
ω θ y 1 


2
G
{D }
1/ 0
  0
0  X 01
 
 
2 m R ω θ / 2 =  0
0 +  Y01
 − mg 0  Z
0
 G  01
 G
0


+ L Z 01  , soit :
− L Z 01 
0
 X 01 = −m L θ 2

Y01 = 0

Z 01 = m g
L Z = m R 2 ω θ / 2
 01
Par conséquent un mouvement de lacet pur autour de l'axe Oz 0 à vitesse angulaire θ constante est possible.
Par élimination de Z 01 entre les deux dernières équations issues du PFD,
2L g
on obtient la condition liant ω et θ : L m g = m R 2 ω θ / 2 , soit : θ = 2
R ω
On retrouve le fait qu'en l'absence de rotation propre ω = 0 , ce mouvement de lacet est impossible !
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19/24
Application 2 :
performances
d'un coupé
On étudie les performances d'une Audi TT selon son type de transmission :
traction avant, propulsion arrière ou transmission intégrale type "quattro".
Pour simplifier, on considère l'ensemble de la voiture comme un unique solide
indéformable en mouvement de translation rectiligne accéléré.
Si on isole le véhicule et que l'on procède au bilan des AME, on a :
l'action de la pesanteur,
l'action aérodynamique de l'air modélisée par un glisseur horizontal à une altitude d du sol.
les actions en A et R de la route sur les pneus avec leurs composante normale et tangentielle.
Remarque : en phase d'accélération, les composantes tangentielles sont dirigées selon + x .
On fait figurer (pour mémoire) sur la figure récapitulative ci-dessous l'accélération du centre de gravité du coupé.
a+r
r
a
y
Rn y
An y
→
F C air / 1 C
G
→
Γ G 1/ 0
d
h
x
Rt x
R
−Mg y
A
At x
En vue d'appliquer le PFD, on écrit en G les torseurs d'AME :
{S
→
→
P 1 = −M g y 
= 

→
0


G
}
-
action de la pesanteur :
-
→
→
→

R 0 / 1 = Rt x + Rn y

réactions du sol : S 0 / 1 = 
 et
→
→
M G,0 / 1 = (h Rt − r Rn ) z 

G
-
→
→

F air / 1 = −F x

action aérodynamique : S air / 1 = 

→
→
M G,air / 1 = (d − h ) F z 

G
{
pesanteur / 0
}
{
Le torseur dynamique se résume ici à
→
→
→

 A 0 / 1 = At x + An y

S 0 /1 = →

→
M G,0 / 1 = (h At + a An ) z 

G
{
}
}
→
→

→
Rd 1/ 0 = m Γ G 1/ 0

= →
puisque
Ω
1/ 0 = 0 .

→
d
 δ G,1 / 0 =
σ G,1 / 0 = 0
dt

G
{D }
1/ 0
→
→
→
→
→


 →
  →
 

M ΓG 1/ 0 x  − M g y  Rt x + Rn y   At x + An y
 − F x

Le PFD s'écrit donc : 
=  →
+ 
+ 
+ 

→
→
→
→
 0
  0
 (h Rt − r Rn ) z  (h At + a An ) z  (d − h ) F z 
 G
 G
 G

 G
G
M ΓG = Rt + At − F

Par projection de la résultante sur les axes soit le système : 0 = −M g + Rn + An
0 = h Rt − r Rn + h At + a An + (d − h ) F

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Mise à jour: novembre 2005
20/24
Pour simplifier le problème et estimer uniquement les performances
d'accélération du coupé, on décide de négliger la résistance aérodynamique
(par exemple un départ arrêté), du coup le système à résoudre est celui cicontre où les inconnues sont : (At , Rt , An, Rn, ΓG ) .
Prise en compte
des lois de
COULOMB
Rt + At = M ΓG

Rn + An = M g
h Rt − r Rn + h At + a An = 0

Les composantes normales et tangentielles des réactions du sol ne sont pas indépendantes, les lois de
COULOMB nous permettent d'écrire : Ft / Fn ≤ f , où f est le coefficient de frottement pneumatique-route.
Si on se place à la limite du glissement (en supposant, par exemple, la présence d'un répartiteur électronique de
puissance et d'un anti-patinage, ce qui est généralement le cas sur les modèles "Quattro"), alors on est assuré
d'avoir pour une roue motrice : Ft = f Fn .
Par conséquent, on peut déterminer les performances d'un coupé (son accélération maximale ΓG )
suivant qu'il est du type traction avant, propulsion arrière ou transmission intégrale (quattro).
Pour chaque cas, on ré-écrit le système des trois équations où les seules inconnues sont : (An, Rn, ΓG )
Cas d'une
traction avant :
Pour un modèle traction avant, les roues arrières ne sont pas motrices, donc Rt = 0 et At = f An
An =
r
Mg
r + a + hf
Rn =
a + hf
Mg
r + a + hf
ΓG =
fr
g
r + a + hf
Conclusion : un centre de gravité élevé est défavorable aux performances d'un modèle de type traction !
Cas d'une
propulsion
arrière :
Pour un modèle propulsion arrière, les roues avant ne sont pas motrices, donc At = 0 et Rt = f Rn
An =
r − hf
Mg
r + a − hf
Rn =
a
Mg
r + a − hf
ΓG =
fa
g
r + a − hf
Conclusion : un centre de gravité élevé est favorable aux performances d'un modèle de type propulsion !
Cas d'une
transmission
intégrale :
Pour un modèle à transmission intégrale type "quattro" : At = f An et Rt = f Rn
An =
r −hf
Mg
r +a
Rn =
a+hf
Mg
r +a
ΓG = f g
Un modèle à transmission intégrale est donc insensible à la position du centre de gravité, il permet d'obtenir les
meilleurs performances d'accélération.
Conclusion :
Les performances en accélération sont donc différentes selon le type de transmission et la position du centre de
gravité G . Afin d'illustrer ceci, on peut tracer les performances en accélération en fonction de la position a du
centre de gravité (toutes choses étant égales par ailleurs).
Performances pour: f=0.85, h=550mm, g=9.81m/s²
a+r=2850 mm
r=2850-a
ΓG (m / s ²)
a
transmission intégrale (QUATTRO)
propulsion arrière
G
h
traction avant
x
position possible du
centre de gravité G
1000 < a < 2000 mm
Avertissement :
Faut-il encore que le moteur et le système de transmission soit capable de développer une puissance suffisante !
En effet, nous venons de déterminer les performances d'accélération compatibles avec l'adhérence entre les
pneus et la route, mais sans se préoccuper des performances du moteur…
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
Mise à jour: novembre 2005
21/24
12. En pratique : quelle stratégie adopter face à un problème de dynamique ?
Stratégie :
On appelle problème de dynamique, un problème dans lequel apparaît le calcul du torseur dynamique d'un
ensemble. Notons 1 cet ensemble et 0 le repère par rapport auquel on souhaite déterminer le torseur dynamique.
→
Dans la majorité des cas, le problème consiste à déterminer un moment dynamique, par exemple : δ A,1/ 0
[ ]1,G .
à partir de la seule connaissance de son opérateur d'inertie, généralement exprimé en G : Ι
Différentes possibilités conduisent au résultat souhaité, on prendra donc soin de réfléchir à chaque fois à la
stratégie qui conduit au résultat souhaité avec le minimum de calculs intermédiaires.
Le tableau ci-dessous récapitule les différentes possibilités.
[Ι]1,G
4
→
↓1
→
σ G,1/ 0
7
δ G,1/ 0
( 2)
↓5
(3 )
→
→ σ A,1/ 0
↓2
→
[Ι]1,A
↓6
3
→
→
δ A,1/ 0
(1)
→
→
→
d →
σ G,1/ 0
dt
σ G,1/ 0 = [Ι ]1,G ∗ Ω 1 / 01
δ G,1/ 0 =
→
→
→
δ A,1/ 0 =
→
(7 )
→
→
→
σ A,1/ 0 = [Ι ]1,A ∗ Ω 1/ 0 + m. AG ∧ V A 1/ 0
→
( 6)
→
[Ι]1,A = [Ι]1,G + [Ι]m∈G,A
( 4)
(5 )
→
δ A,1/ 0 = δ G,1/ 0 + m. AG ∧ Γ G 1 / 0
→
→
d →
σ A,1 / 0 + m.V A 1 / 0 ∧ V G 1/ 0
dt
→
→
→
σ A,1/ 0 = σ G,1/ 0 + m.AG ∧ V G 1 / 0
Remerciements :
L'excellente idée de ce tableau récapitulatif revient à Monsieur T. Aurier (MP/Toulon), qu'il en soit ici remercié !
Remarque :
L'expérience montre que le cheminement 123 est généralement le plus astucieux.
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
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22/24
Annexe : Description d'un volume élémentaire pour intégration
Coordonnées : Système cartésien, cylindrique et sphérique.
Problème :
Il est fréquent en mécanique du solide( mais également dans la
plupart des domaines de la physique) d'avoir à décrire localement
une quantité élémentaire avant d'en faire l'intégrale sur une surface
ou un volume.
(S, m )
P
z
G
dm
Par exemple, ne serait-ce que pour déterminer la position G du
→
centre de gravité d'un solide (S), il faut utiliser : OG =
1 →
OP .dm
m S∫
x
O
y
Choisir un système de coordonnées adapté à la géométrie
est un gage de réussite pour mener le calcul intégral à bien !
Système de
coordonnées
cartésien :
z
dv = dx × dy × dz
y
O
x
Système de
coordonnées
cylindrique :
z
dv = r .dθ × dr × dz
eθ
y
O
x
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
dθ
er
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23/24
Système de
coordonnées
sphérique :
z
ϕ
er
dϕ
← dv = r . sin(ϕ).dθ × r .dϕ × dr
r. sin(ϕ )
dr
O
y
r
dθ
x
u
θ
avec : r = rayon polaire, θ = longitude et ϕ = co-latitude
Rappel :
La longueur d'un arc de rayon R et d'angle α est R × α ,
avec α en radians !
α
R
Conseils :
Avant de se lancer dans le calcul intégral, il est toujours utile de se demander si les bornes de l'intégrale écrite
permettent effectivement de balayer entièrement et une seule fois le volume souhaité.
Exemple classique d'erreur dans la définition des bornes d'une intégrale de volume :
En sphérique pour balayer une sphère pleine de rayon R, il faut : r = 0 → R, θ = 0 → 2.π, ϕ = 0 → π
Faire un balayage sur θ = 0 → π, ϕ = −π → π nécessite de redéfinir l'élément de volume, sans quoi il
devient négatif pour ϕ = −π → 0 , puisque sin( ϕ) < 0 !
Par ailleurs, il n'est pas inutile de vérifier l'homogénéité de l'écriture de l'élément que ce soit de surface (ds), de
volume (dv) ou de masse (dm).
Et enfin, il est obligatoire de vérifier l'homogénéité de son résultat, une fois le calcul intégral terminé.
MP – PSI - Aix - J.P. Costes
Mise à jour: novembre 2005
24/24