PC2

MAP311 Aléatoire Ecole Polytechnique
A. Dalalyan Année 2007-2008
PETITE CLASSE 2 : Indépendance des événements. Variables
aléatoires discrètes
Exercice 1
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé.
1. Montrer que tous les événements de Asont deux-à-deux indépendants si et seulement
si la probabilité de chaque événement est soit 0 soit 1.
2. La relation d’indépendance est-elle transitive ?
3. Montrer que la relation d’indépendance est transitive si et seulement si la probabilité
de chaque événement est soit 0 soit 1.
Exercice 2
Soit (Ω,A,P) = ([0, 1],B([0, 1]),dx)où dx désigne la mesure de Lebesgue. Pour tout n∈
Net pour tout w∈[0, 1], on définit ξn(w)comme le nème chiffre après la virgule dans la
décomposition binaire du nombre w. Montrer que pour tout n6=kles variables aléatoires ξn
et ξksont indépendantes.
Exercice 3
Un sauteur tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1, . . . , n, . . .. On suppose
que les sauts sont indépendants les uns des autres. On suppose que P(nème saut est réussi) =
1
n. Soit Xle dernier saut réussi. Quelle est la loi de X. Calculer E(X).
Exercice 4
Soit Xune variable aléatoire qui prend ses valeurs dans N. Montrer que
E(X) =
∞
∑
n=0
P(X>n).
Exercice 5
On note Pl’ensemble des nombres premiers différents de 1. On sait que tout x∈Ns’écrit de
manière unique comme produit de puissances entières de nombres premiers de P. Il existe
donc Up:N→Ntelle que
∀x∈N,x=∏
p∈P
pUp(x).
Soit Qla probabilité sur Ndéfinie par
Q(x) = c
x2,(0<c<1).
1. Trouver la loi de Up, pour chaque p∈P.

2. Calculer Q(Up≥n), pour n∈N.
3. Montrer que pour Q, les variables (Up)p∈P sont indépendantes.
4. Calculer la fonction génératrice de la v.a. Up. En déduire son espérance et sa variance.
Exercice 5∗
Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées)
suivant la loi de Bernoulli de paramètre p∈]0, 1[et S=X1+...+Xnleur somme. Pour
s∈ {0, . . . , n}, donner la loi conditionnelle de X1sachant S=set calculer E(X1|S=s).
Exercice 6
Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes uniformes sur {0, 1}, et Zégale a X+Y
modulo 2. Quelle est la loi de Z? Est-ce que Xet Zsont indépendantes ? Est-ce que Yet Z
sont indépendantes ? Est-ce que X,Yet Zsont indépendantes ?
Exercice 7
Soit (ξn)une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. Soit (Xn)la suite de
variables aléatoires définies par
(X0=x,
Xn+1=Xn−XnhK+√hKξn+1,
où x∈Ret hK=1 avec K∈N. La loi commune des ξiest l’équirépartition sur {−1, 1}.
Calculer E(Xn)et E(X2
n). Identifier les limites de E(XK)et E(X2
K)quand Ktend vers l’infini.
Exercice 8
On jette, de façon indépendante, un dé biaisé (qui donne “pile” avec la probabilité pet “face”
avec la probabilité q=1−p) jusqu’à obtenir un nombre r(fixé par avance) de résultats
“pile”. Soit Nle nombre de tirages surnuméraires (au delà de r) nécessaires pour obtenir ce
résultat. Calculer la fonction génératrice de Net en déduire sa loi. Que vaut E(N).
Exercice 9 (Pour réflechir)
Soit (Xn)une suite de v.a.i.i.d. à valeurs dans N, et Nune variable à valeurs dans Nindé-
pendantes des (Xi). On pose S=0 si N=0 et S=∑N
k=1Xksinon. On note GNla fonction
génératrice de N.
1. Calculer E(S)et Var(S)en fonction des moments de Net X.
2. On suppose maintenant que les L(Xi)∼ B(p)pour 0 <p<1, et on désire déterminer
les lois de Ntelles que Set N−Ssoient indépendantes.
(a) Déterminer la loi de (S,N−S)si N∼ P(θ), et vérifier que Set N−Ssont indé-
pendantes.
(b) On suppose que Set N−Ssont indépendantes. Montrer que pour z∈[−1, 1],
GN(z) = GN((1−p) + pz)GN(p+ (1−p)z). On pose h(z) = G0
N(z)/GN(z).
i. si p=1/2, vérifier que h(z) = h((1+z)/2). En déduire que
h(z) = lim
r→1−h(r),
puis que Nest soit p.s. 0 soit suit une loi de Poisson.
ii. si p<1/2, inspirez vous de la question précédente pour obtenir la loi de N.