P5 : Algèbre linéaire numérique et Conditionnement

P5 : Algèbre linéaire numérique et Conditionnement
(matrice carrée : système de N équations à N inconnues)
●
●
●
●
●
●
la plupart des problèmes numériques aboutissent à des résolutions de
systèmes linéaires → un grand soin doit y être apporté
le conditionnement d'un système linéaire A.x = b traduit la difficulté à le
résoudre :
1 ≤ cond(A) ≤ + ∞
cond(A) ~ 1
⇒
système bien conditionné
(solution stable par rapport à une erreur des données)
cond(A) ≫ 1 ⇒ système mal conditionné
(solution très sensible par rapport à une erreur des données)
cond(A) = + ∞
⇒
système singulier (matrice non inversible, det=0)
le conditionnement réciproque (reciprocal condition number : rcond) est
l'inverse.
rcond = 1/cond
rcond traduit en quelque sorte la proximité avec la singularité
(lien avec le cas scalaire)
●
la stabilité se traduit par :
‖
Δx
Δb
‖ ≃ cond ( A) ‖ ‖
x
b
●
●
●
toute matrice A est associée à une application linéaire
–
l'image est formée par les colonnes de la matrice A
–
le noyau est formé des vecteurs x tels que A.x = 0
–
dim(noyau) + dim(image) = N, où N est la dimension de A
le rang : dim(image)
(= nombre de colonnes indépendantes)
une matrice de plein rang est non singulière
[ scilab → rank(A) ]
le noyau s'interprète comme les relations entre les colonnes
dépendantes de la matrice : très utile pour détecter des erreurs dans
l'écriture d'un système d'équation, ou dans un calcul de jacobienne !
[ scilab → kernel(A) ]