P5 : Algèbre linéaire numérique et Conditionnement

P5: Algèbre linéaire numérique et Conditionnement
(matrice carrée: système de N équations à N inconnues)
●la plupart des problèmes numériques aboutissent à des résolutions de
systèmes linéaires → un grand soin doit y être apporté
●le conditionnement d'un système linéaire A.x = b traduit la difficulté à le
résoudre: 1 ≤ cond(A) ≤ + ∞
●cond(A) ~ 1 système bien conditionné⇒
(solution stable par rapport à une erreur des données)
●cond(A) 1 système mal conditionné≫ ⇒
(solution très sensible par rapport à une erreur des données)
●cond(A) = + ∞ système singulier (matrice non inversible, det=0)⇒
●le conditionnement réciproque (reciprocal condition number: rcond) est
l'inverse. rcond = 1/cond
rcond traduit en quelque sorte la proximité avec la singularité
(lien avec le cas scalaire)
●la stabilité se traduit par:
‖Δx
x‖ ≃ cond (A) ‖Δb b‖

●toute matrice A est associée à une application linéaire
–l'image est formée par les colonnes de la matrice A
–le noyau est formé des vecteurs x tels que A.x = 0
–dim(noyau) + dim(image) = N, où N est la dimension de A
●le rang: dim(image) (= nombre de colonnes indépendantes)
une matrice de plein rang est non singulière
[ scilab → rank(A) ]
●le noyau s'interprète comme les relations entre les colonnes
dépendantes de la matrice: très utile pour détecter des erreurs dans
l'écriture d'un système d'équation, ou dans un calcul de jacobienne!
[ scilab → kernel(A) ]