CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Vecteurs OPERATIONS SUR LES VECTEURS Ce document reprend les opérations sur les vecteurs auxquelles on a recours en Sciences de l’Ingénieur. Par la suite, on désigne par scalaire une grandeur réelle V Un vecteur est une grandeur définie par : une direction Un sens Une intensité (ou norme) Un point d’application dans le cas d’un vecteur lié ou pointeur La représentation graphique du vecteur est faite par un segment muni d’une flèche. On peut également définir le vecteur à partir de ses composantes dans une base donnée. V = V x .x + V y . y + V z .z La base est généralement orthonormée directe, car les résultats d’opérations s’exprimeront alors plus simplement. Opérations sur les vecteurs : Produit du vecteur par un scalaire : Opération qui associe à un vecteur et un scalaire un vecteur : (λ, V ) → W = λ.V λ .V est colinéaire à V est de même sens si λ > 0, de sens contraire si λ < 0 de norme λ.V = λ . V On a 1.V = V et 0.V = 0 1 est l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires (λ + µ ).V = λ.V + µV Somme de vecteurs Opération qui associe à deux vecteurs un troisième vecteur : (U , V ) → W = U +V C’est une opération qui est associative, commutative qui a pour élément neutre U M Salette- Lycée Brizeux- Quimper V Graphiquement , on construit de W V U l’origine de V W 0 en plaçant à l’extrémité et en joignant l’origine de l’extrémité de V (en gras, tracé de U + V , en trait fin tracé de V + U ) U En plaçant des points A, B et C, on a la relation des Chasles : AB + BC = AC Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs : λ.(U + V ) = λ.U + λ.V : C22 operations sur les Vecteurs.docCréé le 03/11/2011 – U Page 1 sur 2 et CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Produit scalaire Vecteurs Opération qui associe à deux vecteurs un scalaire : (U , V ) → λ =U.V tel que U.V = U . .V . cos α où α est l’angle entre les deux vecteurs V α Remarque : l’angle entre deux vecteurs est obtenu en plaçant les deux origines en un même point C’est une opération qui est commutative, distributive sur l’addition de vecteurs : et λ .(U .V ) = (λ.U ).V Le produit scalaire de vecteurs perpendiculaire est nul (U + V ).W = U .W + V .W 0 = U (λ.V ) U est l’élément absorbant pour le produit scalaire Si on pose : U = U x .x + U y . y + U z .z et V = Vx .x + V y . y + Vz .z , avec une BOND on a U .V = UxVx + UyVy + UzVz + W Produit vectoriel Opération qui associe à deux vecteurs un troisième vecteur : (U , V ) → W = U ∧V V tel que α W est perpendiculaire au plan formé par U et V (U , V ,W ) forme un trièdre direct W = U . V . sin α U avec α angle entre les deux vecteurs Cette opération est anticommutative et distributive par rapport à l’addition de vecteurs La norme du produit vectoriel correspond à l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs U et V Double produit vectoriel Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser comme ici des parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de l'ordre de présentation des 3 vecteurs. On montre que A ∧ ( B ∧ C ) = B.( A.C ) − C.( A.B) Produit mixte : [ [ ] [ ] ] [ ] [ Opération qui associe à trois vecteurs un scalaire: (U ∧ V ).W = U ,V , W On montre que U , V , W = V , W , U = W , U , V − U ,V ,W = W ,V ,U = U ,W ,V = V ,U ,W [ ] [ ] [ ] et que ] La valeur absolue du produit mixte correspond au volume du parallélépipède construit sur U,V et W Produit de torseurs : Un torseur est constitué d’un vecteur uniforme et d’un vecteur Moment (qui varie en fonction du point considéré) : le produit de torseurs est une opération qui associe à ces 2 torseurs une grandeur R1 R2 et { } T = alors {T1}× {T2 } = R1 × M A, 2 + R2 × M A,1 2 M M A,1 A, 2 A A scalaire telle que si {T1 }= Le produit {T1 }× {T2 } ne dépend pas du point commun où sont exprimés les 2 torseurs : C22 operations sur les Vecteurs.docCréé le 03/11/2011 – Page 2 sur 2