C22 operations sur les Vecteurs

CPGE / S ciences I ndustrielles pour l’ I ngénieur Vecteurs
: C22 operations sur les Vecteurs.doc- Page 1 sur 2
Créé le 03/11/2011 –
M Salette
-
Lycée Brizeux
-
Quimper
OPERATIONS SUR LES VECTEURS
Ce document reprend les opérations sur les vecteurs auxquelles on a recours en Sciences de
l’Ingénieur.
Par la suite, on désigne par scalaire une grandeur réelle
Un vecteur est une grandeur définie par :
 une direction
 Un sens
 Une intensité (ou norme)
 Un point d’application dans le cas d’un vecteur lié ou pointeur
La représentation graphique du vecteur est faite par un segment muni d’une flèche.
On peut également définir le vecteur à partir de ses composantes dans une base donnée.
zVyVxVV
zyx
... ++=
La base est généralement orthonormée directe, car les résultats d’opérations s’exprimeront alors plus
simplement.
Opérations sur les vecteurs :
Produit du vecteur par un scalaire :
Opération qui associe à un vecteur et un scalaire un vecteur :
(λ,
V
) →
V
W
.
λ
=
V
.
λ
est colinéaire à
V
 est de même sens si λ > 0, de sens contraire si λ < 0
 de norme VV .. λλ =
On a
V
V
=
.
1
et
0
.
0
=
V
1 est l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un
vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires
VVV µλµλ +=+ .).(
Somme de vecteurs
Opération qui associe à deux vecteurs un troisième vecteur :
(
U
,
V
) →
V
U
W
+
=
C’est une opération qui est associative, commutative qui a pour élément neutre
0
Graphiquement , on construit
W
en plaçant à l’extrémité
de
U
l’origine de
V
et en joignant l’origine de
U
et
l’extrémité de
V
(en gras, tracé de
V
U
+
, en trait fin tracé de
U
V
+
)
En plaçant des points A, B et C, on a la relation des Chasles :
AC
BC
AB
=
+
Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :
VUVU ..).( λλλ +=+
V
V
V
U
U
W

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Créé le 03/11/2011 –
Produit scalaire
Opération qui associe à deux vecteurs un scalaire :
(
U
,
V
) → λ =
V
U
.
tel que
V
U
.
=
α cos... VU
où α est l’angle entre les deux vecteurs
Remarque : l’angle entre deux vecteurs est obtenu en plaçant les deux
origines en un même point
C’est une opération qui est commutative, distributive sur l’addition de
vecteurs :
WVWUWVU ..).( +=+
et
).()..()..( VUVUVU λλλ ==
Le produit scalaire de vecteurs perpendiculaire est nul
0
est l’élément absorbant pour le produit scalaire
Si on pose :
zUyUxUU
zyx
... ++=
et
zVyVxVV
zyx
... ++=
, avec une BOND
on a
V
U
.
= U
x
V
x
+ U
y
V
y
+ U
z
V
z
+
Produit vectoriel
Opération qui associe à deux vecteurs un troisième vecteur :
(
U
,
V
) →
V
U
W
∧
=
tel que
W
est perpendiculaire au plan formé par
U
et
V
 (
U
,
V
,
W
) forme un trièdre direct
α sin..VUW =
avec α angle entre les deux vecteurs
Cette opération est anticommutative et distributive par rapport à l’addition de vecteurs
La norme du produit vectoriel correspond à l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs
U
et
V
Double produit vectoriel
Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser comme ici des
parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de
l'ordre de présentation des 3 vecteurs.
On montre que
)..()..()( BACCABCBA −=∧∧
Produit mixte :
Opération qui associe à trois vecteurs un scalaire:
[
]
WVUWVU ,,).( =∧
On montre que
[
]
[
]
[
]
VUWUWVWVU ,,,,,, ==
et que
[
]
[
]
[
]
[
]
WUVVWUUVWWVU ,,,,,,,, ===−
La valeur absolue du produit mixte correspond au volume du parallélépipède construit sur
U
,
V
et
W
Produit de torseurs :
Un torseur est constitué d’un vecteur uniforme et d’un vecteur Moment (qui varie en fonction du point
considéré) : le produit de torseurs est une opération qui associe à ces 2 torseurs une grandeur
scalaire telle que si
{ }
=
1,
1
1
A
A
M
R
T
et { }
=
2,
2
2
A
A
M
R
T
alors
{
}
{
}
1,22,121 AA
MRMRTT ×+×=×
Le produit
{
}
{
}
21
TT × ne dépend pas du point commun où sont exprimés les 2 torseurs
V
U
α
V
U
α
W