Mouvement brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Joachim LEBOVITS Laboratoire d’Analyse, Géométrie et Applications Journée Mathématiques en mouvement Université Paris I - Panthéon-Sorbonne, Paris le 28 Mai 2014 Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 1 / 27 Mon parcours 1999-2012: Licence & Masters à l’Université Pierre & Marie Curie (Paris VI) Agrégation de mathématiques Doctorat de probabilités à l’École Centrale Paris & à l’Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) Post-doctorat à l’Université Ruprecht Karls de Heidelberg, Allemagne Sep. 2013: Maître de conférences à l’université Paris XIII Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 2 / 27 Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 3 / 27 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 4 / 27 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Motivations: A quoi servent les probabilités? Nombreuses sont les applications des probabilités en sciences aussi qu’en dehors. Physique, mathématiques, images,.... Modélisation: Modéliser et “prédire” l’évolution du relief d’une montagne (2D/3D) au cours du temps. Modéliser et “prédire” l’évolution du cours d’un actif financier au cours du temps. Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 5 / 27 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Variable aléatoire gaussienne Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 6 / 27 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Variable aléatoire gaussienne Variable aléatoire gaussienne On souhaite modéliser un jeu consistant à lancer une pièce de monnaie (pile ou face) de façon équitable. Soit Xi le résultat du i ème lancé: Xi = 1 si pile et Xi = 1 si face. On a donc P(Xi = 1) = 1/2 = P(Xi = 1). P On note Sn := X1 + X2 + · · · + Xn = nk=1 Xk Théorème (De Moivre 1733) Il existe une variable, notée N , telle que: pour tout réel a on ait: P Sn p n 6a ! P {N 6 a} n!+1 On dit que N est une variable aléatoire gaussienne. Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 7 / 27 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Variable aléatoire gaussienne On connaît la variable aléatoire gaussienne N puisque l’on connaît la valeur de la probabilité P {N 6 a}, pour tout a. 1 0.5 0 −4 −2 0 2 4 Ainsi, on a: P{N 6 0, 32} = 0, 3745; P{N 6 3, 29} = 0, 9995. Sn Autrement dit, pour n grand, notre “fortune renormalisée” i.e. p ” sera n inférieure à 3, 29 e avec une probabilité de 99,95%. Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 8 / 27 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Construction du mouvement brownien Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 9 / 27 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Construction du mouvement brownien Le mouvement brownien Soient N1 , N2 , N3 , · · · une famille de variables aléatoires gaussiennes (n) (indépendantes). Pour tout entier n, on définit la fonction t 7! Bt en posant: n X (n) Bt := ak (t) Nk , k=0 où t 7! ak (t) est une fonction déterministe du temps qui est dérivable. (n) Pour tout t, Bt converge vers un élément noté Bt , lorsque n ! +1. On le note +1 X Bt := ak (t) Nk . k=0 La famille de variables aléatoires gaussiennes (Bt )t2R+ s’appelle le mouvement brownien. Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 10 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien (standard) Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 11 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien (standard) Objet universel en théorie des probabilités, le mouvement brownien jouit de nombreuses propriétés remarquables. Question: A quoi ressemble la représentation graphique de t 7! Bt ? Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 12 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien (standard) 0.5 Trajectoire d’un mouvement brownien 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0 200 Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) 400 600 MBs,f,m & distributions stochastiques 800 1000 13 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien (standard) Des problèmes lorsque l’on souhaite modéliser un certain nombres de phénomènes: le mBs est à accroissements indépendants sa régularité est constante au cours du temps et vaut 1/2. Pbm: on ne peut modéliser que des phénomènes dont la régularité est constante au cours du temps..... Essayons autre chose que le mouvement brownien! Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 14 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien fractionnaire Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 15 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien fractionnaire Un processus gaussien plus flexible et général que le mBs (A. Kolmogorov, 1949): Trajectoires de trois mBf fBm avec H = 0.3 1 0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 0 200 400 600 800 1000 1200 1000 1200 1000 1200 fBm avec H = 0.5 0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 -2 -2. 5 0 200 400 600 800 fBm avec H = 0.8 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0 200 Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) 400 600 800 MBs,f,m & distributions stochastiques 16 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien fractionnaire Problèmes & inconvénients de l’emploi du fBm A propos du fBm le fBm est caractérisé par un paramètre H 2 (0, 1). (H) même construction que celle du mBs avec ak (t) au lieu de ak (t) Pbm: on ne peut modéliser que des phénomènes dont la régularité est constante au cours du temps (même si on peut la déterminer à priori)..... Essayons autre chose que le mouvement brownien fractionnaire! Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 17 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien multifractionnaire Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 18 / 27 MBs, mBf & mBm Le mouvement brownien multifractionnaire Représentations graphiques de mBm B h pour plusieurs fonctions h différentes mBm with h(t) := 0.1 + 0.8t 1 0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 -2 0 200 400 600 800 1000 1200 mBm with h(t) := 0.5 + 0.3 sin(4⇡t) 0. 5 0 -0. 5 -1 -1. 5 -2 -2. 5 0 200 400 600 800 mBm with h(t) := 0.3 + 0.3(1 + exp( 1000 1200 100(t 0.7)) ) 1 1. 5 1 0. 5 0 -0. 5 -1 0 200 Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) 400 600 800 MBs,f,m & distributions stochastiques 1000 1200 19 / 27 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 20 / 27 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm Retour au mBf? Comment déterminer la fonction h que l’on va devoir prendre pour la modélisation? (2010 pr une réponse!) revenons au mBf et à H. Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 21 / 27 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm Comment estimer le paramètre H caractérisant un mBf? Méthode de la valeur absolue (B H )t2R+ étant un mouvement brownien fractionnaire, on observe des réalisations de B H à différents instants; que l’on note: B1H , B2H , · · · BnH . On note: X1 := B1H , X2 := B2H B1H , · · · , Xn := BnH BnH 1 . Pour des entiers k et m, on note: P n X m (k) := m1 km i=(k 1)m Xi ; k = 1, 2, · · · , [ m ] P Xn := n1 ni=1 Xi . Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 22 / 27 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm Identification du paramètre H caractérisant un mBf Posons: Im := [n/m] 1 X |X m (k) n/m Xn |. k=1 Grâce aux propriétés d’invariance du mouvement brownien fractionnaire, on sait que lim m!+1 Im ⇡ m!+1 mH 1 . Donc on connaît une façon d’identifier le paramètre H, qui caractérise un mouvement brownien fractionnaire car: 1 + ln Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) Im m ⇡ m!+1 H. MBs,f,m & distributions stochastiques 23 / 27 Bibliographie & conseils Bibliographie Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 24 / 27 Bibliographie & conseils Bibliographie Références bibliographiques sur le métier & livres de vulgarisation Villani C. (2012), Théorème vivant, Grasset. Sing S. (1999), Le dernier théorème de Fermat, Hachette littérature. Sing S. (2005), Le roman du Big Bang, Jean-Claude Lattès. Feynman R.P. (2007). Vous voulez rire Monsieur Feynman!, Odile Jacob. Gray, Jeremy (2004). Le défi de Hilbert, Dunod. Certains sites internet permettent de regarder en ligne des conférences de mathématique de niveaux très divers. Attention aux hurluberlus!.... Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 25 / 27 Bibliographie & conseils Conseils Outline of the presentation 1 Du jeu de pile ou face au mouvement brownien Motivations Variable aléatoire gaussienne Construction du mouvement brownien 2 Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire Le mouvement brownien (standard) Le mouvement brownien fractionnaire Le mouvement brownien multifractionnaire 3 Identification du paramètre H caractérisant un mBf Estimation du paramètre H caractérisant un fBm 4 Bibliographie & conseils Bibliographie Conseils Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 26 / 27 Bibliographie & conseils Conseils Ne pas hésiter à aller voir les chercheurs et enseignants-chercheur: séminaires, rencontres thématiques, fête de la science,.... Que ce soit dans le milieu de la recherche académique, dans le monde de l’industrie, de la banque,... Une bonne formation en mathématique est toujours appréciée et est relativement facile à valoriser (statisticiens notamment). La carrière de chercheur et d’enseignant-chercheur permet de découvrir des personnes de tous pays et de toute nationalité. Il permet aussi de voyager! Faire des mathématiques n’est jamais une perte de temps; au contraire! Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII) MBs,f,m & distributions stochastiques 27 / 27